完整第2讲-第2课时-利用导数研究函数的极值、最值.doc

第2课时应用导数研讨函数的极值、最值一、选择题1.(2016·四川卷)曾经明白a为函数f(x)x312x的极小值点，那么a()A.4B.2C.4D.2剖析f(x)3x212，x<2时，f(x)>0，2<x<2时，f(x)<0，x>2时，f(x)>0，x2是f(x)的极小值点.谜底D2.函数f(x)x2lnx的最小值为()A.B.1C.0D.不存在剖析f(x)x，且x>0.令f(x)>0，得x>1；令f(x)<0，得0<x<1.f(x)在x1处获得极小值也是最小值，且f(1)ln1.谜底A3.(2017·合胖模仿)曾经明白函数f(x)x3bx2cx的图象如以下图，那么xx即是()A.B.C.D.剖析由图象可知f(x)的图象过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因而1bc0，84b2c0，解得b3，c2，因而f(x)x33x22x，因而f(x)3x26x2.x1，x2是方程f(x)3x26x20的两根，因而x1x22，x1x2，因而xx(x1x2)22x1x24.谜底C4.做一个无盖的圆柱形水桶，假定要使其体积是27，且用料最省，那么圆柱的底面半径为()A.3B.4C.6D.5剖析设圆柱的底面半径为R，母线长为l，那么VR2l27，l，要运用料最省，只须使圆柱的正面积与下底面面积之跟S最小.由题意，SR22RlR22·.S2R，令S0，得R3，那么当R3时，S最小.应选A.谜底A5.(2017·西南四校联考)曾经明白函数f(x)x3ax2(a6)x1有极年夜值跟极小值，那么实数a的取值范畴是()A.(1，2)B.(，3)(6，)C.(3，6)D.(，1)(2，)剖析f(x)3x22ax(a6)，由曾经明白可得f(x)0有两个不相称的实根.4a24×3(a6)>0，即a23a18>0，a>6或a<3.谜底B二、填空题6.(2017·肇庆模仿)曾经明白函数f(x)x3ax23x9，假定x3是函数f(x)的一个极值点，那么实数a_.剖析f(x)3x22ax3.依题意知，3是方程f(x)0的根，因而3×(3)22a×(3)30，解得a5.经测验，a5时，f(x)在x3处获得极值.谜底57.(2016·北京卷改编)设函数f(x)那么f(x)的最年夜值为_.剖析当x>0时，f(x)2x<0；当x0时，f(x)3x233(x1)(x1)，当x<1时，f(x)>0，f(x)是增函数，当1<x<0时，f(x)<0，f(x)是减函数.f(x)f(1)2，f(x)的最年夜值为2.谜底28.设aR，假定函数yexax有年夜于零的极值点，那么实数a的取值范畴是_.剖析yexax，yexa.函数yexax有年夜于零的极值点，那么方程yexa0有年夜于零的解，x>0时，ex<1，aex<1.谜底(，1)三、解答题9.(·安徽卷)曾经明白函数f(x)(a>0，r>0).(1)求f(x)的界说域，并探讨f(x)的枯燥性；(2)假定400，求f(x)在(0，)内的极值.解(1)由题意可知xr，所求的界说域为(，r)(r，).f(x)，f(x).因而当x<r或x>r时，f(x)<0；当r<x<r时，f(x)>0.因而，f(x)的枯燥递加区间为(，r)，(r，)；f(x)的枯燥递增区间为(r，r).(2)由(1)的解答可知f(r)0，f(x)在(0，r)上枯燥递增，在(r，)上枯燥递加.因而，xr是f(x)的极年夜值点，因而f(x)在(0，)内的极年夜值为f(r)100，f(x)在(0，)内无极小值；综上，f(x)在(0，)内极年夜值为100，无极小值.10.曾经明白函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的枯燥区间；(2)求f(x)在区间0，1上的最小值.解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)随x的变更状况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1因而，f(x)的枯燥递加区间是(，k1)；枯燥递增区间是(k1，).(2)当k10，即k1时，f(x)在0，1上枯燥递增，因而f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k；当0<k1<1，即1<k<2时，f(x)在0，k1上枯燥递加，在k1，1上枯燥递增，因而f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0，1上枯燥递加，因而f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0，1上的最小值为f(0)k；当1<k<2时，f(x)在0，1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0，1上的最小值为f(1)(1k)e.11.(2017·石家庄质检)假定a>0，b>0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，假定tab，那么t的最年夜值为()A.2B.3C.6D.9剖析f(x)12x22ax2b，那么f(1)122a2b0，那么ab6，又a>0，b>0，那么tab9，当且仅当ab3时取等号.谜底D12.(2017·长沙调研)假定函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，那么实数a的取值范畴是()A.5，0)B.(5，0)C.3，0)D.(3，0)剖析由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其图象如以下图.令x3x2得，x0或x3，那么联合图象可知，解得a3，0)，应选C.谜底C13.函数f(x)x33axb(a>0)的极年夜值为6，极小值为2，那么f(x)的枯燥递加区间是_.剖析令f(x)3x23a0，得x±，那么f(x)，f(x)随x的变更状况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极年夜值极小值从而解得因而f(x)的枯燥递加区间是(1，1).谜底(1，1)14.(2017·济南模仿)设函数f(x)ln(xa)x2.(1)假定当x1时，f(x)获得极值，求a的值，并探讨f(x)的枯燥性；(2)假定f(x)存在极值，求a的取值范畴，并证实一切极值之跟年夜于ln.解(1)f(x)2x，依题意，有f(1)0，故a.从而f(x)，且f(x)的界说域为，当<x<1时，f(x)>0；当1<x<时，f(x)<0；当x>时，f(x)>0.f(x)在区间，上枯燥递增，在上枯燥递加.(2)f(x)的界说域为(a，)，f(x).方程2x22ax10的判不式4a28，假定0，即a时，f(x)0，故f(x)无极值.假定>0，即a<或a>，那么2x22ax10有两个差别的实根，x1，x2.当a<时，x1<a，x2<a，故f(x)>0在界说域上恒成破，故f(x)无极值.当a>时，a<x1<x2，故f(x)在(a，x1)上递增，(x1，x2)上递加，(x2，)上递增.故f(x)在xx1，xx2获得极值.综上，f(x)存在极值时，a的取值范畴为(，).由上可知，x1x2a，x1x2.因而，f(x)的极值之跟为f(x1)f(x2)ln(x1a)xln(x2a)xln(x2)ln(x1)(xx)ln(x1x2)(x1x2)22x1x2lna21>ln()21ln.