2013年初中数学中考陕西试题解析.doc

CABD第 2 题图2 013 陕西中考数学试题及解析一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1下列四个数中最小的数是（ ）A2 B0 C31 D5考点：此题一般考查的内容简单，有相反数、倒数、绝对值、具有相反意义的量的表示及考点：此题一般考查的内容简单，有相反数、倒数、绝对值、具有相反意义的量的表示及 正负数的概念等简单的知识点，本题考查简单的数的比较大小。正负数的概念等简单的知识点，本题考查简单的数的比较大小。 解析：引入正负数时了解正数大于解析：引入正负数时了解正数大于 0，负数小于，负数小于 0，正数大于一切负数，两个负数比较大小：，正数大于一切负数，两个负数比较大小： 绝对值大的反而小，此题故选绝对值大的反而小，此题故选 A 2如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是（ ）考点：一般几何体的三视图的画法考点：一般几何体的三视图的画法 解析：此类题主要考查学生们的空间想象能力，一般考查常见的简单的几何体有圆柱，正解析：此类题主要考查学生们的空间想象能力，一般考查常见的简单的几何体有圆柱，正 方体及其组合体。应注意看的见的轮廓线与看不见的轮廓线的画法与圆锥与圆柱的视图的方体及其组合体。应注意看的见的轮廓线与看不见的轮廓线的画法与圆锥与圆柱的视图的 区别是否有圆心，相对来说考查的较为简单，此题故选区别是否有圆心，相对来说考查的较为简单，此题故选 D 3.如图，ABCD，CED=90°，AEC=35°，则D 的大小（ ） A 65° B 55° C45° D. 35° 考点：平行线的性质应用与互余的定义。考点：平行线的性质应用与互余的定义。 解析：此类题主要考查学生们的平面几何的性质应用的能力，解析：此类题主要考查学生们的平面几何的性质应用的能力， 一般考查常见较为简单的两直线平行而同位角和内错角相等一般考查常见较为简单的两直线平行而同位角和内错角相等 的应用，而问题的设置也是求角度或者是找角的关系。的应用，而问题的设置也是求角度或者是找角的关系。 因为因为 ABCDABCD，所以，所以D=BEDD=BED，因为，因为CED=90°CED=90°，AEC=35°AEC=35°所以所以BED=180°-90°-35°BED=180°-90°-35° =55°=55°，此题故选，此题故选 B 4不等式组 321021xx的解集为（ ）A21x B1x C211x D21x考点：不等式的解法及不等式组的解集的选取。考点：不等式的解法及不等式组的解集的选取。 解析：此题一般考不等式组或者是一元一次方程的应用等简单的计算能力考查。易错就是解析：此题一般考不等式组或者是一元一次方程的应用等简单的计算能力考查。易错就是 不等式的性质不等式的性质 3，乘除负数时不等号的方向应改变。解集的选取应尊循：，乘除负数时不等号的方向应改变。解集的选取应尊循：“大大取大；小大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小取不了小取小；大小小大取中间；大大小小取不了”的原则。第的原则。第 1 个不等式解得：个不等式解得：21x；第；第 2个不等式解得：个不等式解得：1x；因此不等式组的解集为：；因此不等式组的解集为：21x；此题故选；此题故选 AABCDE第 3 题图5我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为： 111，96，47，68，70，77，105，则这七天空气质量指数的平均数是（ ） A71.8 B77 C82 D95.7 考点：此题一般考查统三个计量（平均数，中位数、众数）的选择和计算。年年的必考的考点：此题一般考查统三个计量（平均数，中位数、众数）的选择和计算。年年的必考的 知识点。知识点。解析：解析： 82)1057770684796111(71x；故选；故选 C6如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点 A（2,m），B（n，），那么一定有 （ ） Am>0，n>0 Bm>0，n0Dm3>3，当在对称轴的，当在对称轴的两侧时，点两侧时，点 B B 距离对称轴的距离小于点距离对称轴的距离小于点 A A 到对称轴的距离，即得到对称轴的距离，即得0x- -（-5-5）>3->3-0x, ,解得解得10x，综上所得：，综上所得：10x，故选，故选 B B第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分）二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 18 分）分）11计算：03) 13()2( 考点：本题经常实数的简单计算、特殊角的三角函数值及零（负）指数幂及绝对值的计算。考点：本题经常实数的简单计算、特殊角的三角函数值及零（负）指数幂及绝对值的计算。解析：原式解析：原式=718 12.一元二次方程032 xx的根是 考点：一元二次方程的解法。考点：一元二次方程的解法。 解析：四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。此解析：四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。此 12 题的位置一般是简单的题，因此注意识别使用简单的方法进行求解。题的位置一般是简单的题，因此注意识别使用简单的方法进行求解。由由032 xx得，得，0)3(xx，解得，解得x1=0,x2=313请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分A在平面直角坐标第中，线段 AB 的两个端点的坐标分别为)3 , 1 (),1 , 2(BA ，将线段 AB经过平移后得到线段/BA，若点 A 的对应点为)2 , 3(/A，则点 B 的对应点/B的坐标是 考点：点的平移与坐标之间的关系。考点：点的平移与坐标之间的关系。解析：点解析：点 A 与与/A对应，从坐标来看是将点对应，从坐标来看是将点 A 向右平移向右平移 5 个单位后再向上平移个单位后再向上平移 1 个单位得个单位得到，所以点到，所以点 B 的坐标也是向右平移的坐标也是向右平移 5 个单位后再向上平移个单位后再向上平移 1 个单位得个单位得)4 , 6(/BB比较大小：31cos8 35（填“>”，“=”，“” 14如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 BD 平分 AC，若 BD=8，AC=6，BOC=120°，则四边形 ABCD 的面积为 .（结果保留根号） 考点：三角形面积的求法及特殊角的应用。考点：三角形面积的求法及特殊角的应用。 解析：解析：BD 平分平分 AC，所以，所以 OA=OC=3，因为，因为BOC=120°°，所以所以DOC=A0B=60°°，过，过 C 作作 CHBD 于于 H，过过 A 作作 AGBD 于于 G，在，在CHO 中，中，C0H=60°°，OC=3，所以，所以 CH=323，同理：，同理：AG=323，所以四边形所以四边形 ABCD 的面积的面积=3123238CBDABDSS。15如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy6的图象交),(),(2211yxByxA，那么)(1212yyxx值为 .考点：正比例函数与反比例函数的交点的对称性的考查。考点：正比例函数与反比例函数的交点的对称性的考查。解析：因为解析：因为 A，B 在反比例函数在反比例函数xy6上，所以上，所以611yx，我们知道正比例函数与反比例，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),(2211yxByxA中有中有1212,yyxx，所以所以24644)()(1111111212yxyyxxyyxx16如图，AB 是O 的一条弦，点 C 是O 上一动点， 且ACB=30°，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点， 直线 EF 与O 交于 G、H 两点，若O 的半径为 7， 则 GE+FH 的最大值为 考点：此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周考点：此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周 角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。 解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接 OA，OB， 因为因为ACB=30°ACB=30°，所以，所以AOB=60°AOB=60°，所以，所以 OA=OB=AB=7OA=OB=AB=7，因为，因为 E E、F F 中中 ACAC、BCBC 的中点，的中点，所以所以 EF=EF=AB21=3.5=3.5，因为，因为 GE+FH=GHGE+FH=GHEFEF，要使，要使 GE+FHGE+FH 最大，而最大，而 EFEF 为定值，所以为定值，所以 GHGH 取最取最大值时大值时 GE+FHGE+FH 有最大值，所以当有最大值，所以当 GHGH 为直径时，为直径时，GE+FHGE+FH 的最大值为的最大值为 14-3.5=10.514-3.5=10.5 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，计小题，计 72 分解答应写过程）分解答应写过程） 17（本题满分 5 分）解分式方程：12422xx xABDCOHG第 14 题图 文并茂CABCGHEF第 16 题图考点：解分式方程，解题步骤是（考点：解分式方程，解题步骤是（1）对分子分母分解因式，（）对分子分母分解因式，（2）去分母化分式方程为整）去分母化分式方程为整 式方程，（式方程，（3）检验；（此题陕西命题的规律一般是分式化简与分式方程轮流考。）。）检验；（此题陕西命题的规律一般是分式化简与分式方程轮流考。）。解析：去分母得：解析：去分母得：4)2(22xxx 整理得：整理得：42222xxx 解得：解得：3x经检验得，经检验得，3x是原分式方程的根.18（本题满分 6 分） 如图，AOB=90°，OA=0B，直线l经过点 O,分别过 A、B 两点作 ACl交l于点 C，BD l交l于点 D. 求证：AD=OD. 考点：互余的性质应用、垂直的性质及三角形全等的判定。考点：互余的性质应用、垂直的性质及三角形全等的判定。 解析：解析： AOB=90°AOC+BOD=90° ACl，BDl ACO=BDO=90°A+AOC=90°A=BOD 又OA=OB AOCOBD（AAS）AC=OD 19（本题满分 7 分） 我省教育厅下发了在全省中小学幼儿园广泛开展节约教育的通知，通知中要求各 学校全面持续开展“光盘行动”. 某市教育局督导检查组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度（程度分为： “A-了解很多”，“B-了解较多”，“C-了解较少”，“D-不了解”），对本市一所中学 的学生进行了抽样调查，我们将这次调查的结果绘制了以下两幅统计图.根据以上信息，解 答下列问题： （1）本次抽样调查了多少名学生？ （2）补全两幅统计图； （3）若该中学共有 1800 名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“节约教育” 内容“了解较多”的有多少名？考点：条形统计图，扇形统计图；此题陕西中考形式，难度与考点相对稳定。考点：条形统计图，扇形统计图；此题陕西中考形式，难度与考点相对稳定。 解析：此题考查的是统计思想，从统计图表中读取信息，条形统计图能得知个体的数目，解析：此题考查的是统计思想，从统计图表中读取信息，条形统计图能得知个体的数目， 扇形统计图能得出个体与总体的百分比。从而并能做出正确的判断。扇形统计图能得出个体与总体的百分比。从而并能做出正确的判断。 解析：（解析：（1）抽样调查的学生人数为：）抽样调查的学生人数为：36÷÷30%=120（名）（名）了解程度B 45%A 30%C D 人数ACD010203040506036B246被调查学生对被调查学生对“节约教育节约教育”内容了解程度的统计图内容了解程度的统计图（2）B 的人数：的人数：120××45%=54（名）（名）C 的百分比：的百分比：%20%10012024 D 的百分比：的百分比：%5%1001206补全统计图如图所示；补全统计图如图所示；（3 3）对）对“节约教育节约教育”内容内容“了解较多了解较多”的学生人数为：的学生人数为：1800×1800×45%=810（名）（名） 20（本题满分 8 分） 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯 D 的高度，如图，当李明走到 点 A 处时，张龙测得李明直立身高 AM 与其影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向继续向 前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB=1.25m。已知 李明直立时的身高为 1.75m，求路灯的高 CD 的长.（结果精确到 0.1m）考点：此题考查稳定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的应用测量高度，考点：此题考查稳定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的应用测量高度， 宽度等线段的长度的具体计算，将问题转换成方程（组）来求解，经常设置的具体的实际宽度等线段的长度的具体计算，将问题转换成方程（组）来求解，经常设置的具体的实际 情景得到与测量相关的计算；情景得到与测量相关的计算； 解析：本题考查的是典型的测量问题之中心投影下的测量，而此问题设置基本上就是应用解析：本题考查的是典型的测量问题之中心投影下的测量，而此问题设置基本上就是应用 相似的性质来将实际问题转化成数学问题来解决，相似的性质来将实际问题转化成数学问题来解决， 解：如图，设解：如图，设 CD 长为长为xm AMEC，CDEC，BNEC，EA=MAMACD，BNCD，EC=CD=x，ABNACD ACAB CDBN即75. 125. 175. 1xx解得1 . 6125. 6x所以路灯高所以路灯高 CD 约为约为 6.1 米米了解程度B 45%A 30%C 20% D 5% 人数ACD010203040506036B246被调查学生对被调查学生对“节约教育节约教育”内容了解程度的统计图内容了解程度的统计图54BAECDNM第 21 题图21（本题满分 8 分） “五一节“期间，申老师一家自驾游去了离家 170 千米的某地，下面是分们离家的距离 y(千米)与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象。（1）求他们出发半小时时，离家多少千米？ （2）求出 AB 段图象的函数表达式 （3）他们出发 2 小时时，离目的地还有多少千米？；考点：此题考题与考点相对稳定，就是考查一次函数的应用及一次函数的增减性的判定，考点：此题考题与考点相对稳定，就是考查一次函数的应用及一次函数的增减性的判定， 也有可能考查一元一次不等式组的应用及方案问题。也有可能考查一元一次不等式组的应用及方案问题。 解析：此题主要是将实际问题转化为函数的问题来解决，利用待定系数法来确定一次函数解析：此题主要是将实际问题转化为函数的问题来解决，利用待定系数法来确定一次函数 的表达式，给出自变量的值来求出相应的函数值。的表达式，给出自变量的值来求出相应的函数值。 解：（解：（1）由图象可设）由图象可设 OA 段图象的函数表达式为段图象的函数表达式为 y=kx 当当 x=1. .5 时，时，y=90； 所以：所以：1.51.5k=90 解得解得 k=60 即即 y=60x，（，（0x1.5.5） 当当 x=0.5 时，时，y=60××0. .5=30 答：行驶半小时时，他们离家答：行驶半小时时，他们离家 30 千米。千米。（2）由图象可设）由图象可设 AB 段图象的函数表达式为段图象的函数表达式为bxky/因为因为 A A（1.51.5，9090），），B B（2.52.5，170170）在）在 ABAB 上，代入得上，代入得bkbk/5 . 21705 . 190解得：解得：30,80/bk所以所以)5 . 25 . 1 (3080xxy(3)当当 x=2 时，代入得：时，代入得：y=80××2-30=130 所以所以 170-130=40 答：他们出发答：他们出发 2 小时时，离目的地还有小时时，离目的地还有 40 千米千米. 22（本题满分 8 分） 甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：i)每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手 指；ii)两人伸出的手指中，大拇指只胜食指，食指只胜中指，中指只胜无名指，无名指只 胜小拇指，小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地 各伸出一根手指时， （1）求甲伸出小拇指取胜的概率； （2）求乙取胜的概率. 考点：考查随机事件的概率的求法；列表法或画树状图法。考点稳定。考点：考查随机事件的概率的求法；列表法或画树状图法。考点稳定。 解析：对于随机事件的概率实质是本事件可能出现的结果与所有结果数的比为该事件的概解析：对于随机事件的概率实质是本事件可能出现的结果与所有结果数的比为该事件的概 率，画树状图求概率时一定要分清楚具体每一步可能出现的结果，分布在仔细。率，画树状图求概率时一定要分清楚具体每一步可能出现的结果，分布在仔细。解：设用 A、B、C、D、E 分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，列表如下：乙乙 甲甲ABCDEAAAABACADAEBBABBBCBDBECCACBCCCDCEDDADBDCDDDEOy/千米x/小时901701.52.5BA第 21 题图EEAEBECEDEE由表格可知：共有由表格可知：共有 2525 种等可能的结果种等可能的结果. . （1 1） 所以甲伸出小指导取胜有所以甲伸出小指导取胜有 1 1 种可能的结果，种可能的结果，P P（甲伸出小拇指取胜）（甲伸出小拇指取胜）= =251（2 2）由上表可知，乙取胜有）由上表可知，乙取胜有 5 5 种可能的结果种可能的结果所以所以 P P（乙取胜）（乙取胜）= =51 25523（本题满分 8 分）如图，直线l与O 相切于点 D，过圆心 O 作 EFl交O 于 E、F 两点，点 A 是O 上一点，连接 AE，AF，并分别延长交直线l于 B、C 两点； （1）求证：ABC+ACB=90°； （2）若O 的半径5R，BD=12，求 tanACB 的值 考点：切线的性质应用，圆内角的性质的应用，考点：切线的性质应用，圆内角的性质的应用， 正方形的判定与性质的应用及三角函数的定义及正方形的判定与性质的应用及三角函数的定义及 正切值的求法。构造矩形的过程与正切值的求法。构造矩形的过程与 12 年的类似。年的类似。 解析：切线的性质的应用是：有切线，连切点，解析：切线的性质的应用是：有切线，连切点， 得垂直。直径所对的圆周角是直角的应用及等价转化的思想的应用。得垂直。直径所对的圆周角是直角的应用及等价转化的思想的应用。 （1 1） 证明：如图，证明：如图，EFEF 是是OO 的直径，的直径，EAF=90°EAF=90°，ABC+ACB=90°ABC+ACB=90° （2 2） 解：连接解：连接 ODOD，则，则 ODBDODBD过点过点 E E 作作 EHBCEHBC，垂足为点，垂足为点 H H， EHEHODOD EFEFBCBC，EHEHODOD OE=ODOE=OD四边形四边形 EODHEODH 是正方形是正方形 EH=HD=OD=5EH=HD=OD=5BD=12BD=12，BH=7BH=7，在在 RtBEHRtBEH 中，中，tantanBEH=BEH=57EHBH又又ABC+BEH=9ABC+BEH=90°,ABC+ACB=90°,0°,ABC+ACB=90°,ACB=BEHACB=BEHtanACBtanACB5724（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点 A（1，0）、B（3，0）两点 （1）写出这个二次函数的对称轴； （2）设这个二次函数的顶点为 D，与 y 轴交于点 C， 它的对称轴与 x 轴交于点 E，连接 AD、DE 和 DB， 当AOC 与DEB 相似时，求这个二次函数的表达式。 提示：如果一个二次函数的图象与提示：如果一个二次函数的图象与 x x 轴的交点轴的交点为为)0 ,(),0 ,(21xBxAA A，那么它的表达式可表示，那么它的表达式可表示为：为：)(21xxxxay 考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定）问主要考查待定 系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标， 抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括 最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等OAElB 第 23 题图DFCOAElB 第 23 题图DFCH（第 24 题图）y-1Ox2-11123-23等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。 解析：本题中（解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与）由抛物线的轴对称性可知，与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，易求出轴的两个交点关于对称轴对称，易求出 对称轴；对称轴； （2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点 D 与与 E 的坐标表示出来，从而将两个三角的坐标表示出来，从而将两个三角 形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题；形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题； 解：（解：（1）对称轴为直线：）对称轴为直线：x=2。（2）A A（1 1，0 0）、）、B B（3 3，0 0），所以），所以设设)3)(1(xxay即即aaxaxy342当当 x=0 时，时，y=3a，当，当 x=2 时，时，y=a C（0，3a），），D(2,-a) OC=|3a|,OC=|3a|, A A（1 1，0 0）、）、E E（2 2，0 0），），OA=1,EB=1,DE=-a|=|a|OA=1,EB=1,DE=-a|=|a| 在在AOC 与DEB 中，AOC=DEB=90°AOC=DEB=90°当当EBDE OCAO时，时，AOCDEB1| |3|1a a时，解得时，解得33a或或33a当当DEEB OCAO时，时，AOCBED|1 |3|1 aa时，此方程无解，时，此方程无解，综上所得：所求二次函数的表达式为：综上所得：所求二次函数的表达式为：3334 332xxy或或3334 332xxy25（本题满分 12 分） 问题探究问题探究 （1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其 中一条直线必须过点 M），使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决问题解决 （3）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AB+CD=BC，点 P 是 AD 的中点，如果AB=a，CD=b，且ab ，那么在边 BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明 理由.考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的 性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分 问题。问题。 解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力，解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力， 问题的转化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡，问题的转化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡， 从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。 （1）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。 （2）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线 的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊，的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊， 常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有 这些知识的积累足够解决。这些知识的积累足够解决。 （3）问中可以考虑构造（）问中可以考虑构造（1）（）（2）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点 的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线 构造全等三角形或者是平行四边形）二是中位线的应用。构造全等三角形或者是平行四边形）二是中位线的应用。 解：（解：（1）如图）如图所示所示 （2）如图如图，连接，连接 AC、BD 相交于点相交于点 O，作直线，作直线 OM 分别交分别交 AD、BC 于于 P、Q 两点，过点两点，过点 O 作用作用 OM 的垂线分别交的垂线分别交 AB、CD 于于 E、F 两点，则直线两点，则直线 OM、EF 将正方形将正方形 ABCD 的面积四等分的面积四等分. 理由如下：理由如下：点点 O 是正方形是正方形 ABCD 对角线的交点，对角线的交点，点点 O 是正方形是正方形 ABCD 的对称中心的对称中心 AP=CQAP=CQ，EB=DFEB=DF， D D 在在AOPAOP 和和EOBEOB 中，中， AOP=90°-AOEAOP=90°-AOE，BOE=90°-AOEBOE=90°-AOE AOP=BOEAOP=BOE答图ABCDM（第（第 25 题答案图）题答案图）答图OPQFE图 图ABCDMB图ACD P（第（第 25 题图）题图）OA=OBOA=OB，OAP=EBO=45°OAP=EBO=45°AOPEOBAOPEOB AP=BE=DF=CQAP=BE=DF=CQ AE=BQ=CF=PDAE=BQ=CF=PD 设点设点 O O 到正方形到正方形 ABCDABCD 一边的距离为一边的距离为d. .dDFPDdCFCQdBQBEdAEAP)(21)(21)(21)(21POFDCQOFBEOQAPOESSSS四边形四边形四边形四边形直线直线 EF、PQ 将正方形将正方形 ABCD 面积四等分面积四等分 另解：另解： 点点 O 是正方形是正方形 ABCD 对角线的交点，对角线的交点， 点点 O 是正方形是正方形 ABCD 的的 中心中心 OA=OB=OC=OD OAP=OBE=OCQ=ODF=45°OAP=OBE=OCQ=ODF=45° PQEFEF， POD+DOF=90°POD+DOF=90°，POD+POA=90°POD+POA=90° POA=DOFPOA=DOF 同理：同理：POA=DOF=BOE=COQPOA=DOF=BOE=COQAOP BOE COQ DOF ABCDPOFDCQOFBEOQAPOESSSSS正方形四边形四边形四边形四边形41 直线直线 EF、PQ 将正方形将正方形 ABCD 面积四等分面积四等分 （3） 存在存在.当当 BQ=CD=b时，时，PQ 将四边形将四边形 ABCD 面积二等分面积二等分. 理由如下：如图理由如下：如图，延长，延长 BA 至点至点 E，使，使 AE=b， 延长延长 CDCD 至点至点 F F，使，使 DF=DF=a，连接 EF. BECFBECF，BE=CFBE=CF 四边形四边形 BCFEBCFE 为平行四边形，为平行四边形，BC=BE=BC=BE=a+b，平行四边形平行四边形 DBFEDBFE 为菱形为菱形连接连接 BFBF 交交 ADAD 于点于点 M M，则，则MABMDFMDF AM=DM.AM=DM.即点即点 P P、M M 重合重合. . 点点 P P 是菱形是菱形 EBCFEBCF 对角线的交点，对角线的交点， 在在 BCBC 上截取上截取 BQ=CD=BQ=CD=b，则，则 CQ=AB=CQ=AB=a. . 设点设点 P 到菱形到菱形 EBCF 一边的距离为一边的距离为dCDPCQPQBPABPSSdCDCQdBQABSS)(21)(21所以当所以当 BQ=BQ=b时，直线时，直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分. .另解：存在另解：存在.当当 BQ=CD=b时，时，PQ 将四边形将四边形 ABCD 面积二等分面积二等分. 理由如下：如图理由如下：如图，连接，连接 BP 并延长并延长 BP 交交 CD 延长线于点延长线于点 F，连接，连接 CP 点点 P P 是是 ADAD 的中点，的中点，PA=PDPA=PD ABCDABCD，ABP=DFPABP=DFP，APB=DPFAPB=DPF APBDPFDPFAB=DFAB=DF，PB=PFPB=PF，所以，所以 CPCP 是是CBFCBF 的中线，的中线，CPFCPBSSAB+CD=BCAB+CD=BC，DF+CD=BCDF+CD=BC，即：，即：CB=CFCB=CF，CBF=CFBCBF=CFB ABP=DFPABP=CBPABP=DFPABP=CBP 即即 PBPB 是角平分线是角平分线. .B答图ACD P（第（第 25 题答案图）题答案图）MQFEB答图ACD P（第（第 25 题答案图）题答案图）QF点点 P P 到到 ABAB 与与 CBCB 的距离相等，的距离相等，BQ=BQ=b，所以，所以 CQ=AB=CQ=AB=a CQPABPSSQCDPABQPSS四边形四边形所以当所以当 BQ=BQ=b时，直线时，直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分. .