数学公式手册.doc

- 1 -GCT 常用数学公式总结常用数学公式总结一、初等数学部分一、初等数学部分1.1.德摩根公式德摩根公式 . .();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B2.2.UUABAABBABC BC AUAC B UC ABR3.3.()()card ABcardAcardBcard AB ()()card ABCcardAcardBcardCcard AB. .()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC4.4.二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 一般式一般式; 顶点式顶点式 2( )(0)f xaxbxc a;零点式零点式. .2( )()(0)f xa xhk a12( )()()(0)f xa xxxxa5.5.设设那么那么2121,xxbaxx上是增函数；上是增函数；1212()()()0xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在上是减函数上是减函数. .1212()()()0xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在设函数设函数在某个区间内可导，如果在某个区间内可导，如果，则，则为增函数；如果为增函数；如果)(xfy 0)( xf)(xf，则，则为减函数为减函数. .0)( xf)(xf6.6.函数函数的图象的对称性的图象的对称性:函数函数的图象关于直线的图象关于直线对称对称( )yf x( )yf xxa.函数函数的图象关于直线的图象关于直线()()f axf ax(2)( )faxf x( )yf x对称对称. .2abx()()f amxf bmx()()f abmxf mx7.7.两个函数图象的对称性两个函数图象的对称性:函数函数与函数与函数的图象关于直线的图象关于直线( )yf x()yfx( (即即轴轴) )对称对称.函数函数与函数与函数的图象关于直线的图象关于直线0x y()yf mxa()yf bmx对称对称.函数函数和和的图象关于直线的图象关于直线 y=xy=x 对称对称. .2abxm)(xfy )(1xfy- 2 -8.8.分数指数幂分数指数幂 （，且，且）. .1m n nma a0,am nN1n （，且，且）. .1m n m na a0,am nN1n 9.9. . .log(0,1,0)b aNbaN aaN10.10.对数的换底公式对数的换底公式 . .推论推论 . .logloglogm a mNNaloglogmn aanbbm11.11.( ( 数列数列的前的前 n n 项的和为项的和为).).11,1,2n nnsnassnna12nnsaaa12.12.等差数列的等差数列的通项公式通项公式；* 11(1)()naanddnad nN其前其前 n n 项和公式项和公式 . .1() 2n nn aas1(1) 2n nnad2 11()22dnad n13.13.等比数列的等比数列的通项公式通项公式；1*1 1()nn naaa qqnNq其前其前 n n 项的和公式项的和公式或或. .11(1),11 ,1nnaqqsqna q 11,11 ,1nnaa qqqs na q 14.14.等比差数列等比差数列: :的通项公式为的通项公式为 na11,(0)nnaqad ab q；1(1) ,1(),11nn nbnd q abqdb qdqq 其前其前 n n 项和公式为项和公式为. .(1) ,11(),1111n nnbn nd q sdqdbn qqqq 15.分期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款) 每次还款每次还款元元(贷款贷款元元,次还清次还清,每期利率为每期利率为(1) (1)1nnabbxban).b16.16.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 ，= =，. .22sincos1tan cossintan1cot17.17.正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式21 2( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 为偶数 为奇数- 3 -21 2( 1)s ,s()2( 1)sin ,nnconco 18.18.和角与差角公式和角与差角公式; ;sin()sincoscossin; ;cos()coscossinsin. .tantantan()1tantan( (平方正弦公式平方正弦公式););22sin()sin()sinsin. .22cos()cos()cossin= =( (辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定, ,sincosab22sin()ab( , )a b).).tanb a19.19.二倍角公式二倍角公式 . .sin2sincos. . .2222cos2cossin2cos11 2sin 22tantan21tan 20.20.三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数，xRxR 及函数及函数，sin()yxcos()yxxR(xR(A,A,为常数，且为常数，且 A A00，0 0) )的周期的周期；函数；函数，2T tan()yx( (A,A,为常数，且为常数，且 A A00，0 0) )的周期的周期. .,2xkkZT 21.21.正弦定理正弦定理 . .2sinsinsinabcRABC22.22.余弦定理余弦定理; ; ; . .2222cosabcbcA2222cosbcacaB2222coscababC23.23.面积定理面积定理（1 1）（分别表示分别表示 a a、b b、c c 边上的高）边上的高）111 222abcSahbhchabchhh、. .（2 2）. .111sinsinsin222SabCbcAcaB(3)(3). .221(| |)()2OABSOAOBOA OB 24.24.三角形内角和定理三角形内角和定理 在在ABCABC 中，有中，有. .()222CABABCCAB222()CAB25.25.平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 为偶数 为奇数- 4 -= =(A(A，B B).).,A Bd|ABAB AB 22 2121()()xxyy11( ,)x y22(,)xy26.26.向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a=a=,b=,b=，且，且 b b0 0，则，则11( ,)x y22(,)xya a b bb=ab=a . .: 12210x yx ya ab(ab(a0)0)a a·b=0·b=0. .12120x xy y27.27.线段的定比分公式线段的定比分公式 设设，是线段是线段的分点的分点, ,是是111( ,)P x y222(,)P xy( , )P x y12PP实数，且实数，且，则，则12PPPP （）. .121211xxxyyy 12 1OPOPOP 12(1)OPtOPt OP 1 1t28.28.三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为、11A(x,y)22B(x,y), ,则则ABCABC 的重心的坐标是的重心的坐标是. .33C(x,y)123123(,)33xxxyyyG29.29.点的平移公式点的平移公式 ( (图形图形 F F 上的任意一上的任意一''''xxhxxhyykyyk''OPOPPP 点点 P(xP(x，y)y)在平移后图形在平移后图形上的对应点为上的对应点为，且，且的坐标为的坐标为).).'F'''( ,)P x y'PP ( , )h k30.30.常用不等式：常用不等式：（1 1）( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ), a bR222abab（2 2）( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ), a bR2abab（3 3）3333(0,0,0).abcabc abc（4 4）柯西不等式）柯西不等式22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR（5 5）bababa31.31.极值定理极值定理 已知已知都是正数，则有都是正数，则有yx,（1 1）如果积）如果积是定值是定值，那么当，那么当时和时和有最小值有最小值；xypyx yx p2（2 2）如果和）如果和是定值是定值 ，那么当，那么当时积时积有最大值有最大值. .yx syx xy2 41s32.32.一元二次不等式一元二次不等式，如果，如果与与20(0)axbxc或2(0,40)abac a同号，则其解集在两根之外；如果同号，则其解集在两根之外；如果与与异号，则其解集在异号，则其解集在2axbxca2axbxc 两根之间两根之间. .简言之：同号两根之外，异号两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间. . ；121212()()0()xxxxxxxxx. .121212,()()0()xxxxxxxxxx或- 5 -33.33.含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当当 a>a> 0 0 时，有时，有. .22xaxaaxa 或或. .22xaxaxaxa 34.34.无理不等式（无理不等式（1 1） . .( )0 ( )( )( )0( )( )f x f xg xg xf xg x （2 2）. .2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或（3 3）. .2( )0 ( )( )( )0( ) ( )f x f xg xg xf xg x 35.35.指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式 (1)(1)当当时时, ,1a ; ; . .( )( )( )( )f xg xaaf xg x( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x (2)(2)当当时时, ,01a; ;( )( )( )( )f xg xaaf xg x( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x 36.斜率公式斜率公式 （、）.2121yykxx111( ,)P x y222(,)P xy37.直线的四种方程直线的四种方程 （1）点斜式）点斜式 ( (直线直线 过点过点，且斜率为，且斜率为)11()yyk xxl111( ,)P x yk（2 2）斜截式）斜截式 (b(b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截距轴上的截距).).ykxbl（3 3）两点式）两点式 ( ()()(、 ( ().).112121yyxx yyxx12yy111( ,)P x y222(,)P xy12xx（4 4）一般式）一般式 (其中其中 A、B 不同时为不同时为 0).0AxByC38.两条直线的平行和垂直两条直线的平行和垂直 （1）若）若，111:lyk xb222:lyk xb;.121212,llkk bb:12121llk k (2)若若,且且 A1、A2、B1、B2都不为零都不为零,1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC；111 12 222ABCllABC:1212120llA AB B- 6 -39.夹角公式夹角公式 .(，,)212 1tan|1kk k k111:lyk xb222:lyk xb121k k (,).12211212tanABA B A AB B1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC12120A AB B直线直线时，直线时，直线 l1与与 l2的夹角是的夹角是.12ll240.点到直线的距离点到直线的距离 (点点,直线直线 ：).0022|AxByCd AB 00(,)P xyl0AxByC41. 圆的四种方程圆的四种方程（1 1）圆的标准方程）圆的标准方程 . .222()()xaybr（2 2）圆的一般方程）圆的一般方程 ( (0).0).220xyDxEyF224DEF（3 3）圆的参数方程）圆的参数方程 . .cos sinxar ybr （4 4）圆的直径式方程）圆的直径式方程 ( (圆的直径的端点是圆的直径的端点是1212()()()()0xxxxyyyy、).).11( ,)A x y22(,)B xy42.42.椭圆椭圆的参数方程是的参数方程是. .22221(0)xyababcossinxayb 43.43.椭圆椭圆焦半径公式焦半径公式 ，. .22221(0)xyabab)(21caxePF)(22xcaePF44.44.双曲线双曲线的焦半径公式的焦半径公式22221(0,0)xyabab，. .21| ()|aPFe xc22| ()|aPFexc45.45.抛物线抛物线上的动点可设为上的动点可设为 P P或或 P P，其中，其中 pxy22),2(2ypy或 )2 ,2(2ptptP(,)x y. .22ypx46.46.二次函数二次函数的图象是抛物线：（的图象是抛物线：（1 1）顶）顶2 224()24bacbyaxbxca xaa(0)a 点坐标为点坐标为；（；（2 2）焦点的坐标为）焦点的坐标为；（；（3 3）准线方）准线方24(,)24bacb aa241(,)24bacb aa程是程是. .241 4acbya47.47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或或22 1212()()ABxxyy- 7 -（弦端点（弦端点 A A2222 211212(1)()| 1tan| 1tABkxxxxyyco，由方程，由方程 消去消去 y y 得到得到，, ,为为),(),(2211yxByx 0)y, x(Fbkxy02cbxax0 直线直线的倾斜角，的倾斜角，为直线的斜率）为直线的斜率）. . ABk 48.48.圆锥曲线的两类对称问题：圆锥曲线的两类对称问题：（1 1）曲线）曲线关于点关于点成中心对称的曲线是成中心对称的曲线是. .( , )0F x y 00(,)P xy00(2- ,2)0Fx xyy（2 2）曲线）曲线关于直线关于直线成轴对称的曲线是成轴对称的曲线是( , )0F x y 0AxByC. .22222 ()2 ()(,)0A AxByCB AxByCF xyABAB 49.“49.“四线四线”一方程一方程 对于一般的二次曲线对于一般的二次曲线，用，用220AxBxyCyDxEyF代代，用，用代代，用，用代代，用，用代代，用，用代代即得方即得方0x x2x0y y2y00 2x yxyxy0 2xxx0 2yyy程程，曲线的切线，切点弦，中，曲线的切线，切点弦，中0000 000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF点弦，弦中点方程均是此方程得到点弦，弦中点方程均是此方程得到. . 50.共线向量定理共线向量定理 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab存在实数存在实数 使使a=b 51.51.对空间任一点对空间任一点 O O 和不共线的三点和不共线的三点 A A、B B、C C，满足，满足，OPxOAyOBzOC 则四点则四点 P P、A A、B B、C C 是共面是共面1xyz52.52. 空间两个向量的夹角公式空间两个向量的夹角公式 coscosa a，b=b=（a a1 1223 3222222 123123aba ba baaabbb，b b）. .123(,)a a a123( ,)b b b53.直线直线与平面所成角与平面所成角(为平面为平面的法向量的法向量).ABsin|AB marcAB m m54.二面角二面角的平面角的平面角或或（，为平为平l cos|m narcm n cos|m narcm n mn面面，的法向量）的法向量）.55.55.设设 ACAC 是是 内的任一条直线，且内的任一条直线，且 BCACBCAC，垂足为，垂足为 C C，又设，又设 AOAO 与与 ABAB 所成的角为所成的角为，ABAB 与与 ACAC 所成的角为所成的角为，AOAO 与与 ACAC 所成的角为所成的角为则则. .1212coscoscos56.56.若夹在平面角为若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是, , ,12与二面角的棱所成的角是与二面角的棱所成的角是 ，则有，则有; ;2222 1212sinsinsinsin2sinsincos- 8 -( (当且仅当当且仅当时等号成立时等号成立).).1212|180()9057.57.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 若若 A A，B B，则，则111( ,)x y z222(,)xyz= =. .,A Bd|ABAB AB 222 212121()()()xxyyzz58.58.点点到直线到直线 距离距离( (点点在直线在直线 上，直线上，直线 的方向向的方向向Ql221(|)()|ha ba baPll量量 a=a=，向量，向量 b=b=).).PA PQ 59.异面直线间的距离异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为是两异面直线，其公垂向量为，分分| |CD ndn 12,l lnCD、别是别是上任一点，上任一点，为为间的距离间的距离).12,l ld12,l l60.点点到平面到平面的距离的距离 （为平面为平面的法向量，的法向量，是经过面是经过面的一的一B| |AB ndn nAB条斜线，条斜线，）.A61.异面直线上两点距离公式异面直线上两点距离公式 2222cosddmnmn ( (两条异面直线两条异面直线 a a、b b 所成的角为所成的角为 ，其公垂线段，其公垂线段的长度为的长度为 h.h.在直线在直线 a a、b b 上上'AA分别取两点分别取两点 E E、F F，, , ,).).'AEmAFnEFd 62.62. 2222 123llll222 123coscoscos1（长度为（长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分，夹角分l123lll、别为别为） （立几中长方体对角线长的公式是其特例）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）. .123、63.63. 面积射影定理面积射影定理 'cosSS( (平面多边形及其射影的面积分别是平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为，它们所在平面所成锐二面角的为).).S'S 64.64.欧拉定理欧拉定理( (欧拉公式欧拉公式) ) ( (简单多面体的顶点数简单多面体的顶点数 V V、棱数、棱数 E E 和面数和面数 F)F)2VFE65.65.球的半径是球的半径是 R R，则其体积是，则其体积是, ,其表面积是其表面积是34 3VR24SR66.66.分类计数原理（分类计数原理（加法原理）加法原理）. .12nNmmm67.67.分步计数原理（分步计数原理（乘法原理乘法原理）. .12nNmmm68.68.排列数公式排列数公式 = = =.(.(，NN* *，且，且) )m nA) 1() 1(mnnn！ )(mnn nmmn69.69.排列恒等式排列恒等式 （1 1）; ;（2 2）; ;（3 3）; ; 1(1)mm nnAnmA1mm nnnAAnm1 1mm nnAnA （4 4）; ;（5 5）. .1 1nnn nnnnAAA 1 1mmm nnnAAmA - 9 -70.70.组合数公式组合数公式 = = = =( (，NN* *，且，且).).m nCm n m mA Ammnnn 21) 1() 1( ！ )(mnmn nmmn71.71.组合数的两个性质组合数的两个性质(1)(1) = = ;(2);(2) + += =m nCmn nCm nC1m nCm nC172.72.组合恒等式（组合恒等式（1 1）; ;（2 2）; ;（3 3）; ; 11mm nnnmCCm1mm nnnCCnm1 1mm nnnCCm （4 4）= =; ;（5 5）. . nrr nC0n21 121 r nr nr rr rr rCCCCC73.73.排列数与组合数的关系是：排列数与组合数的关系是： . .mm nnAm C ！74.74.二项式定理二项式定理 ; ;nn nrrnr nn nn nn nnbCbaCbaCbaCaCba222110)(二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式：. .rrnr nrbaCT 1)210(nr， 75.75.等可能性事件的概率等可能性事件的概率. .( )mP An76.76.互斥事件互斥事件 A A，B B 分别发生的概率的和分别发生的概率的和 P(AP(AB)=P(A)B)=P(A)P(B)P(B)77.77.个互斥事件分别发生的概率的和个互斥事件分别发生的概率的和n P(AP(A1 1A A2 2A An n)=P(A)=P(A1 1) )P(AP(A2 2) )P(AP(An n) ) 78.78.独立事件独立事件 A A，B B 同时发生的概率同时发生的概率 P(A·B)=P(A·B)= P(A)·P(B).P(A)·P(B). 79.n79.n 个独立事件同时发生的概率个独立事件同时发生的概率 P(AP(A1 1·· A A2 2···· A An n)=P(A)=P(A1 1)·)· P(AP(A2 2)··)·· P(AP(An n) )80.n80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生次独立重复试验中某事件恰好发生 k k 次的概率次的概率( )(1).kkn k nnP kC PP81.81.离散型随机变量的分布列的两个性质：（离散型随机变量的分布列的两个性质：（1 1）; ;（2 2）0(1,2,)iPi. .121PP82.82.数学期望数学期望1 122nnEx Px Px P83.83.数学期望的性质：（数学期望的性质：（1 1）；（；（2 2）若）若，则，则()( )E abaEb( , )B n p. .Enp84.84.方差方差222 1122nnDxEpxEpxEp85.85.标准差标准差= =. .D86.86.方差的性质方差的性质(1)(1);(2);(2)；（；（3 3） 22()DEE2D aba D若若，则，则.( , )B n p(1)Dnpp87.87.正态分布密度函数正态分布密度函数式中的实数式中的实数 2221,2x f xex ，（>0>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. .- 10 -88.88.标准正态分布标准正态分布密度函数密度函数. . 221,2x f xex 89.89.对于对于，取值小于，取值小于 x x 的概率的概率. .2( ,)N xF x 12201xxPxxPxxxP 21F xF x. .21xx 90.90.回归直线方程回归直线方程 ，其中，其中. .yabx1122211nniiii ii nnii iixxyyx ynx y b xxxnxaybx 91.91.相关系数相关系数 . .12211()()nii innii iixxyy rxxyy 1222211()()nii innii iixxyyxnxyny |r|1|r|1，且，且|r|r|越接近于越接近于 1 1，相关程度越大；，相关程度越大；|r|r|越接近于越接近于 0 0，相关程度越小，相关程度越小. .92.92.特殊数列的极限特殊数列的极限 （1 1）.0| 1 lim11| 11nnq qqqq 不存在或（2 2）.1 10 1 100()lim()()kk kkt ttnttkkt a nanaaktbnb nbbkt 不存在 （3 3）（无穷等比数列无穷等比数列 ( () )的和）的和）. .111lim11nnaqaSqqS1 1na q| 1q 93.这是函数极限存在的一个充要条件这是函数极限存在的一个充要条件.0lim( ) xxf xa 00lim( )lim( ) xxxxf xf xa 94.函数的夹逼性定理函数的夹逼性定理 如果函数如果函数 f(x)，g(x)，h(x)在点在点 x0的附近满足：的附近满足：（1）;（2）（常数）（常数）,则则.( )( )( )g xf xh x00lim( ),lim ( ) xxxxg xah xa 0lim( ) xxf xa 本定理对于单侧极限和本定理对于单侧极限和的情况仍然成立的情况仍然成立.x95.两个重要的极限两个重要的极限 （1）；（；（2）(e=2.718281845). 0sinlim1 xx x1lim 1xxex96.96.在在处的导数（或变化率或微商）处的导数（或变化率或微商）)(xf0x- 11 -. . 000 000()()()limlimx xxxf xxf xyfxyxx 97.97.瞬时速度瞬时速度. . 00()( )( )limlim ttss tts ts ttt 98.98.瞬时加速度瞬时加速度. . 00()( )( )limlim ttvv ttv tav ttt 99.99.在在的导数的导数. .)(xf),(ba( )dydffxydxdx 00()( )limlim xxyf xxf x xx 100.100.函数函数在点在点处的导数是曲线处的导数是曲线在在处的切线的斜率处的切线的斜率)(xfy 0x)(xfy )(,(00xfxP，相应的切线方程是，相应的切线方程是. .)(0xf )(000xxxfyy101.101.几种常见函数的导数几种常见函数的导数(1)(1) （C C 为常数）为常数）. .0C (2)(2) . .'1()()n nxnxnQ(3)(3) . .xxcos)(sin(4)(4) . .xxsin)(cos(5)5) ；. .xx1)(lne ax xalog1)(log(6)(6) ; ; . .xxee )(aaaxxln)(102.102.复合函数的求导法则复合函数的求导法则 设函数设函数在点在点处有导数处有导数，函数，函数( )uxx''( ) xux在点在点处的对应点处的对应点 U U 处有导数处有导数，则复合函数，则复合函数在点在点)(ufy x''( ) uyf u( ( )yfx处有导数，且处有导数，且，或写作，或写作. .x''' xuxyyu'''( ( )( )( )xfxf ux103.103.可导函数可导函数的微分的微分. .)(xfy dxxfdy)( 104.104. .（）,abicdiac bd, , ,a b c dR105.105.复数复数的模（或绝对值）的模（或绝对值）= = =. .zabi| z|abi22ab106.106.复数的四则运算法则复数的四则运算法则(1)(1); ;()()()()abicdiacbd i(2)(2); ;()()()()abicdiacbd i(3)(3); ;()()()()abi cdiacbdbcad i(4)(4). .2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd107.107.复平面上的两点间的距离公式复平面上的两点间的距离公式 （22 122121|()()dzzxxyy，）. .111zxy i222zxy i- 12 -108.108.向量的垂直向量的垂直 非零复数非零复数，对应的向量分别是对应的向量分别是，1zabi2zcdi1OZ ，则，则2OZ 的实部为零的实部为零为纯虚数为纯虚数12OZOZ 12zz21z z222 1212|zzzz( 为非零为非零222 1212|zzzz1212| |zzzz0acbd12ziz实数实数).).109.109.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程实系数一元二次方程，若若20axbxc, ,则则;若若, ,则则;240bac 21,24 2bbacxa 240bac 122bxxa 若若，它在实数集，它在实数集内没有实数根；在复数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共内有且仅有两个共240bac RC轭复数根轭复数根. .2 2(4)(40)2bbac ixbaca - 13 -2、微积分部分微积分部分导数公式：导数公式：基本积分表：基本积分表：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx Caxx axdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxx x)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222 22 2CaxxadxCxaxa axadxCaxax aaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdx arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnn narcsin22ln22)ln(221cossin2 2222222 2222222 222222020- 14 -三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：222212 211cos12sinududxxtguuuxuux， ， ， 一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限：两个重要极限：xxarthxxxarchxxxarshxeeee chxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.5904571828182