2022年届江苏省南通市扬州市泰州市高三第三次调研考试数学试题.docx

精品学习资源2021 届江苏省南通市、扬州市、泰州市高三第三次调研考试数学试题数学一、 填空题：本大题共14 个小题 ,每道题 5 分,共 70 分.在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的 .欢迎下载精品学习资源1. 已知集合 U1,0,1,2 , A1,1,2，就 CU A.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 已知复数 z2i 2 （ i 为虚数单位） ，就 z 的共轭复数为 .欢迎下载精品学习资源3. 如图是甲、乙两位同学在5 次数学测试中得分的茎叶图，就成果较稳固（方差较小）的那一位同学的方差为 .4. 如图是一个算法流程图，就输出的S 的值为 .欢迎下载精品学习资源5. 已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，如它们的体积相等，就a 3 : b3 的值为 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 将一颗骰子连续抛掷2 次，向上的点数分别为1m, n ，就点P m, n 在直线 y1 x 下方的概率为 .2欢迎下载精品学习资源7. 函数 fxlg x2 的定义域为 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源28. 在平面直角坐标系xOy 中， 双曲线 xa2y21与抛物线y212x 有相同的焦点， 就双曲线的两条渐近欢迎下载精品学习资源线的方程为 .欢迎下载精品学习资源9. 已知两曲线f xcos x, g x3 sinx, x0,2相交于点 A. 如两曲线在点A 处的切线与 x 轴分别相欢迎下载精品学习资源交于 B ，C 两点，就线段BC 的长为.欢迎下载精品学习资源10. 如图，已知ABC 的边 BC 的垂直平分线交 AC 于点 P ，交 BC 于点 Q .如 AB3, AC5 ，就欢迎下载精品学习资源APAQABAC 的值为 .欢迎下载精品学习资源11. 设数列an 中意 a11, 1an 11an1 nN，就100ak ak 1的值为 .欢迎下载精品学习资源k 12fx , x0'欢迎下载精品学习资源12. 已知函数f xxax aR, g xf 'x , x（ fx 为 fx 的导函数） .如方程0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g fx0 有四个不等的实根，就a 的取值范畴是 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源13. 如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x轴上，顶点C, D 在函数 yx1 x0 x的图像上 .记欢迎下载精品学习资源ABm, BCn ，就m 的最大值为 .n 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22C1 : x1y22 ，圆 C1 : xmym 2m2 ，如圆C2 上存在欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源点 P 中意：过点 P 向圆C1 作两条切线PA, PB, 切点为A, B ，ABP 的面积为 1，就正数 m 的取值范畴是 .欢迎下载精品学习资源三、解答题 （本大题共6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）欢迎下载精品学习资源15.（本小题满分 14 分）已知ABC 是锐角三角形，向量mcos A,sinA, n 33cosB,sin B ，且 mn .欢迎下载精品学习资源（ 1）求 AB 的值；欢迎下载精品学习资源（ 2）如cos B3 , AC58 ，求 BC 的长 .欢迎下载精品学习资源16.（本小题满分 14 分）欢迎下载精品学习资源如图， 在四棱锥 PABCD 中， PC平面 PAD ， ABCD , CD2AB2 BC ,M, N 分别是棱PA,CD欢迎下载精品学习资源的中点 .（ 1）求证： PC平面 BMN ；（ 2）求证：平面BMN平面 PAC .17.（本小题满分 14 分）欢迎下载精品学习资源22如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 xy1 ab0 的离心率为2，长轴长为 4，过椭欢迎下载精品学习资源圆的左顶点A 作直线 l ，分别交椭圆和圆a2x2y2b2a2 于相异两点2P, Q .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）如直线 l 的斜率为 1 ，求 AP2AQ的值；欢迎下载精品学习资源（ 2）如 PQAP ，求实数的取值范畴 .18.（本小题满分 14 分）某宾馆在装修时， 为了美观， 欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形， 并用四根木条将圆分成如以下图的欢迎下载精品学习资源9 个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现方案将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.欢迎下载精品学习资源（ 1）如窗口 ABCD 为正方形，且面积大于1 m2 （木条宽度忽视不计） ，求四根木条总长的取值范畴；4欢迎下载精品学习资源（ 2）如四根木条总长为6m，求窗口 ABCD 面积的最大值 .19.（本小题满分 16 分）欢迎下载精品学习资源已知数列an ， bn均为各项都不相等的数列，Sn 为 an的前 n 项和，abS.1 nN欢迎下载精品学习资源（ 1）如 a11,bnn，求 a4 的值；2n 1 nn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）如an是公比为 q 的等比数列，求证：存在实数，使得 bn为等比数列；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）如an的各项都不为零，1bn是公差为 d 的等差数列，求证：a2, a3, an,成等差数列的充要条欢迎下载精品学习资源件是 d.220.（本小题满分 16 分）欢迎下载精品学习资源设函数fxxexasin x cosx （ aR ，其中 e是自然对数的底数） .欢迎下载精品学习资源（ 1）当 a0 时，求 fx 的极值；欢迎下载精品学习资源（ 2）如对于任意的 x0,， fx20 恒成立，求 a 的取值范畴；欢迎下载精品学习资源（ 3）是否存在实数 a ，使得函数 fx 在区间 0,上有两个零点？如存在，求出 a 的取值范畴； 如不存2在，请说明理由 .南通市 2021 届高三第三次调研测试数学 II （附加题）21. 【选做题】此题包括A 、B、C、 D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.如多做，就按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.欢迎下载精品学习资源A. 【选修 4-1】几何证明选讲（本小题满分10 分）欢迎下载精品学习资源在 ABC中，A2B,C 的平分线交 AB 于点 D ，A 的平分线交 CD 于点 E .欢迎下载精品学习资源求证： AD BCBD AC .B. 【选修 4-2：矩阵与变换】 （本小题满分 10 分）欢迎下载精品学习资源在平面直角坐标系xOy 中，直线 xy20 在矩阵 A1 a对应的变换作用下得到直线欢迎下载精品学习资源1 2欢迎下载精品学习资源xyb0 a,bR ，求 ab 的值.欢迎下载精品学习资源C. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （本小题满分10 分）欢迎下载精品学习资源在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x 2cos3（为参数）以原点 O 为极点， x 轴y 2sin欢迎下载精品学习资源正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为.如直线 l 与曲线 C 交于6D. 【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分）A, B ，求线段 AB 的长.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源已知 x0, y0, z0 ，且xyz1 ，求证： x3y3z3xyyzxz .欢迎下载精品学习资源【必做题】第22,23 题，每道题 10 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 .欢迎下载精品学习资源22.（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y22 px p0 上一点 P3, m到准线的距离与到原点O 的距4欢迎下载精品学习资源离相等，抛物线的焦点为F .（ 1）求抛物线的方程；（ 2）如 A 为抛物线上一点 （异于原点 O ），点 A 处的切线交 x 轴于点 B ，过 A 作准线的垂线， 垂足为点 E .试判定四边形 AEBF 的形状，并证明你的结论. 23.（本小题满分 10 分）欢迎下载精品学习资源甲，乙两人进行围棋竞赛，共竞赛2n nN局，依据以往竞赛胜败的情形知道，每局甲胜的概率和乙1欢迎下载精品学习资源胜的概率均为.假如某人获胜的局数多于另一人，就此人赢得竞赛.记甲赢得竞赛的概率为P n .2欢迎下载精品学习资源（ 1）求 P 2 与 P 3 的值；欢迎下载精品学习资源（ 2）试比较 P n 与 P n1 的大小，并证明你的结论.南通市 2021 届高三第三次调研测试数学学科参考答案欢迎下载精品学习资源一、填空题1.02. 34i3.24.35.:36.167. 1, 10欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8. y2 x9. 434310010. -1611.10112. a0 或 a1213.414. 1,323欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、解答题15.（ 1）由于 mn ，所以 m ncosAcos B3sinAsin B3cos AB0 3欢迎下载精品学习资源4331433 .525210欢迎下载精品学习资源由正弦定理，得 BCsin A AC sin B4 331084 33 .45欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源16.（ 1）设 ACBNO ，连结MO , AN ，由于 AB1 CD , ABCD ， N 为 CD 的中点，2欢迎下载精品学习资源所以 ABCN , ABCN ，所以四边形 ABCN 为平行四边形，所以O为 AC 的中点，所以 MOPC .又由于 MO平面 BMN ， PC平面 BMN ，所以 PC平面 BMN .（ 2）（方法一）由于 PC平面 PDA ， AD平面 PDA .所以 PCAD ，由（ 1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以ADBN ，所以 BNPC .由于 BCAB ，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BNAC ，由于 PCACC ,AC平面 PAC ， PC平面 PAC ，所以 BN平面 PAC .由于 BN平面 BMN ，所以平面 BMN平面 PAC .（方法二）连结 PN ，由于 PC平面 PDA ， PA平面 PDA ，所以 PCPA.由于 PCMO ，所以 PAMO ，由于 PC平面 PDA ， PD平面 PDA ，所以 PCPD .欢迎下载精品学习资源由于 N 为 CD 的中点，所以1PNCD ，由（ 1）21ANBCCD ，所以 ANPN .2欢迎下载精品学习资源又由于 M 为 PA 的中点，所以PAMN .由于 MNMOM ， MN平面 BMN ， MO平面 BMN ,所以 PA平面 BMN ，由于 PA平面 PAC ，所以平面 PAC平面 BMN .欢迎下载精品学习资源17.（ 1）由条件，2a4c2a2a 2b 2a 2，解得，b 2c2欢迎下载精品学习资源2所以椭圆的方程为xy1，圆的方程为xy4 .欢迎下载精品学习资源22242（方法一）直线 l 的方程为y1xy2 ，由1x22得： 3 x24 x40 .欢迎下载精品学习资源2x22 y24欢迎下载精品学习资源解得 xA2, xp2，所以 P32 , 4.3 3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 AP2222445 ，又由于原点 O 到直线 l 的距离d2 ,欢迎下载精品学习资源3335欢迎下载精品学习资源所以 AQ4 524485 ，所以 AP35 .55AQ8 565欢迎下载精品学习资源2x2 y28欢迎下载精品学习资源（方法二）由22得 3 y4 y0 ，所以 yP.欢迎下载精品学习资源x2 y45AP455所以;AQ386欢迎下载精品学习资源（ 2）（方法一）如PQAP ，就AQ1. AP欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x22 y24222欢迎下载精品学习资源设直线l : yk x2 ，由ykx得， 2 k1 x8k240 .欢迎下载精品学习资源即 x22k 21 x4k 220 ，所以 x2, x24k2P，得24k 24k,.欢迎下载精品学习资源AP224k 22224kAP1616k 22k 214 k 212k 212k214欢迎下载精品学习资源所以2k 212k 212k22 ，即 AP12k2，同理 AQ.1k 21欢迎下载精品学习资源所以，由题意： k 20 ，所以 01.欢迎下载精品学习资源（方法二） 由方法一知，由题意：k20 ，所以 01.欢迎下载精品学习资源218.（ 1）设一根木条长为 xcm ，就正方形的边长为21x24x2 m .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 S四边形 ABCD1，所以 4x21 ，即 x15 .欢迎下载精品学习资源442又由于四根木条将圆分成9 个区域，所以 x2 .欢迎下载精品学习资源所以 42x2 15 ;欢迎下载精品学习资源（ 2）（方法一）设 AB 所在木条长为 am ，就 BC 所在木条长为3a m.欢迎下载精品学习资源由于 a0, 2 ,3a0,2，所以 a1,2 .欢迎下载精品学习资源2a23a2欢迎下载精品学习资源S矩形 ABCD4 114a24443aa46a3a224a20 .欢迎下载精品学习资源设 faa46a3 'a224a320 ， f ' a4a318a22a242 a12a3a4 .欢迎下载精品学习资源令 fa0 ，得a，或 a21（舍去），或 a4 （舍去） .欢迎下载精品学习资源列表如下：a331,223 , 22欢迎下载精品学习资源'fa+0-fa极大值欢迎下载精品学习资源所以当 a3 时， fx 2maxf349 ，即2167Smax4欢迎下载精品学习资源（方法二）设 AB 所在木条长为am ， CD 所在木条长为 bm .由条件， 2a+2b6 ，即 ab3 .欢迎下载精品学习资源由于 a,b0, 2，所以 b3a0,2，从而a, b1,2 .欢迎下载精品学习资源b2a2b2a2欢迎下载精品学习资源由于 AB2 1, BD2 1， S矩形 ABCD4 114b24a2 .欢迎下载精品学习资源4444欢迎下载精品学习资源由于4b 284 a 2a 2b 22ab827 ，欢迎下载精品学习资源22437欢迎下载精品学习资源当且仅当 ab21,2时， S矩形 ABCD.4欢迎下载精品学习资源答：窗口 ABCD面积的最大值为7 m2 .4欢迎下载精品学习资源19.（ 1）由 a1,bn ，知 a4, a6,a8 .1n2342n欢迎下载精品学习资源（ 2）（方法一）由于abS1 ，所以na1 1q.欢迎下载精品学习资源n 1 nn11qna1q bn11qn欢迎下载精品学习资源n所以 q bn，即 bn1111，欢迎下载精品学习资源1qa11q1qa1q1qn1111欢迎下载精品学习资源所以存在实数，使得 bn1q，1qa1q欢迎下载精品学习资源又由于 bn0 （否就bn为常数数列与题意不符） ，欢迎下载精品学习资源bn1欢迎下载精品学习资源所以当 n2 ，此时 bnbq为等比数列，欢迎下载精品学习资源所以存在实数n 111q ，使 bn为等比数列 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（方法二）由于an 1bnSn1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以当 n2 时，anbn 1Sn 11，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 -得，当 n2 时， an1bnanbn 1an ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由得，当 n2 时， ban ban1 b1 ，欢迎下载精品学习资源nn1an 1an 1qq欢迎下载精品学习资源n11111欢迎下载精品学习资源所以 bn1qqbn 1，又由于 bn1q1q0 （否就bn 为常数数列与题意不符） ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以存在实数11 q ，使 bn为等比数列 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）由于bn为公差为 d 的等差数列，所以由得，当n2 时，an 1bnan bndan ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 an 1an bn1d an ，由于an， bn各项均不相等，所以an 1an0,1d0 ,欢迎下载精品学习资源所以当 n2 时， 1da ,n1an当 n3 时， 1bn 1danan 1a ,n 1an由 -，得当 n3 时an 1ananan 1an 1bn1bn 1dd1 ,d先证充分性：即由 d12证明 a2 ,a3, an ,成等差数列 ,由于 d1，由得2anan 1ananan 1an 11 ,an所以当 n3 时，an 1an1anan 1an 1,又 an0 ，所以 an 1ananan 1即 a2, a3 ,an,成等差数列 .再证必要性：即由a , a ,23, a ,n成等差数列证明 d1.2由于 a2, a3 , an,成等差数列，所以当n3时， an 1ananan 1所以由得，anan 1an1ananan1ananan 1anan 1an 11d1d所以 d1，所以 a , a ,223, a ,n成等差数列的充要条件是d1.220.（ 1）当 a0 时，fxxex , fxexx1 ,令 f 'x0 ，得 x1.列表如下：x,1-11,f 'x+0-fx微小值bnan,欢迎下载精品学习资源所以函数fx 的微小值为 f11，无极大值 .e欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）当 a0 时，由于对于任意x0,，有 sin xcosx0 ,2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 fx0 恒成立，当 a0 时，符合题意；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 0a1时，由于f ' xexx1acos2xe0 01acos01a0 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以函数fx 在 0,上为增函数，所以2fxf00 ，即当 0a1，符合题意；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 a1时，f ' 01a0 ， f '4e410 ,4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以存在0,，使得4f '0 ，且在 0,内， f 'x0 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 fx 在 0,上为减函数，所以fxf00 ,欢迎下载精品学习资源即当 a1时，不符合题意 .综上所述， a的取值范畴是,1 .欢迎下载精品学习资源（ 3）不存在实数 a ，使得函数 fx 在区间 0,上有两个零点， 由（ 2）知，当 a21 时， fx 在 0,2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源上是增函数，且f00 ，故函数fx 在区间0,上无零点 .2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 a1 时， f 'xexx1acos2x,欢迎下载精品学习资源x'x欢迎下载精品学习资源令 g xex1acos2x ， gxex22a sin 2x ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 x0,2时，恒有 g ' x0 ，所以 g x 在 0,上是增函数 ,2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 g 01a0, g2e212a0 ,欢迎下载精品学习资源故 g x 在 0,2上存在唯独的零点x0 ，即方程f 'x0在 0,2上存在唯独解x0 ,欢迎下载精品学习资源且当 x0, x0时， f ' x0 ，当xx0,2， f ' x0 ,欢迎下载精品学习资源即函数 fx 在0, x0上单调递减，在x0,2上单调递增，欢迎下载精品学习资源当 x0, x0时， fxf00 ，即 fx 在0, x0无零点；欢迎下载精品学习资源当 xx0 , 2时， fx0f0 , fe20 ,22欢迎下载精品学习资源所以 fx 在x0,2上有唯独零点，欢迎下载精品学习资源所以，当 a1 时， fx 在0,上有一个零点 .2欢迎下载精品学习资源综上所述，不存在实数a ，使得函数 fx 在区间 0,上有两个零点 .2数学 II （附加题）欢迎下载精品学习资源21.A. 由于CAB2B, AE 为CAB 的平分线，所以CAEB .欢迎下载精品学习资源又由于 CD 是C 的平分线，所以ECADCB .AEAC欢迎下载精品学习资源所以ACDBCD ，所以BDBC，即 AE BCBD AC .欢迎下载精品学习资源又由于AEDCAEECA,ADEBDCB ,欢迎下载精品学习资源所以AEDADE ，所以 ADAE .所以 AD BCBD AC .欢迎下载精品学习资源B. 设 P x, y 是直线 x20 上一点，由1 axxay，得 xayx2 yb0 .欢迎下载精品学习资源a2b1 2yx2 ya2b欢迎下载精品学习资源即 xy220 ，由条件得，1,2 .22欢迎下载精品学习资源a 0解得，所以 ab4 .b 4欢迎下载精品学习资源C. 曲线 C 的一般方程为x23 y24 ，表示以3,0 为圆心， 2 为半径的圆 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源直线 l 的直角坐标方程为y3 x ，所以圆心到直线的距离为3 .32欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以线段 AB 的长为 242313 .2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源D. 由于 x0, y0, z0 ,欢迎下载精品学习资源所以 x3y3z33xyz,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x3y313xy， y3z313yz， x3z313 xz,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源将以上各式相加，得3x33y33z333xyz3xy3 yz3xz ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于xyz1 ，从而 x3y3z3xyyzxz.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22.（ 1）由题意点 P3 , m到准线的距离为 PO ,4欢迎下载精品学习资源由抛物线的定义，点P 到准线的距离为 PF ,欢迎下载精品学习资源所以 POPF ，即点 P3 , m在线段 OF 的中垂线上，4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源p3所以, p3 ，所以抛物线的方程为y26x .欢迎下载精品学习资源44（ 2）由抛物线的对称性，设点A1 y2 , y0063在 x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为，y0欢迎下载精品学习资源312欢迎下载精品学习资源所以点 A 处切线的方程为yy0xy0，y06欢迎下载精品学习资源令上式中 y0 ，得 x11 y2 ，06233欢迎下载精品学习资源所以点 B 的坐标为y0 ,0，又 E, y0, F,0，所以欢迎下载精品学习资源622FA1 y23 , y, BE1 y23 , y，所以 FABE ，所以 FABE ，又 AEFB ，00006262故四边形 AEBF 为平行四边形，再由抛物线的定义，得AFAE ，所以四边形 AEBF 为菱形 . 23.（ 1）如甲、乙竞赛 4 局甲获胜，就甲在4 局竞赛中至少胜 3 局，C44欢迎下载精品学习资源C所以 P 23142415 ，4216欢迎下载精品学习资源666欢迎下载精品学习资源同理 P 3C 41C 51C 615 .欢迎下载精品学习资源66622216（ 2）在 2n 局竞赛中甲获胜，就甲胜的局数至少为n1局，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2n2n故 P