数学（文科）试题.doc

第 1 页 共 7 页数学（文科）试题 选择题部分（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。（1）设21 .4Px xQx xPQ，则（A）（B）12xx 31xx （C）（D）14xx21xx （2）已知函数( )log1 ,( )1,f xxf aa若则（A）0（B）1（C）2（D）3（3）设 为虚数单位，则i5 1i i （A）（B）（C）（D）23i 23i 23i23i （4）某程度框图如图所示，若输出的，则判断框内为57S （A）（B）4?k 5?k （C）（D）6?k 7?k （5）设为等比数列的前 n 项和，1S na1 22 280SaaS，则（A）11（B）8（C）5（D）11（6）设则“xsin2 x<1”是“xsin x<1”的0,2x（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）若实数 x、y 满足不等式组则 x+y 的最大值为330, 230, 10,xy xy xy （A）9（B）（C）1（D）15 77 15 （8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）（B）3352 3cm3320 3cm（C）（D）3224 3cm3160 3cm（9）已知 x 是函数的一个零点，若1( )21f xx20(1,), 2(,)axxxx，则（A）（B）12()0,()0f xf x12()0,()0f xf x第 2 页 共 7 页（C）（D）12()0,()0f xf x12()0,()0f xf x（9）已知 x 是函数 f(x)=22+的一个零点.若 x1(1,x0)，x2(x0，+)，则1 1x(A)f(x2)0，f(x2)0(B) f(x1)0，f(x2)0 （C）f(x1)0，f(x2)0（D）f(x1)0，f(x2)0（10）设 O 为坐标原点，F1，F2是双曲线（a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在22x a22y b点 P，满足F1P F2=60°，=a，则该双曲线的渐近线方程为OP7（A）x±y=0（B）x±y=033(C) x±y=0(D) x±y=022非选择题部分（共 100 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 （11）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数 分别是 ， .（12）函数 f(x)=sin2 (2x)的最小正周期是 .4（13）已知平面向量，1, =2，（2），则的值是 .2（14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的数是 . （15）若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy，则 xy 的最小值是 . （16）某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七月份销售 额比六份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月 至十月份销售总额至少达 7000 万元，则 x 的最小值是 . （17）在平行四边形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点， P，Q，M，N 分别是线段 OA、OB、OC、OD 的中点.在 A，P，M，C 中任取一点第 3 页 共 7 页记为 E，在 B，Q，N，D 中任取一点记为 F.设 G 为满足向量的点，则在上述的点 G 组成OGOEOF 的集合中的点，落在平行四边形 ABCD 外（不含边界）的概率为 . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （18）（本题满分 13 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为ABC 的面积，满足 S（a2b2c2）.3 4（）求角 C 的大小; （）求 sinAsinB 的最大值. （19）（本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，z 差为 d 的等差数an的前 n 项和为 Sn，满足 S2S6150. （）若 S5S.求 Sn及 a1; （）求 d 的取值范围. （20）（本题满分 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB2BC，ABC120°，E 为线段 AB 的中线，将ADE 沿直线 DE 翻 折成ADE，使平面 ADE平面 BCD，F 为线段 AC 的中点. （）求证：BF平面 ADE; （）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面ADE 所成角的余弦值. （21）（本题满分 15 分）已知函数 f（x）（a）（ab） （a，bR，a<b）. （）当 a1，b2 时，求曲线 yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程; （）设 x1，x2是 f（x）的两个极值点，x3是 f（x）的一个零点，且 x3x1，x3x2. 证明：存在实数 x4，使得 x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求 x4. （22）（本题满分 15 分）已知 m 是非零实数，抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 在直线 l：xmy0 上.22m（）若 m2，求抛物线 C 的方程; （）设直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作抛物线 C 的准 线的垂直，垂足为 A1，B1，AA1F，BB1F 的重心分别为 G，H.求证：对任意 非零实数 m，抛物线 C 的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外.数学（文科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 （1）D（2）B（3）C（4）A（5）A （6）B（7）A（8）B（9）B（10）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。（11）45，46（12）(13) 210第 4 页 共 7 页（14）n2+n（15）18（16）20（17）3 4 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。 （18）本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。满分 14 分。()解：由题意可知absinC=,2abcosC.1 23 4所以 tanC=.3因为 0<C<，所以 C=. 3（)解：由已知 sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)2 3=sinA+A+sinA=sin(A+).3 21 23 63当ABC 为正三角形时取等号，所以 sinA+sinB 的最大值是.3(19)本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能 力。满分 14 分。()解：由题意知 S0=-3,5-15 Sa=S-S=-8所以11105,58.Sadad 解得 a1=7 所以 S=-3,a1=7()解：因为 SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a12+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以 d28.故 d 的取值范围为 d-2或 d2.22(20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论 证能力。满分 14 分。()证明：取 AD 的中点 G，连结 GF，CE，由条件易知第 5 页 共 7 页FGCD，FG=CD.1 2BECD,BE=CD.1 2 所以 FGBE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以 BF平面 ADE. （)解：在平行四边形 ABCD 中，设 BC=a, 则 AB-CD=2A,AD=AE=EB=a, 连 CE. 因为ABC=120°,在BCE 中，可得 CE=a,3在ADE 中，可得 DE=a, 在CDE 中，因为 CD2=CE2+DE2，所以 CEDE, 在正三角形 ADE 中，M 为 DE 中点，所以 AMDE. 由平面 ADE 平面 BCD, 可知 AM平面 BCD,AMCE. 取 AE 的中点 N，连线 NM、NF， 所以 NFDE,NFAM. 因为 DE 交 AM 于 M, 所以 NF.平面 ADE, 则FMN 为直线 FM 与平面 ADE 新成角.在 RtFMN 中，NF=a,MN=a,FM=a,3 21 2则 cos/ =.1 2所以直线 FM 与平面 ADE 所成角的余弦值为.1 2 (21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考 查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分 15 分。()解：当 a=1,b=2 时， 因为 f(x)=(x-1)(3x-5). 故 f(2)=1.又 f（2）0， 所以 f（x）在点（2，0）处的切线方程为 yx2.（）证明：因为 f（x）3（xa）（x），2 3ab由于 a<b.故 a<.2 3ab第 6 页 共 7 页所以 f（x）的两个极值点为 xa，x.2 3ab不妨设 x1a，x2，2 3ab因为 x3x1，x3x2，且 x3是 f（x）的零点， 故 x3b.又因为a2（b），2 3ab2 3abx4（a），1 22 3ab2 3ab所以 a，b 依次成等差数列，2 3ab2 3ab所以存在实数 x4满足题意，且 x4.2 3ab（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析 几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。（）解：因为焦点 F（，0）在直线 l 上，得2Ppm2， 又 m2，故 p4. 所以抛物线 C 的方程为 y28x. （）证明：因为抛物线 C 的焦点 F 在直线 l 上， 所以 p，lm2， 所以抛物线 C 的方程为 y22m2x. 设 A（x1，y1），B（x2，y2），由消去 x 得222,2 2,mxmyym x y22m3ym40， 由于 m0，故4m64m40， 且有 y1y22m3，y1y2m4， 设 M，M2分别为线段 AA1，BB1的中点，由于 212,2,M CCFM HHF 可知 G（），H（），112,33xy222,33xy所以242 1212(),6636xxm yymmm3 12222,63yym第 7 页 共 7 页所以 GH 的中点 M.2222,363mmm设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径，则 R2=(m2+4)(m2+1)m2.1 421 9GH设抛物线的准线与 x 轴交点 N(，0)，22m则=2MN224232 2363mmmm=m4(m4+8 m2+4)1 9=m4(m2+1)( m2+4)+3m21 9m2 (m2+1)( m2+4)=R2.1 9 故 N 在以线段 GH 为直径的圆外.