第四讲对数函数及指数函数经典难题复习巩固(共19页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上DSE金牌化学专题系列 精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数一、 导入：名叫抛弃的水池 一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？”他答道：“试过了。”“不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。”精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。这病人跳进了水池，泡在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。二、 知识点回顾：1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果 ，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个 ，负数的n次方根是一个 零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有 ，这两个数互为 ±(a>0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式 ()n (注意a必须使有意义)2. 幂的有关概念正分数指数幂： (a0，m、nN*，且n1)；负分数指数幂： (a0，m、nN*，且n1)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 yaxa10a1图象定义域R值域(0，)3指数函数的图象与性质yaxa10a1性质(1)过定点(2)当x0时， ；x0时， (2)当x0时， ；x0时， (3)在R上是 (3)在R上是 4对数的概念(1)对数的定义如果 ，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数(2)两种常见对数对数形式特点记法常用对数底数为 lgx自然对数底数为 lnx5对数的性质、换底公式与运算法则性质loga1 ，logaa ， 。换底公式logab (a，b，c均大于零且不等于1)运算法则如果a>0，且a1，M>0，N>0，那么：loga(M·N) ，loga ，logaMnnlogaM(nR).6.对数函数的定义、图象与性质定义函数 (a>0，且a1)叫做对数函数图象a>10<a<1性质 (1)定义域： (2)值域： (3)当x1时，y0，即过定点 (4)当0<x<1时， ；当x>1时， (4)当0<x<1时，当x>1时，y y ；(5)在(0，)上为 (5)在(0，)上为 7反函数考点一有理指数幂的化简与求值指数函数yax(a>0且a1)与对数函数 (a>0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称三、专题训练：计算下列各式(1) ×()0×(×)6； (2)·；(3)÷(12 )×.自主解答(1)原式×1×(×)624×27110.(2) · ·a.(3)令m，n，则原式÷(1)·m·m3a.变式训练：计算下列各式(1)()0(2)316|；(2) ÷；(3)(3)()10(2)1()0.解：(1)原式()11(2)4231.(2) 原式a01.(3) (3)原式(1)×(3)()1()(500)10(2)11010201.考点二指数函数的图象画出函数y|3x1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？自主解答函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k<0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解思考：保持条件不变，讨论函数y|3x1|的单调性.解：由例2所作图象可知，函数y|3x1|在0，)上为增函数，在(，0)上为减函数.变式训练：已知函数y()|x1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值解：(1)法一：由函数解析式可得y()|x1|，其图象由两部分组成：一部分是：y()x(x0)y()x1(x1)；另一部分是：y3x(x0)y3x1(x1)如图所示：法二：由y()|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y()x的图象，保留x0的部分，当x<0时，其图象是将y()x(x0)图象关于y轴对折，从而得出y()|x|的图象将y()|x|向左移动1个单位，即可得y()|x1|的图象，如图所示(2)由图象知函数在(，1上是增函数，在1，)上是减函数(3)由图象知当x1时，有最大值1，无最小值考点三指数函数的性质已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的取值范围自主解答(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而y()t在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(2，)，递减区间是(，2)(2)令h(x)ax24x3，y()h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有，解得a1即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y()h(x)的值域为(0，)应使h(x)ax24x3的值域为R，因此只能有a0.因为若a0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a0.变式训练：已知g(x)()x4()x5，求该函数的定义域、值域和单调区间解：由g(x)()x4()x5()2x4()x5.函数的定义域为R，令t()x(t>0)g(t)t24t5(t2)29.t>0，g(t)(t2)299，等号成立条件是t2，即g(x)9，等号成立条件是()x2，即x1.g(x)的值域是(，9由g(t)(t2)29(t>0)，而t()x是减函数，要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间g(t)在(0,2上递增，在2，)上递减，由0<t()x2，可得x1，由t()x2，可得x1.g(x)在1，)上递减，在(，1上递增故g(x)的单调递增区间是(，1，单调递减区间是1，)考点四对数式的化简与求值【例4】(1)计算：lg5(lg8lg1 000)()2lglg0.06；(2)化简：log3·log5；(3)已知：lgxlgy2lg(2x3y)，求的值自主解答(1)原式lg5(3lg 23)3(lg 2)2lg 6lg 623lg 5·lg 23lg 53(lg 2)223lg 2(lg 5lg 2)(3lg 5)23(lg 2lg 5)21.(2)原式(log31)·log5(1032)(1)log55.(3)lgxlgy2lg(2x3y)xy(2x3y)24x29y212xy即4x213xy9y20(4x9y)(xy)0，即4x9y，xy(舍去)，2.变式训练：计算：(1)(log32log92)·(log43log83)；(2)(lg32log4166lg)lg.解：(1)原式(log32log32)(log23log23)(log32log3)(log2log2)log32·log2(·)log3·log2·log32··log23.(2)原式lg322lg()6lg 2lg(32××)(2lg)2(1).考点五对数值的大小比较【例5】比较下列各组数的大小(1)log3与log5；(2)log1.10.7与log1.20.7；(3)已知b<a< c，比较2b,2a,2c的大小关系自主解答(1)log3<log310，而log5>log510，log3<log5.(2)法一：0<0.7<1,1.1<1.2，0>log0.71.1>log0.71.2.<，由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.法二：作出ylog1.1x与ylog1.2x的图象，如图所示，两图象与x0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.(3)yx为减函数，且b<a<c，b>a>c.而y2x是增函数，2b>2a>2c.变式训练：设a、b、c均为正数，且2aa，()bb，()clog2c，则 ()Aa<b<cBc<b<aCc<a<b Db<a<c解析：如图：a<b<c.考点六对数函数图象与性质的应用【例6】已知f(x)logax(a>0且a1)，如果对于任意的x，2都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围自主解答f(x)logax，则y|f(x)|的图象如右图由图示，要使x，2时恒有|f(x)|1，只需|f()|1，即1loga 1，即logaa1logalogaa，亦当a>1时，得a1a，即a3；当0<a<1时，得a1a，得0<a.综上所述，a的取值范围是(0，3，)变式训练：(2010·山东潍坊二模)已知函数f(x)log2(x1)，将yf(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg(x)的图象(1)求g(x)的定义域；(2)令F(x)f(x1)g(x)，求F(x)的最大值解：(1)f(x)log2(x1)ylog2(x2)y2log2(x2)，即g(x)2log2(x2)，x2>0.x>2.定义域为(2，)(2)F(x)f(x1)g(x)log2x2log2(x2)log2(x>0)log2log2log23，当x2时，F(x)max3.考点七与对数函数有关的综合问题【例7】(2011·成都模拟)设f(x)为奇函数，a<0. (1)求a的值；(2)若对于区间3,4上的每一个x的值，不等式f(x)>()xm恒成立，求实数m的取值范围自主解答(1)f(x)f(x)，即(1ax)(1ax)(x1)(x1)，a1或a1(舍去)(2)由(1)可知f(x)(1)，f(x)>()xm恒成立，x3,4，m<f(x)()x，x3,4令g(x)f(x)()x(1)()x，x3,4函数f(x)(1)与y()x在x3,4上均为增函数，g(x)在3,4上为增函数，g(x)ming(3)，m<. 思考： 若f(x)的值域为1，)，求x的取值范围解：由例题知，f(x)又f(x)的值域为1，)0<3x<1.即x的取值范围为3，1)变式训练：已知函数yloga2(x22ax3)在(，2)上是增函数，求a的取值范围解：因为(x)x22ax3在(，a上是减函数，在a，)上是增函数，要使yloga2(x22ax3)在(，2)上是增函数，首先必有0<a2<1，即0<a<1或1<a<0，且有得a.综上，得a<0或0<a<1.五、 巩固练习：一、 选择题 1(2011·济南模拟)定义运算ab，则函数f(x)12x的图象大致为()解析：由ab得f(x)12x答案：A2(2010·辽宁高考)设2a5bm，且2，则m()A. B10C20 D100解析：alog2m，blog5m，代入已知得logm2logm52，即logm102，所以m.答案：A3(2010·全国卷)设alog32，bln2，c，则()Aabc BbcaCcab Dcba解析：alog32ln 2b，又c，alog32log3，因此cab.4若函数f(x)loga(xb)的大致图象如图所示，其中a，b(a>0且a1)为常数，则函数g(x)axb的大致图象是()解析：由图可知，函数f(x)loga(xb)是单调递减函数，所以0<a<1，又因为f(x)loga(xb)的图象与x轴的交点的横坐标在(0,1)内，所以0<b<1，根据上述参数a，b的特点，函数g(x)axb的图象大致如B项所示答案：B5(2011·石家庄模拟)已知函数f(x)log2(a2x)x2，若f(x)0有解，则实数a的取值范围是()A(，44，) B1，)C2，) D4，)解析：法一：f(x)log2(a2x)x20，得a2x22x，即a2x，令t2x(t>0)，则t2at40在t(0，)上有解，令g(t)t2at4，g(0)4>0，故满足得a4.法二：f(x)log2(a2x)x20，得a2x22x，a2x4.二、 填空题6×log22lg()的结果为_解析：原式93×(3)lg()218lg 1019.答案：197函数yax(a>0，且a1)在1,2上的最大值比最小值大，则a的值是_解析：当a>1时，yax在1,2上单调递增，故a2a，得a.当0<a<1时，yax在1,2上单调递减，故aa2，得a.故a或.8若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可得：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1答案：1,1三、 解答题9已知函数f(x)3x，f(a2)18，g(x)·3ax4x的定义域为0,1(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数的取值范围解：法一：(1)由已知得3a2183a2alog32.(2)此时g(x)·2x4x，设0x1<x21，因为g(x)在区间0,1上是单调减函数，所以g(x1)g(x2)(2x12x2)(2x22x1)>0恒成立，即<2x22x1恒成立由于2x22x1>20202，所以实数的取值范围是2.10(1)已知loga2m，loga3n，求a2mn的值；(2)已知2lglg xlg y，求 的值解：(1)由loga2m，loga3n得am2，an3，a2mna2m·an22×312.(2)由已知得lg()2lg(xy)，()2xy，即x26xyy20，()26·10，3±2.>1，从而32，1.六、 拓展训练:1、(2010·安徽高考)设a，b，c，则a，b，c的大小关系是 ()Aacb BabcCcab Dbca规范解答构造指数函数y()x(xR)，由该函数在定义域内单调递减可得bc；又y()x(xR)与y()x(xR)之间有如下结论：当x0时，有()x()x，故，ac，故acb.2、(2010·天津高考)设函数f(x)若f(a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)规范解答由题意可得或解之得a>1或1<a<0.七、 反思总结： 当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1(2011·桐乡模拟)函数yax20122012(a>0，a1)的图象恒过定点_解析：令x20120，则x2012，此时ya02012120122013恒过定点(2012,2013)答案：(2012,2013)2若a>0，a1，x>y>0，nN，则下列各式：(logax)nnlogax；(logax)nlogaxn；logaxloga；logax；loga；logaloga.其中正确的个数有 ()A2个B3个C4个 D5个3如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d的大小关系是 ()Aa<b<1<c<d Ba<b<1<d<c Cb<a<1<c<d Db<a<1<d<c解析：由指数函数yax(a>0且a1)的单调性及函数yax与y()x间的关系可知b<a<1<d<c.4函数f(x)x2bxc满足f(1x)f(1x)且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx) Cf(bx)>f(cx) D大小关系随x的不同而不同解析：f(1x)f(1x)，f(x)的对称轴为直线x1，由此得b2.又f(0)3，c3.f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x)若x<0，则3x<2x<1，f(3x)>f(2x)f(3x)f(2x)5设m为常数，如果函数ylg(mx24xm3)的值域为R，则m的取值范围是_解析：因为函数值域为R，所以mx24xm3能取到所有大于0的数，即满足或m0.解得0m4.答案：0,46已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)()x；当x<4时，f(x)f(x1)，则f(2log23)_.解析：3<2log23<4，f(2log23)f(3log23)×××.答案：专心-专注-专业