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数学小课题研究教学案例约数和倍数单元教学约数和倍数单元教学一、单元整体安排一、单元整体安排约数和倍数是人教版九年义务教育六年制小学数学第十册第三单元内容，教材里知识点出现的顺序是：整除约数和倍数的意义能被 2、3、5 整除的数的特征质数合数互质数分解质因数最大公约数最小公倍数等。我先从最小公倍数开始带领学生来研究学习这个单元。根据教师用书的建议，本单元需要十二课时完成，我计划用六个课时完成。我的想法是，打破课堂四十分钟的局限，把研究延伸到课下和课外，把以听、练为主的学习方式改为自己思考、与同学及家长共同研究，还可以利用网络、图书等查寻资料；课堂上，由学生汇报、展示小组的研究成果，然后全体同学再研究、共同进步。第一课时，在学生对本单元知识内容一点也没接触的情况下，尝试着直接学习本单元的最后一个知识内容最小公倍数，这是一节常规课；第 25 课时为小课题研究课；第 6 课时带领学生进行知识的梳理和总结，是一节整理复习课。二、二、 课题的确定课题的确定本单元概念多，并且比较抽象。学生在学习这部分内容时，容易混淆概念，做题时很容易出错，学生的学习兴趣也不大。我班学生对数学小课题研究的热情很高，在课外小课题研究中解决了一些学生生活和学习中遇到的很多有趣的数学小问题。能不能把这种研究引入单元教学呢？我想是可以的。由本单元的最后部分开始，抛出一个生活中学生比较熟悉的问题，让学生去研究，在老师的帮助下，遇到什么问题，就去研究解决什么问题，一步一步深入下去，通过研究一个一个问题形成的一个一个小课题，等课题研究完了，本单元的所有知识内容也就学完了。这样不但大大调动了学生的学习积极性，还培养了学生的研究能力及合作学习能力。三、三、 课题的布置与指导课题的布置与指导 1 1第一课时，在学生一点也没接触本单元知识内容的情况下，尝试着直接学习本单元的最后一个知识点最小公倍数。第二课时，研究约数、质数、合数和互质数。在研究这些问题时，学生会发现各个数与它的约数间有着很多的联系，本节课后让学生课下重点研究 2、3、5 的倍数的规律。这样就引入了第三课时。第三课时：研究能被 2、3、5 整除的数的特征。掌握了能被 2、3、5 整除的数的特征，对于很多的数，学生都能很快地判断出是否是合数。下节课让学生研究怎么能尽快地找出一个合数有几个因数呢？引出第四节课的学习。第四课时：在巩固上节课所学内容的基础上，研究分解质因数。分解质因数时既安排学生研究分解一个数的，也安排学生研究一组数（含两个数）如何分解。学生会发现两个数一起分解的时候也有一些有趣的现象，让学生带着问题回家继续深入研究，第二天上课时在小组内交流。然后引出第五课时要研究学习的内容求最大公约数。其实课上到这儿。第五课时：重点研究如何又快又简便的求出两个数或者三个数的最大公约数。第六课时：指导学生整理本单元的知识内容，把学过的概念进行归纳整理，在自己的头脑中建立起本单元内容的知识体系。由于这一单元知识内容连贯性非常强，教学时间密度大，所以课下没有多少时间进行指导，我是这样解决这个问题的：首先分组时我就根据学生研究能力的强弱进行组合搭配，研究出成果的部分同学第二天迫不及待的就将自己的发现汇报给老师和小组成员，我表扬他们研究的积极性高，也对他们研究的内容进行初次指导。然后在课开始的前几分钟内，安排小组同学交流自己的研究发现，以强带弱。我再利用这一时间了解每个小组研究到了什么程度，做到心中有数，进行二次指导，再有针对性的选取有代表性的小组进行汇报展示。第一课时第一课时最小公倍数最小公倍数四、课堂教学实录四、课堂教学实录 1 1课前游戏。师：同学们我们来做拍手游戏，我拍几下，你们拍出我的二倍好吗？师，拍二下，拍三下，学生拍出二、三的二倍数。 （游戏中让学生感知倍数）【评析：评析：课前的互动游戏蕴藏着倍数的知识，既调动了学生的积极性，又使学生初步感知倍数。 】（一）故事引入师：（多媒体演示）给大家讲一个故事，从前，在美丽的大海边，有一个小渔村，村里住着哥弟俩。有一年，他们给自己立了一个规矩，哥哥说：“我连续打 3 天鱼休息一天。 ”弟弟说：“我连续打 5 天鱼要休息一天。 ”有一位城里的朋友，在 7 月 1 日这天想：“我瞅个他们俩都在家休息的日子去看他们，哪天去好呢？”在这一个月里，他可以选哪些日子去呢？你们能帮他找出来吗？建议小组分工合作。 （教师巡视指导，课件显示七月份日历。 ）小组汇报，老师随学生的汇报板书。哥的休息日：4 8 12 16 20 24 28弟的休息日：6 12 18 24 30哥弟共同的休息日：12 24师：哥的休息日正好全是哪个数的倍数？生：4师：弟的休息日正好全是哪个数的倍数？生：6师：哥弟共同的休息日正好是（4）和（6）公有的倍数，如果这位朋友想尽早地去看这哥俩，应该哪天去呢？（引出 12 是 4 和 6 的最小的公倍数。 ）随着学生的回答，老师完成板书。哥弟共同的休息日： 12 24（4 和 6 公有的倍数）：12 24师：如果不只是在七月，可以继续下去的话，4 和 6 的倍数，还有哪些呢？（学生依次答出，并且能说出有无限多个。 ）（课件显示公倍数、最小公倍数概念）【评析：评析：由数学小故事引入，学生感受到公倍数在生活中的应用价值，借助生活实际学生很自然的理解了公倍数、最小公倍数的概念，又为进一步探索求两个数的最小公倍数的方法做了铺垫。 】3、师：最小公倍数在生活的用处可大着呢，我们很有必要来研究一下怎么找两个数的最小公倍数。现在同学们随便找两个数，动动脑筋，看怎样能从中尽快找出他们的最最小公倍数最小公倍数小公倍数。考虑好自己的想法后再在组内交流。（学生交流，老师巡视指导）【评析：评析：从特殊到一般，让学生研究怎样求任意两个数的最小公倍数，大家集思广益，在小组内把自己的想法进行交流。既培养了学生独立思考的习惯，又提高了小组合作学习的能力。 】（二）交流辨析1、师：刚才我看到很多同学有自己的想法，讨论得很热烈。现在哪个小组愿意把你们的研究成果展示给大家？2、一小组代表：我们受老师的启发，也把两个数的倍数按照一定的顺序各列了一些，从中能找出他们的最小公倍数。比如：6 和 9。6 的倍数有：6 12 18 24 30 36 42 48 54 9 的倍数有：9 18 27 36 45 54 （学生用彩笔边标边说）从中不难看出来，36 是 6 和 9的最小公倍数。大家认为我们这样做，对吗？生 1：把倍数一一列举出来，找公倍数就非常清楚了。生 2：方法是对的，只是有些麻烦。【评析：评析：学生运用列举法，找出了两个数的公倍数和最小公倍数。虽然麻烦一些，但方法容易掌握，得到同伴认可的同学热情高涨，教师这里应该及时表扬，增进学生的自信心。 】3、三小组代表：我们组研究发现，求 4 和 6 的最小公倍数，可以把 4 和 6 乘起来，然后再除以 2，就得到这两个数的最小公倍数。象 8 和 10，6 和 8 等也是这样。生：是不是所有的数都可以这样呢？师：同学们在练习本上多写几组，看看，是不是任意两个数都可以采用这种方法。（不一会就有学生举手要求发言。 ）生：有的数是可以的，但有的不行，比如上面刚刚提到的 6 和 9 的最小公倍数，用这个方法，先相乘后除以 2，是27，27 并不是 6 和 9 的最小公倍数。生:我举个例子比如 8 和 16 乘起来是 128，再除以 2 是64。64 并不是他们的最小公倍数。生：我也发现这种方法行不通，比如最简单的 1 和 2，如果用 1×2÷2=1，很明显 1 不是他们的最小公倍数。（三组同学连连点头。 ）4、二小组代表：我们发现 10 和 15，15 和 20 等，相差5 的数，把这两个数加起来再加上 5 的倍数就行。（有不少学生说行，有的说不行，老师说：呵呵，是的，这有局限性。 ）【评析：评析：在求最小公倍数时，学生没有停留在一种办法上，而是继续探索更简便易行的方法。在宽松民主的课堂氛围中，学生的思维是异常活跃的，学生们大胆提出自己的想法。三组学生提出两个数相乘再除以 2 的方法后，一石激起千层浪，学生们纷纷质疑，学生的质疑也是有理有据的，在同学们列举的大量实例面前，三组同学也是心服口服。大家畅所欲言，积极主动地调动自己的知识储备去探索、验证、总结。 】5、四小组代表：我们发现象 3 和 5，5 和 7 这样的数，直接乘起来的积就是这两个数的最小公倍数，同学们如果不信，可以试试，比如象 3 和 5，他们乘起来的积是 15，你们还能找到比 15 更小同时又是这两个数的公倍数的数吗？（这时又有一学生问：所有的数都可以这样乘吗？）（老师随手把这个学生的问题记在了黑板的一角。 ）6、五小组代表：我们也发现了一些特殊的数，象 2 和4，4 和 8，2 和 10 等，这样成倍数关系的数，大的数就是这两个数的最小公倍数。我们试了很多，都行。同学们不妨也试试，如果你们能找出是倍数关系，但是较大的数不是这两个数的最小公倍数，我们组有奖品给你。（学生纷纷在练习本上写，过了一会，教室里安静下来，没有一人能举出这样的例子，所以这个方法在得到老师的肯定后，就被确定了下来。教师板书记录）【评析：评析：教师尊重学生的主体地位，放手让学生任意写两个数，必然会出现多种情况。其中两种特殊的情况分别是：两个数是互质数和两个数成倍数关系，如何求它们的最小公倍数。学生能够发现方法，是意料之中的。但由于只是个别小组发现，教师没有急于评价，而是把它记录下来，作为子课题继续研究。 】7、六小组同学：我们组举了一个例子，10 和 12，10 可以写成 10=2×5，12 可以写成 12=2×2×3这样的话，我把 10 中的 2 和 5，12 中的 2 和 3 连乘起来，就是 2×5×2×3=60，我们验证后确定，60 是 10 和 12 的最小公倍数。有同学问：12 中的两个 2 为什么只乘一个 2 呢？8、六组代表 1：因为和 10 中的 2 重复了，所以不乘。（生又进一步问：为什么重复了就不乘了呢？这个组代表红了脸，答不上来了。 ）（老师也把这个问题记在第一个疑问的下面。 ）一位同学受启发又有了一个发现：我们把 10 和 12 分解 然后把分解得到的数乘起来再除以 2，也能得到他们的1052122 2 31052122 2 3最小公倍数：2×5×2×2×3÷2=60。（很多学生议论纷纷：除以 2 以后好象和上面的例子有点相似。 ） （同学们得到了求最小公倍数的多种方法。经过师生共同研究确认，排除了一些，最后剩下三种方法，一是象 3和 5 这类的数，用直接乘起来的方法找他们的最小公倍数，二是有倍数关系的，较大的数就是他们的最小公倍数。三是六组同学的方法，只是学生不明白为什么要把相同的 2只乘一次就行。 ）【评析：评析：学生的精彩尽在此处。学生的研究可能是稚嫩的，但他们正像科学家那样进行探索，主动探求如何来求两个数的最小公倍数。学生的思维火花碰撞在一起，有的达成共识，学生们尽情地享受着成功的快乐，有的又激发学生新的灵感。同学们各抒己见，将求最小公倍数的方法一一列举出来，教师这里的作用不容忽视，教师有意识地引导学生选择简便有效的方法，渗透了优化的思想。 】（三）课堂练习1、课件显示一组判断题。公倍数就是几个数公有的倍数，它应当都能被这几个数除尽并且没有余数。最小公倍数有很多个。公倍数有无数个。2、阅读课本，然后处理一部分课本上的练习题。3、让学生说说生活中你遇到过的求最小公倍数的事例。【评析：评析：教师设计的练习有一定的层次性和针对性。从本节课学生完成练习的情况看，虽然教师对本单元的内容进行了大幅度的调整，但学生对公倍数、最小公倍数等概念理解得还是比较好的。对于求最小公倍数的方法学生也有了初步的认识，得到了初步的方法，尽管没有得出通用的办法。 】（四）布置研究课题老师指出写在黑板上的几个问题，这些问题大家课下或者回到家中继续研究。各小组先重点研究第一个问题：什么样的两个数可以用直接相乘的方法求它的最小公倍数？【评析：评析：由于同学们在课堂上求最小公倍数时又遇到需要研究的子课题，教师以此为起点，布置研究课题，布置学生继续研究。 】第二课时第二课时 约数、质数、合数和互质数约数、质数、合数和互质数五、课题的布置与指导五、课题的布置与指导 2 2第一课时后，我布置的研究课题“什么样的两个数可以用直接相乘的方法求得最小公倍数” ，课下，学生们在研究中列举出多种情况，发现共有的因数只有 1 的两个数直接相乘才可以。当这节课学生把这个问题提出来后，我布置学生进一步分析、研究，什么样的两个数公因数只有 1，怎样尽快看出这两个数是不是共有的因数只有 1？这就引出了相关概念：整除、约数、质数和合数、互质数。由于时间比较紧，第一天布置的研究任务第二天就要学习，学生们只能利用课外活动时间与老师交流，有的第二天一大早就迫不及待的把自己的研究成果与老师、同伴讨论。上课伊始，我拿出几分钟的时间让小组内的同学讨论交流自己的研究成果，在巡视中我了解到，学生得出很多不同的方法。我对学生的汇报也心中有了数。六、课堂教学实录六、课堂教学实录 2 2（一）回顾研究问题，分组交流师：上节课张玉亮小组提出有的数可以用两个数直接相乘的方法求出这两个数的最小公倍数。课下，许多学生研究出了结论，认为共有的因数只有 1 的两个数直接相乘才是他们的最小公倍数，老师又布置各小组重点研究整理两个问题：一是两个数的因数中共有的因数只有 1 的两个数有哪几类？二是怎样尽快看出这两个数是不是共有的因数只有 1？同学们先在小组内交流自己的研究成果。(二)小组汇报，阐明概念师：现在我们来听听各小组的发现。老师有个要求，别的组说过的，类似的意见就不要再说了。组代表 1：我们列举了很多数，发现单数和单数，如，7 和 5 、11 和 13 、 97 和 37 共有的因数只有 1。 组代表 2：我们也发现了一组说的这种情况，不过我们有补充，单数和单数，如，13 和 15 、15 和 17 、9 和37。组代表 3：单数和双数，如，4 和 9、8 和 9、10 和 9。师：第二组说的单数和单数，似乎和第一小组一样，而实际上有区别，你们发现他们的不一样了吗？生：第一组的单数是孤零零的生：第二组的数中，15 还有 3 和 5 能把它除开。9 还有3 能把它除开。师：第一组的数实际上也有数能把它除开的，不但除开，而且还没有余数。你们知道是哪个数吗？生：比如 7 能被 1 和 7 除开，5 能被 1 和 5 除开，11 也能被 1 和 11 除开【评析：评析：课上到这，整除的概念已经是呼之欲出了。学生列举出共有的因数只有 1 的三组数，虽然没有发现这三组数的具体特点，恰好为下一步深入研究提供了素材，教师在这里没有急于告诉学生答案，而是让学生充分地感知。】师：老师给你写下来 7÷1=7， 7÷7=1，也就是 1 和 7都能去除 7，得到的商是整数并且没有余数，这叫做整除。在这里，我们就说 1 能整除 7，或者说 7 能被 1 整除。当然，也可以说 7 能整除 7。在这里，被除数、除数和商都是整数，并且商没有余数，这才是整除。谁能再举几个整除的例子。生：6÷2=3 ，12÷4=3生：100÷10=10师：通过 6÷2=3 这个算式可以知道，6 能被 2 整除。这个时候，我们也可以说，2 是 6 的约数，6 是 2 的倍数。在这里，我通过 6÷2=3 这个具体的算式说明了约数和倍数，如果要求用字母来说明的话，谁会？生：如果数 a 能被数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。生：老师，除数不能为零。师：对，b0，那么，现在大家说 7 的约数有哪些？生：1、7。师：第一组的其它数呢？各有多少约数？有没有公有的约数？生：都是只有 1 和它本身。公有的约数只有 1。师：有位同学说到一组列举的数有孤零零的感觉，比如3，如果我们把 3 扩大到它的二倍，变成 6，扩大到三倍，变成 9，是不是就不孤零零了呢？很多学生回答：是！师：3 和 6、9 比较，3 可以说是最本质的一个数，这样的数只有 1 和它本身两个约数，叫质数。如果除了 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫合数。（课件显示，配合学生理解和巩固约数、质数和合数等概念。 ）师：三个小组提到的数，每两个数的公约数只有 1，公约数只有 1 的两个数，有个特别的名字，叫互质数。明白什么是互质数吗？你还能再说几组互质数吗？组代表 1：我们列举出的任意一组数，公约数只有 1，现在我们知道他们都是互质数。学生挑选一组进行验证。生：11 和 13 是互质数，13 和 15 也是互质数【评析：评析：学生列举出大量的数作为例证，在研究的过程中已经对这些数之间的关系与区别有所了解。在学生汇报的过程中，老师适时点明概念：整除、约数和倍数、质数、合数、互质数。教师对概念的阐述语言准确到位，学生对这些知识从感性认识上升到理性认识。 】师：老师有个问题，互质数是不是只有质数和质数才能组成互质数？（生纷纷反对，并举刚才这个组写在黑板上的数据说明自己的理由。 ）师：还有别的发现吗？小组内交流。组代表 2：我们组都认为两个不相同的质数一定是互质数。如：7 和 11 ，17 和 31，同学们也可以找出一些这样的数试试看。组代表 3：我们发现两个连续的自然数一定是互质数。如：4 和 5 ，13 和 14，17 和 18 等，不信大家可以找找看，任何相邻的两个自然数都是这样的，它们除了公约数 1 之外，再也没有其它的公约数。组代表 4：我们也有个特别的发现，1 和其它所有的自然数一定是互质数。如：1 和 16 ，1 和 90，8999 和 1，等等。同学们试试看，1 和任意自然数，除了公约数 1 之外，你还能找出其它的公约数吗？组代表 5：我们除了发现了第一组说的情况，还发现相邻的两个奇数一定是互质数。如：3 和 5、 7 和 9、11 和13、13 和 17 等，这样的两个数，谁还能找出除 1 之外的其它的公约数，我们组有奖励！（很多学生马上跃跃欲试，也有不少学生在本上子试写了一些数，但最后大家都说不出不同的情况。 ）组代表 6：我们试了不少数，发现两个数中较大一个是质数，这两个数的公约数也只有 1。如：3 和 19 、16 和 97等，大家也说出几组这类的数，看看我们的发现不是不正确。（学生很快说出了几组，经验证，都存在这个规律。 ）组代表 7：我们的发现与刚才这个组的发现有点接近，但不一样。我们也试了很多数，发现两个数中较小一个是质数，大数是合数，并且不是小数的倍数，这两个数的公约数也只有 1。如：7 和 18 ，11 和 68，97 和 102 等，大家也想几个数，我们可以帮你们试试。（学生说了几组数，实验结果，他们的发现是有道理的。）组代表 8：如果两个数存在倍数关系，较大数是这两个数的最小公倍数，如果比二倍多 1 或少 1 会怎么样呢？我们组每人试了几个，发现较大数比较小数的 2 倍多 1 或少1，这二个数的公约数竟然也只有 1。如：7 和 15 、15 和31、15 和 29 等等。大家也试试看，是不是这么个道理？师：同学们，你们刚才列举的，都是公约数只有 1 的两个数，这样的两个数是互质数，互质数是互相依存的，我们不能单单说某个数是互质数。如，不能说 7 是互质数，必需说谁和 7，或者 7 和谁是互质数。【评析：评析：学生们因为课下进行了初步研究，学习的途径更广泛，他们有的自己查找相关资料，有的与家长进行交流研究。当教师把概念点明之后，学生们的思维节节开花，研究出这么多结果，教师及时的点拨使学生对互质数理解得更深刻了。 】师：如果有三个数，如：5、8、9，这三个数只有公约数1 ，我们也可以说这三个数是两两互质的。师：我想知道你们是不是真地理解互质数这个概念了？生：我们明白了。师：你们能不能说说互质数和质数的区别。生 1：互质数指的是两个数，而质数只是一个数。生 2：质数只有 1 和它本身两个约数，互质数中这两个数不一定都是质数。师：凡是互质数，我们可以怎样求它们的最小公倍数？生：直接相乘就可以了。(三)课堂练习1、判断。2、选择。3、列举一组数，找一找哪两个数可以组成互质数。师：看来约数和倍数之间存在着很多有趣的联系。它们之间也有很多有趣的现象。 （多媒体出示 1100 的数）老师能一眼看出一百以内的数，哪些能被 2、3、5 整除，其实更大的数老师也能一眼看出的（学生出题，老师很快回答出，学生很惊奇）师：同学们！知道这是为什么吗？因为这些数都有一些特征，如果你掌握了，你也能做到。布置研究课题：列举出 1100 中 2、3、5 的倍数，利用课余时间研究一下究竟有什么特征？（让各小组自己选择研究子课题。 ）【评析：评析：本节课呈现的概念很多，教师根据教学要求设计有梯度的练习，是对不同层次的学生知识掌握情况的检测，同时也能对全体学生的学习起到巩固深化的作用，提高了教学效率。为了引起同学们对 2、3、5 倍数特征的研究兴趣，老师让学生出题，自己很快判断，然后布置课下要研究的课题。 】第五课时第五课时 最大公约数最大公约数七、课题的布置与指导七、课题的布置与指导 3 3学生在研究用分解质因数的方法求最小公倍数时，个别学生根据公倍数和最小公倍数的概念，结合自己的理解谈了“什么是公约数？什么是最大公约数？”然后，我布置同学们课下研究如何求两个数的最大公约数？学生因为有了前面的研究基础，在研究中能很快找到突破口。课下研究时，有的同学亟不可待地向我汇报研究出的方法。学生们研究的兴趣越来越高，研究也越来越轻松。下一节课的教学目标是：概括出公约数、最大公约数的概念，然后进一步研究如何求两个数的最大公约数，并能选择较为简便的方法。八、课堂教学实录八、课堂教学实录 3 3(一)游戏引入新课 抢数游戏：两个学生每人各拿 10 和 12。另找一部分学生各拿 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。游戏规则：比赛双方各为 10 和 12 抢约数，抢得又多又快为胜。（游戏开始后不久，数子卡片很快就抢完，当场就有人说不公平。原因是其中的 1、2 既是 10 的约数又是 12 的约数。 ）师：上节课刘航同学在用分解质约数的方法求最小公倍数时，发现也可以从中求出两个数的最大公约数。有同学问他：“什么是公约数？什么是最大公约数？”当时他根据自己的理解谈了看法，大家也表示认同。现在谁来说说什么叫公约数和最大公约数？生 1：两个数公有的最大的约数叫做他们的最大公约数。生 2：两个数共同的约数叫他们的公约数，其中最大的一个叫最大公约数。（教师出示概念。 ）【评析：评析：教师设计的游戏独具匠心，旨在通过游戏让学生找 10 和 12 的约数，发现了他们共有的约数是 1、2。既为学习有困难的同学做好铺垫，又能尽快集中学生的注意力。学生已经有了最小公倍数的认知基础，很容易通过迁移实现对最大公约数这一概念的自主建构。在此基础上，教师引出概念：公约数和最大公约数，就比较自然。 】(二)汇报交流师：昨天老师布置同学们自己试着研究一下，如何求两个数的最大公约数。现在请同学们在小组内交流自己的研究发现，然后每组选出两名代表一起汇报。教师巡视并参与到他们的讨论中。组 1：（学生在说的同时，他的合作伙伴在黑板上配合板书）我们用列举法求的：12 的约数有：1、2、3、4、6、1218 的约数有：1、2、3、6、9、1812、18 的公约数有：1、2、3、6组 2：我们是用集合圈图示法找出两个数的最大公约数。我们也以 12 和 18 为例18 的约数12 的约数 组 3：我们用分解质因数的方法找最大公约数。如：45=3×3×5，90=2×3×3×5他们公有的质约数同时也是它们的公有的约数，其中最大的 5 就是它们的最大公约数。这时有同学反驳：不对，5 并不是它们的最大公约数，9才是它们的最大公约数呢。又有学生反驳：还不对，45 才是它们的最大公约数。本组的学生马上有人明白过来：最后这个同学说得对，45 和 90 的公约数，要能整除 45，同时又能整除90，5、9、45 都是这两个数的公约数，最大公约数是公约数中最大的，看来它必须包含有 45 和 90 的全部公有的质因数：3、3、5，所以 3×3×5=45 才是它们的最大公约数。12、18 的最 大公约数1、 2 4 3、 12 69 18另一学生补充道：因为公约数不仅只有质因数，如果只找质因数，就有可能漏掉一些不是质因数的公约数，它们中的最大约数如果是合数的话就被分解成了两个或几个数相乘的形式，如果用上面同学的列举法就很容易看出来了，所以就得把它们乘起来。组 5：我们是用短除法求最大公约数的。12 和 18 的公约数 2 和 3，它们的乘积 2×3=6 就是它们的最大公约数。师：你们认为你们的方法和刚才同学用的分解质约数的方法哪个更好？（本小组同学异口同声的答道：我们的方法好。 ）师：为什么？生：分解质因数的方法虽然也能找到，但相同的那些质因数不一定在一块还得到处找。弄不好还会落下。我们的方法只看左边公共的质因数就可以了，一目了然。【评析：评析：从学生的汇报情况来看，学生们在课下进行了认真地研究。学生们研究的方法各不相同，但他们在研究中已经准确地理解了公约数与最大公约数的意义。学生们6 92 312 1823在汇报时思路清晰，语言表达能力得到锻炼。特别值得欣喜的是学生不是旁听者，他们在主动思考。当三组学生提出 45 和 90 的最大公约数是 5 时，学生们纷纷质疑，认为公约数不一定是质数，但一定包含了两个数公有的质因数，他们对问题做了深入分析，提高了认识。如果教师能够再举几个例子，学生们将会有更深入地理解。 】组 6：我们两个人发现，象 9 和 10，3 和 5 这类的数，也就是互质数，它们的公约数只有 1，所以最大公约数可能也就是这个“1”吧？（师征求同学们的意见，互质数的公约数除了“1”还有别的数吗？）生：没有。师：那么我们就可以说互质数的最大公约数就是“1” 。组 4：我们发现成倍数关系的两个数最大公约数是较小的那个数。 （学生一致同意。 ）组员 1：我们发现当两个数中较小的数是质数时，可用除法来求。用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小数就是这两个数的最大公约数。 （这时有学生说其实就是前面同学说的倍数关系。这组学生有点不好意思。 ）师：他们的发现和前面同学的发现有异曲同工之妙，因为质数的约数特别，他们能从质数这个角度去考虑两个数的最大公约数也说明他们有自己独特的想法呢！组员 2：如果两个数没有倍数关系，可以用较小的数依次除以 2、3、4直到求得商是较大数的约数为止，这时的商就是两个数的最大公约数。如，30 和 24，24÷4=6，6 是 30 的约数，所以 6 是 30和 24 的最大公约数。 组员 3：如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数。如求 78 和 60 的最大公约数，7860=18，18 和 60 的最大公约数是 6，所以 6 是 78 和 60 的最大公约数。刘航：老师，我发现，求两个数的最小公倍数时，可以用它们的乘积除以他们的最大公约数，得到的商就是最小公倍数。师：（对刘航）这是个很有意思的问题，看来你动了不少脑筋。下节课我们就来研究你提出的问题。【评析：评析：学生已经研究出求最大公约数的基本方法，他们思考的脚步并没有停下，他们又对一些特殊的两个数，如两个数是互质数、两个数成倍数关系等，研究得出了一些简便的方法。学生对自己的研究发现印象特别深刻，比老师单纯举例讲解效果好得多。有一个同学发现如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数。这个方法是不是对所有的数都可以，教师可以把它作为子课题继续研究。 】师：刚才同学们用了很多方法来求两个数的最大公约数，大家会求两个数的最大公约数了吗？既然你们认为用短除法来求两个数的最大公约数比较简便，你们会吗？（三）课堂练习1、试一试：用短除法求下列每组数的最大公约数。10 和 25 24 和 182、说出下列各组数的最大公约数。 （抢答后说一说为什么判断的这么快？）7 和 21 8 和 15 9 和 14 4 和 283、判断。如果两个数是互质数，它们没有公约数和最大公约数。（ ）如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。 （ ）所有非零自然数的公约数 1。 （ ）4、老师有一间厨房需要铺地砖，长 30 分米，宽 24分米，请同学们帮助老师选一选用多大的正方形地砖铺地，才能铺得既整齐又节约呢？告诉老师正方形的边长是多少？如果老师想尽快铺完，你认为应该用边长多大的正方形地砖呢？（四）布置作业刘航同学的问题涉及到最小公倍数和最大公约数的关系问题，我们下节课讨论，请同学们先思考也可以和小组内的同学一起研究这个问题。【评析：评析：考虑到学生的差异，设计的练习题既有基础性的，又有开放性的。既重视基本知识基本能力的训练，同时还将知识性、趣味性有机地结合起来。通过比较、判断、生活问题等不同坡度、不同类型的练习，既巩固了知识，又使全体学生不同程度地得到发展，更为后继学习打下了基础。】九、教学反思九、教学反思我的单元教学研究，总的来看，达到了预期的目的，取得了较好的教学效果，对小课题研究单元教学也有了更多的体会和认识，具体来说有如下几点：1、运用“结构分组法” 。每个组里都有骨干力量、中间力量，也有学习经验不足的学生。在研究过程中，各部分力量都能发挥各自的优势，特别是研究能力比较强的学生，能带动大家进入研究味浓的氛围，使个人优势转化为群体优势。对于中等生，他们提出问题和解决问题的能力可能比研究能力强的学生稍逊色一些，但由于在课下进行研究，他们获取信息的途径并不少，研究能力也很强。研究能力弱的学生在本小组研究成员的带动下，也会越来越主动地参与学习研究活动。这样，能从不同角度，引发不同难度的问题，使研究趣味横生。2、老师指导“吊胃口法” 。学生研究以后往往急不可待地想和老师交流汇报，或者想尽快得到老师的指点。我的方法是，对瓶颈问题略指一二，学生稍有想法，我就打住，让他们自己去想。我从不将问题在课前和学生过多研究。其实，就如同生活中常说的吊胃口，如果学生的研究兴趣被激发起来，你不让他们去继续思考，拦都拦不住的。学生常常有空就凑在一起讨论。有时回家和家长研究，打破了一节课四十分钟的界限，学生的空间和时间就扩大了，他们有了强烈的兴趣，就有了巨大的能量。3、学生的研究让我深深领悟到，我们的学生不可小瞧！真的，他们在研究问题时所迸发出的思维火花，常常让我和听课的老师都发出感叹！现在的孩子从小接触的信息量大，思维活跃，只要引领得法，孩子的小脑袋，能研究出很多我们意想不到的结果。4、这个单元用六课时就结束了教学任务，我深深体会到：学生主动提出问题，思考和研究这些知识内容，与被动的接受相比，学生的学习兴趣与学习效果大相径庭。特别是思维活跃的孩子，他们的研究能力确实得到了很大提高，他们在展现自己研究成果时，往往很有成就感，大大增强了孩子们对数学的兴趣。学生把学习当做一件“美差”去做，这不正是我们想看到的吗？【评析：评析：纵观本单元教学，教师科学的教育理念和大胆创新的探索值得肯定。1、动态生成研究问题，科学指导研究过程。教师在开展本单元小课题研究时，大胆细致，独具匠心。采用倒叙的手法，从“最小公倍数”开始进行学习研究。由于研究的问题是学生自己提出来的，或是在解决问题的过程中产生的新问题，而不是教师或书本给定的。这样的学习，可以使学生一开始就处于积极状态，使学生对学习充满着兴趣，学生乐于研究，而无须教师强迫学生学习，真正做到了“要我学”向“我要学”的转变。2、对于小课题研究单元教学的指导，教师的作用是不容忽视的。教师能宏观把握研究内容、研究进程及教学目标的落实情况。在学生课下研究时，教师能恰当引领，不包办代替。在课堂上研究小组汇报时，教师能创设宽松、和谐、民主的氛围，鼓励学生相互质疑，并采取恰当的措施点拨、梳理、总结，使学生在获得数学知识的同时，不断提高数学能力，不断提升数学素养。3、 课时数虽然减少了，由于课前学生们认真参与了研究，学生学习能力特别是研究能力却大大提高了。按照教师用书的参考建议，应该用 12 课时。在这里只用了 6 课时，教学效率大大提高了。 】