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1、第2课时应用导数研讨函数的极值、最值一、选择题1.(2016四川卷)曾经明白a为函数f(x)x312x的极小值点,那么a()A.4B.2C.4D.2剖析f(x)3x212,x0,2x2时,f(x)2时,f(x)0,x2是f(x)的极小值点.谜底D2.函数f(x)x2lnx的最小值为()A.B.1C.0D.不存在剖析f(x)x,且x0.令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x0,即a23a180,a6或a0时,f(x)2x0;当x0时,f(x)3x233(x1)(x1),当x0,f(x)是增函数,当1x0时,f(x)0时,ex1,aex0,r0).(1)求f(x)的界说域,并探讨f(x)的枯燥
2、性;(2)假定400,求f(x)在(0,)内的极值.解(1)由题意可知xr,所求的界说域为(,r)(r,).f(x),f(x).因而当xr时,f(x)0;当rx0.因而,f(x)的枯燥递加区间为(,r),(r,);f(x)的枯燥递增区间为(r,r).(2)由(1)的解答可知f(r)0,f(x)在(0,r)上枯燥递增,在(r,)上枯燥递加.因而,xr是f(x)的极年夜值点,因而f(x)在(0,)内的极年夜值为f(r)100,f(x)在(0,)内无极小值;综上,f(x)在(0,)内极年夜值为100,无极小值.10.曾经明白函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的枯燥区间;(2)求f(x)在区间
3、0,1上的最小值.解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0,得xk1.f(x)与f(x)随x的变更状况如下表:x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)ek1因而,f(x)的枯燥递加区间是(,k1);枯燥递增区间是(k1,).(2)当k10,即k1时,f(x)在0,1上枯燥递增,因而f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k;当0k11,即1k2时,f(x)在0,k1上枯燥递加,在k1,1上枯燥递增,因而f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1;当k11,即k2时,f(x)在0,1上枯燥递加,因而f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上,当k1时,f(x)
4、在0,1上的最小值为f(0)k;当1k0,b0,且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值,假定tab,那么t的最年夜值为()A.2B.3C.6D.9剖析f(x)12x22ax2b,那么f(1)122a2b0,那么ab6,又a0,b0,那么tab9,当且仅当ab3时取等号.谜底D12.(2017长沙调研)假定函数f(x)x3x2在区间(a,a5)上存在最小值,那么实数a的取值范畴是()A.5,0)B.(5,0)C.3,0)D.(3,0)剖析由题意,f(x)x22xx(x2),故f(x)在(,2),(0,)上是增函数,在(2,0)上是减函数,作出其图象如以下图.令x3x2得,x0或x3,那
5、么联合图象可知,解得a3,0),应选C.谜底C13.函数f(x)x33axb(a0)的极年夜值为6,极小值为2,那么f(x)的枯燥递加区间是_.剖析令f(x)3x23a0,得x,那么f(x),f(x)随x的变更状况如下表:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)极年夜值极小值从而解得因而f(x)的枯燥递加区间是(1,1).谜底(1,1)14.(2017济南模仿)设函数f(x)ln(xa)x2.(1)假定当x1时,f(x)获得极值,求a的值,并探讨f(x)的枯燥性;(2)假定f(x)存在极值,求a的取值范畴,并证实一切极值之跟年夜于ln.解(1)f(x)2x,依题意,有f(1)0,故a.从而f(x),且f(x)的界说域为,当x0;当1x时,f(x)时,f(x)0.f(x)在区间,上枯燥递增,在上枯燥递加.(2)f(x)的界说域为(a,),f(x).方程2x22ax10的判不式4a28,假定0,即a时,f(x)0,故f(x)无极值.假定0,即a,那么2x22ax10有两个差别的实根,x1,x2.当a时,x1a,x20在界说域上恒成破,故f(x)无极值.当a时,ax1ln()21ln.
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