O-3312概率论与数理统计1ppt.ppt

第一章 概率的公理,1.1 随机事件与概率空间,一、集合,集合是一类事物构成的整体，构成集合的事物称为集合的元素.,集合A的部分元素构成的新的集合称为A的子集。,若考虑的所有集合都是集合S的子集，则称S为空间， 如：实数空间.,集合的表示：,所有的正整数,例1 我们用 表示骰子的六个面中的第i个面，这些面用集合表示.此时n=6，因而S有 个子集，即,二、集合运算,由此可得，,.,结合律,例5 如果,，则,由此可得,.,对偶原理： 在集合恒等式中将所有的并用交代替，交用并代替，集合S和 分别用 和S代替，则恒等式仍然成立.,三、随机事件与样本空间,通常将随机试验的所有可能结果记作一个集合S，这就是空间S或必然事件.一个随机试验可以是 开关是否关闭的简单过程， 某个路口单位时间里经过的汽车时速达到30米/小时的量数， 直接测量的一些结果（如身高、体重等）， 或者对测量结果的回答（如天然水源水质的级别等）.,当研究随机试验的结果时，总假定其结果可以明确辨认，并经常用数、点或其它的符号来标识.例如，有四个建筑公司在一项高速公路的建设中竞标，我们就可以用a、b、c、d分别表示这四个公司，关心的是哪个公司竞标成功，于是这个随机试验的结果空间就可记作S=a、b、c、d，通常情况下用统计学术语称其为样本空间，而将随机试验的结果称为样本点，如本例中的a、b、c、d.,再比如政府想要设立两个新的计算机研究中心，人们关心的是北京和上海每个地方建几个这样的中心，那么这个试验的样本空间就是 S=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(0,2),一般来说，样本空间可根据其包含基本事件的数量进行分类，如上面两例都有有限个基本事件，称为有限样本空间；当样本空间中包含的元素是有限个或可列个时，称其为离散样本空间；当样本空间中的元素充满某条直线或线段或平面的一部分，这样的样本空间就被称为连续样本空间.,例8 农具商店出售各种割草机，有的操作简单、有的操作起来不算复杂、有的却很难操作；此外有的价格便宜、有的价格昂贵；在售后维护上有的维护费很高、有的维护费一般、有的维护费用很低。试按照这三个层面写出对割草机观测试验的样本空间。,子集C=(1,0),(0,1),表示_;,若随机试验的结果_出现，就说事件C发生;,子集D=(0,0),(0,1),(0,2)表示_;,子集E=(0,0),(1,1)表示_.,随机事件C和E有没有公共的基本事件？,4. 随机事件A的补：记作,1. 称这种不能同时发生的两个事件为互斥事件或互不相容.,2. 随机事件的交：记作 或 AB,3. 随机事件的并：记作,事件A含于事件B，记作_.表示 _,例11 试在概率论的意义下解释如下的事件关系.设A、B、C表示某一随机试验的三个事件，则 事件A对B的差:记作A-B或 .表示_,事件 表示_,事件 表示_,事件 表示_,事件 表示_,事件A与事件B相等，记作 .表示_.,在概率论问题中，对于随机试验由于目的不同，使得试验结果的解释也不总是惟一的.下面我们以三个游戏者X、Y与Z对掷骰子试验的不同解释来说明这种模糊性.,(1) X说，这一试验的结果是骰子的六个面，构成空间S = f1, f2, f3, f4, f5, f6.这个空间仅有 个子集,而事件“偶数点”由三个结果f2, f4, f6组成；,（2）Y只想在偶数点或奇数点上打赌，所以他认为试验只有两个结果：偶数点和奇数点，并构成空间S =偶数点，奇数点。这个空间仅有 个子集，而事件“偶数点”是由单个结果组成的；,(3)Z赌的是骰子将出现“1点”，并且骰子将停在桌子的左边.因此他认定这个试验有无穷多个结果，决定于骰子中心的坐标和它的六个面.这时的事件“偶数点”不只是包含一个或三个结果，而是有无穷多个.,可见空间（或样本空间）S并不是惟一的,它是随随机试验的目的不同而改变的.,四、概率空间,例13 两个事件A和B，如果他们由相同的元素组成，则称为相等的事件，显然有P(A)=P(B)； 如果属于事件A或B但不属于AB的所有结果组成的事件（如图1-10）,练习：以概率的频率定义为例，看看频率定义下的概率是否满足该公理.,的概率为零，则称事件A和B以概率1相等.,从上述定义可知，当且仅当 P(A)=P(B)=P(AB)时，事件A和B以概率1相等. 如果P(A)=P(B)，我们就说事件A和B是等概率的.这种情况下对于积事件AB的概率不能得出任何结论.也就是说A和B既可以互斥也可以相等.,如果事件A以概率1等于不可能事件，则P(A) = 0，但这不意味着 。,.,域：域F 是一个非空的集合类，满足：如果,，那么,（2）如果,和,，那么,例14 试证明：(1) 如果,和,，那么,(2) 必然事件和不可能事件必在域中，即,和,.,波雷尔(Borel)域 假定,是F 里的无穷序列，如果这些集合的并和交也属于F ，则F 称为波雷尔域. 集合S的所有子集构成一个波雷尔域.设C是S的一个子集类但不构成域，那么加上S的其它一些子集（必要时可加上S的全部子集），我们可以构造出一个以C为其子集的域，而且可以证明，存在一个包含C的全部元素的最小波雷尔域.,.,例15 设S由四个元素a,b,c,d组成，而C是由集合a，b组成.将a和b的补以及它们的并和交加上，我们可以得到包含a和b的最小波雷尔域，它由下列集合组成：,对概率公理化定义的第III个条件做如下推广： III 如果事件,是彼此互斥的，则,可列可加性公理：IIIa 如果可列多个事件,彼此互斥，则,假定所有概率满足公理I、II、III和IIIa.概率空间：F 是某一空间S的一些子集（事件）组成的波雷尔域，在F 上定义满足概率公理I、II、III和IIIa的实值函数P(A)，其中A是F 的任意元素，称P(A)为事件A的概率，而称三元素(S,F , P)为概率空间.,作业： 1. 标准化作业第1节； 2. 预习下节内容。,