2022年中考数学压轴题解题策略五相似三角形的存在性问题.pdf

学习好资料欢迎下载中考数学压轴题解题策略相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3 个，其中判定定理1 和判定定理2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步： 寻找一组等角， 分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4应用判定定理1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题 6应用判定定理3 解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）例题解析例?如图 1-1，抛物线213482yxx与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），与 y轴交于点 C动直线 EF（EF/x 轴）从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2 个单位的速度向原点O 运动是否存在t，使得 BPF 与 ABC 相似 若存在， 试求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1-1 【解析】 BPF 与ABC 有公共角 B，那么我们梳理两个三角形中夹B 的两条边ABC 是确定的由213482yxx，可得 A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)于是得到 BA4，BC4 5还可得到12CECOEFOBBPF 中，BP2t，那么 BF 的长用含 t 的式子表示出来，问题就解决了在 RtEFC 中， CEt，EF 2t，所以5CFt因此4 555(4)BFtt 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：当BABPBCBF时，424 55(4)tt解得43t（如图 1-2） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当BABFBCBP时，45(4)24 5tt解得207t（如图 1-3） 图 1-2 图 1-3 例?如图 2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线yax2 bx（a 0）经过点A 和 x 轴正半轴上的点B， AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结 O M，求 AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x轴上， 且 ABC 与 AOM 相似，求点 C 的坐标图 2-1 【解析】 ABC 与AOM 中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M 的坐标，为第（2）题求 AOM 的大小作铺垫；求得了AOM 的大小，第（ 3）题暗示了要在ABC 中寻找与 AOM 相等的角（1）如图 2-2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为H容易得到A( 1, 3)再由 A( 1, 3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为232 333yxx（2）由2232 333(1)3333yxxx，得顶点 M 3(1,)3所以3tan3BOM所以 BOM30所以 AOM150图 2-2 （3）由 A( 1, 3)、B(2,0)，可得 ABO30因此当点 C 在点 B 右侧时， ABC AOM150精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载所以 ABC 与 AOM 相似，存在两种情况：当3BAOABCOM时，2 3233BABC此时 C(4,0)（如图 2-3） 当3BCOABAOM时，33236BCBA此时 C(8,0)（如图 2-4） 图 2-3 图 2-4 例?如图 3-1，抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点，与 y轴交于点D，顶点为 C（1）求此抛物线的解析式；（2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点M，过 M 作 MNx 轴于点 N，使以 A、M、N为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由图 3-1 【解析】 AMN 是直角三角形，因此必须先证明BCD 是直角三角形一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程（1）抛物线的解析式为y x24x3（2）由 y x24x3 (x2)21，得 D(0,3)，C(2, 1)如图 3-2，由 B(3, 0)、D(0,3)、C(2, 1)，可知 CBO45， DBO45所以 CBD90，且2133 2BCBD图 3-2 图 3-3 图 3-4设点 M、N 的横坐标为x，那么 NM yM，而 NA 的长要分N 在 A 的右边或左边两种精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载情况，因此列方程要“两次分类”：当 N 在 A 右侧时， NAx1，分两种情况列方程：当3NABDNMBC时，13(1)(3)xxx解得103x此时 M107(,)39（如图 3-3） 当13NABCNMBD时，11(1)(3)3xxx解得 x6此时 M(6,15)（如图 3-5） 当 N 在 A 左侧时， NA1x，也要分两种情况列方程：当3NABDNMBC时，13(1)(3)xxx解得83x1，不符合题意（如图3-4） 当13NABCNMBD时，11(1)(3)3xxx解得 x0，此时 M(0,3)（如图 3-6） 图 3-5 图 3-6 例?如图 4-1， 在平面直角坐标系中，A(8 ,0)， B(0,6)， 点 C 在 x轴上，BC 平分 OBA 点P 在直线 AB 上，直线CP 与 y 轴交于点 F，如果 ACP 与 BPF 相似，求直线CP 的解析式图 4-1 【解析】首先求得点C(3,0) ACP 与BPF 中，相等的角在哪里啊？如图 4-2，当点 P 在线段 AB 上时， ACP 与 BPF 中， APC 与 BPF 是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP 与 AB是垂直的可以求得F(0,4)，于是直线CF(CP)为443yx如图 4-3，当点 P 在 AB 的延长线上时，ACP 与 BPF 有公共角 P于是 OFC PFB A，可以求得F(0, 4)，因此直线CF(CP)为443yx如图 4-4，当点 P 在 BA 的延长线上时，B 与 PCA 不可能相等在AOB 中，根据大边对大角，B BAO； BAO 又是 PCA 的一个外角， BAO PCA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载图 4-2 图 4-3 图 4-4 例?如图 5-1，二次函数yx23x 的图象经过点A(1,a)，线段 AD 平行于 x 轴，交抛物线于点 D在 y 轴上取一点C(0, 2)，直线 AC 交抛物线于点B，连结 OA、OB、OD、BD求坐标平面内使EOD AOB 的点 E 的坐标；图 5-1 【解法一】点A、D、B 都是确定的，可以求得A(1, 4)，D(4, 4)，B(2, 2)所以17AO，2 2BO，3 5AB，4 2DOEOD AOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3 列方程由EOODDEAOOBBA，得4 2172 23 5EODE所以2 17EO，6 5DE设 点 E 的坐标为 (x, y)，根据 EO268，DE2180，列方程组222268,(4)(4)180.xyxy解得118,2,xy222,8,xy所以点 E 的坐标为 (8,2)或( 2, 8)上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系【解法二】 如图 5-2，AOB 是确定的， AOB 与 EOD 有公共点O，OBOD1 2，BOD 90如果 EOD AOB，我们可以把 AOB 绕着点 O 顺时针旋转， 使得点 B落在 OD 上，此时旋转角为90，点 B 恰好落在 OD 的中点按照这个运动规则，点A(1, 4) 绕着点 O 顺时针旋转90，得到点A (4,1)，点 A 是线段 OE 的中点，因此点E 的坐标为 (8,2)如图 5-3，点 E(8,2)关于直线 OD（即直线 y x）对称的点为E (2, 8)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载图 5-2 图 5-3 例?如图 6- 1，在 ABC 中， ABAC42 ，BC8 A 的半径为2，动点 P 从点B 出发沿 BC 方向以每秒1 个单位的速度向点C 运动延长BA 交 A 于点 D，连结 AP 交A 于点 E，连结 DE 并延长交 BC 于点 F设点 P 运动的时间为t 秒，当 ABP 与 FBD相似时，求t 的值图 6-1 【解析】 ABC 是等腰直角三角形，A 是确定的，先按照题意把图形补充完整如图6-2，容易发现ABP 与 FBD 有公共角B，如果根据对应边成比例列方程BABDBPBF或BABFBPBD，其中 BA 42 ，BPt，BD 42 2，但是用含t 的式子表示BF困难重重啊！图 6-2 图 6-3 图 6-4 我们另起炉灶，按照判定定理1 来解决ABP 与FBD 有公共角 B，我们以 D 为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图6-3，BAP D 是不可能的，这是因为BAP 是等腰三角形ADE的外角， BAP2D第二种情况， 如图 6-4，当 BPAD 时，在 ABP 中，由于 BAP2D2BPA，因此 453BPA180解得 BPA45此时 ABP 是等腰直角三角形，P 与 C 重合，所以t8解答这道题目， 如果选取点P 的 3 个不同位置， 按照题意画图， 可以帮助我们探究在讨论第二种情况BPA D 时，我们容易被已知图6-1 给定的点P 的位置所误导，以为图6-2 中“锐角 D”与“钝角 BPA”不可能相等精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -