2014版挑战中考数学压轴题详解(115页).doc

1目目 录录第一部分 函数图象中点的存在性问题1.11.1 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013 年上海市中考第 24 题 例 2 2012 年苏州市中考第 29 题 例 3 2012 年黄冈市中考第 25 题 例 4 2010 年义乌市中考第 24 题 例 5 2009 年临沂市中考第 26 题 例 6 2008 年苏州市中考第 29 题1.21.2 因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年扬州市中考第 27 题 例 3 2012 年临沂市中考第 26 题 例 4 2011 年湖州市中考第 24 题 例 5 2011 年盐城市中考第 28 题 例 6 2010 年南通市中考第 27 题 例 7 2009 年江西省中考第 25 题1.31.3 因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 例 1 2013 年山西省中考第 26 题 例 2 2012 年广州市中考第 24 题 例 3 2012 年杭州市中考第 22 题 例 4 2011 年浙江省中考第 23 题 例 5 2010 年北京市中考第 24 题 例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题 例 7 2008 年河南省中考第 23 题1.41.4 因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题 例 1 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题 例 2 2012 年福州市中考第 21 题 例 3 2012 年烟台市中考第 26 题 例 4 2011 年上海市中考第 24 题 例 5 2011 年江西省中考第 24 题 例 6 2010 年山西省中考第 26 题 例 7 2009 年江西省中考第 24 题 1.51.5 因动点产生的梯形问题因动点产生的梯形问题 例 1 2012 年上海市松江中考模拟第 24 题 例 2 2012 年衢州市中考第 24 题 例 4 2011 年义乌市中考第 24 题2例 5 2010 年杭州市中考第 24 题 例 7 2009 年广州市中考第 25 题 1.61.6 因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题 例 1 2013 年苏州市中考第 29 题 例 2 2012 年菏泽市中考第 21 题 例 3 2012 年河南省中考第 23 题 例 4 2011 年南通市中考第 28 题 例 5 2010 年广州市中考第 25 题 例 6 2010 年扬州市中考第 28 题 例 7 2009 年兰州市中考第 29 题 1.71.7 因动点产生的相切问题因动点产生的相切问题 例 1 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年河北省中考第 25 题 例 3 2012 年无锡市中考第 28 题 1.81.8 因动点产生的线段和差问题因动点产生的线段和差问题 例 1 2013 年天津市中考第 25 题 例 2 2012 年滨州市中考第 24 题 例 3 2012 年山西省中考第 26 题第二部分 图形运动中的函数关系问题2.12.1 由比例线段产生的函数关系问题由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2013 年宁波市中考第 26 题 例 2 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 例 3 2012 年连云港市中考第 26 题 例 4 2010 年上海市中考第 25 题2.22.2 由面积公式产生的函数关系问题由面积公式产生的函数关系问题 例 1 2013 年菏泽市中考第 21 题 例 2 2012 年广东省中考第 22 题 例 3 2012 年河北省中考第 26 题 例 4 2011 年淮安市中考第 28 题 例 5 2011 年山西省中考第 26 题 例 6 2011 年重庆市中考第 26 题第三部分图形运动中的计算说理问题3.13.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2013 年南京市中考第 26 题 例 2 2013 年南昌市中考第 25 题 3.23.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 1 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 例 2 2013 年江西省中考第 24 题3第一部分 函数图象中点的存在性问题1.11.1 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例例 1 1 20132013 年上海市中考第年上海市中考第 2424 题题 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AOBO2，AOB120° （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结 OM，求AOM 的大小； （3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标图 1 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“13 上海 24” ，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在 点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与AOM 相似 请打开超级画板文件名“13 上海 24” ，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在 点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与AOM 相似点击按钮的左部和中部，可到达相似 的准确位置。思路点拨思路点拨1第（2）题把求AOM 的大小，转化为求BOM 的大小 2因为BOMABO30°，因此点 C 在点 B 的右侧时，恰好有 ABCAOM 3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC 与AOM 相似 满分解答满分解答（1）如图 2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H 在 RtAOH 中，AO2，AOH30°，所以 AH1，OH3所以 A( 1, 3) 因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点，设 yax(x2)，代入点 A( 1, 3)，可得3 3a 图 2所以抛物线的表达式为2332 3(2)333yx xxx（2）由2232 333(1)3333yxxx，得抛物线的顶点 M 的坐标为3(1,)3所以3tan3BOM所以BOM30°所以AOM150°（3）由 A( 1, 3)、B(2,0)、M3(1,)3，4得3tan3ABO，2 3AB ，2 3 3OM 所以ABO30°，3OA OM因此当点 C 在点 B 右侧时，ABCAOM150° ABC 与AOM 相似，存在两种情况：如图 3，当3BAOA BCOM时，2 3233BABC 此时 C(4,0)如图 4，当3BCOA BAOM时，332 36BCBA此时 C(8,0)图 3 图 4考点伸展考点伸展在本题情境下，如果ABC 与BOM 相似，求点 C 的坐标 如图 5，因为BOM 是 30°底角的等腰三角形，ABO30°，因此ABC 也是底角 为 30°的等腰三角形，ABAC，根据对称性，点 C 的坐标为(4,0)图 55例例 2 2 20122012 年苏州市中考第年苏州市中考第 2929 题题如图 1，已知抛物线211(1)444byxbx（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C （1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中 的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标； 如果不存在，请说明理由图 1 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29” ，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到， 点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第 （3）题” ，拖动点 B，可以体验到，存在OQAB 的时刻，也存在OQAB 的时 刻思路点拨思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等 2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子 表示 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上 满分解答满分解答（1）B 的坐标为(b, 0)，点 C 的坐标为(0, 4b)（2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDB PEC 因此 PDPE设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3，联结 OP所以 S四边形 PCOBSPCOSPBO115 2428bxb xbx 2b解得16 5x 所以点 P 的坐标为(16 16,55)6图 2 图 3（3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得 A(1, 0)，OA1如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA当BAQA QAOA，即2QABA OA时，BQAQOA所以2( )14bb解得84 3b 所以符合题意的点 Q 为(1,23)如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么OQC90°。 因此OCQQOA当BAQA QAOA时，BQAQOA此时OQB90°所以 C、Q、B 三点共线因此BOQA COOA，即 1 4bQA b解得4QA 此时 Q(1,4)图 4 图 5 考点伸展考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而 QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成 比例确定点 B 的位置 如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？ 如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾7例例 3 3 20122012 年黄冈市中考模拟第年黄冈市中考模拟第 2525 题题如图 1，已知抛物线的方程 C1：1(2)()yxxmm (m0)与 x 轴交于点 B、C，与y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧 （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“12 黄冈 25” ，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可 以体验到，EC 与 BF 保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于 45°观察右图，可以 体验到，CBF 保持 45°，存在BFCBCE 的时刻思路点拨思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小 2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45°，或 者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列 关于 m 的方程 满分解答满分解答（1）将 M(2, 2)代入1(2)()yxxmm ，得124(2)mm 解得 m4（2）当 m4 时，2111(2)(4)2442yxxxx 所以 C(4, 0)，E(0, 2)所以 SBCE116 2622BC OE （3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么HPEO CPCO因此2 34HP解得3 2HP 所以点 H 的坐标为3(1, )2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F由于BCEFBC，所以当CEBC CBBF，即2BCCE BF时，BCEFBC设点 F 的坐标为1( ,(2)()xxxmm，由' 'FFEO BFCO，得1(2)()2 2xxmm xm 解得 xm2所以 F(m2, 0)8由'COBF CEBF，得 244mm BFm 所以2(4)4mmBFm由2BCCE BF，得2 22(4)4(2)4mmmmm整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4 如图 4，作CBF45°交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBCCBF，所以BEBC BCBF，即2BCBE BF时，BCEBFC在 RtBFF中，由 FFBF，得1(2)()2xxmxm解得 x2m所以 F(2 ,0)m所以 BF2m2，2(22)BFm由2BCBE BF，得2(2)2 22(22)mm解得22 2m 综合、，符合题意的 m 为22 2 考点伸展考点伸展第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式 求 BF 的长9例例 4 4 20102010 年义乌市中考第年义乌市中考第 2424 题题如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标； （2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平 移，分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含 S 的代数式表示 x2x1，并求 出当 S=36 时点 A1的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度 的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运 动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的 运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请 说明理由图 1 图 2 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，可以体 验到，x2x1随 S 的增大而减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以 体验到，如果GAFGQE，那么GAF 与GQE 相似思路点拨思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x1，我们反其道而行之，用 x1，x2表示 S再注 意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y13通过代数变形就可以了 2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的 位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证 3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物 线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴 的下方，或者假设交点 G 在 x 轴的上方 满分解答满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x ，解析式为211 84yxx，顶点为 M（1，1 8） （2） 梯形 O1A1B1C1的面积12 122(11)3()62xxSxx ，由此得到1223sxx由于213yy，所以22 212211111138484yyxxxx整理，得212111()()384xxxx因此得到2172xxS当 S=36 时，212114,2.xxxx 解得126,8.xx 此时点 A1的坐标为（6，3） 10（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角G 在GEQ 中，GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值 在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF 因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF这时 GAFGQEPQD由于3tan4GAF，tan5DQtPQDQPt，所以3 45t t解得20 7t 图 3 图 4考点伸展考点伸展第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得 的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 311例例 5 5 20092009 年临沂市中考第年临沂市中考第 2626 题题如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得 以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐 标,图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“09 临沂 26” ，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到， PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、 “ P 在 x 轴上方”和“P 在 A 右侧” ， 可以显示PAM 与OAC 相似的三个情景 双击按钮“第(3)题” ， 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，观察DCA 的形状和面 积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是 AC 的中点时，DCA 的面积最大思路点拨思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便 2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长 3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程 4把DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA 满分解答满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点 C 的 坐标（0，2） ，解得21a所以抛物线的解析式为225 21)4)(1(212xxxxy（2）设点 P 的坐标为)4)(1(21,(xxx如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x4，)4)(1(21xxPM，xAM 412如果2COAO PMAM，那么24)4)(1(21xxx 解得5x不合题意如果21COAO PMAM，那么21 4)4)(1(21xxx 解得2x此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4，)4)(1(21xxPM，4 xAM解方程24)4)(1(21xxx ，得5x此时点 P 的坐标为)2, 5( 解方程21 4)4)(1(21xxx ，得2x不合题意如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1，)4)(1(21xxPM，xAM 4解方程24)4)(1(21xxx ，得3x此时点 P 的坐标为)14, 3(解方程21 4)4)(1(21xxx ，得0x此时点 P 与点 O 重合，不合题意综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或)14, 3(或)2, 5( 图 2 图 3 图 4（3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为221xy设点 D 的横坐标为 m)41 ( m，那么点 D 的坐标为)225 21,(2mmm，点 E的坐标为)221,(mm所以)221()225 21(2mmmDEmm2212因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m当2m时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1） 13图 5 图 6 考点伸展考点伸展第（3）题也可以这样解： 如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去 CDN 和ADM 的面积 设点 D 的横坐标为（m，n）)41 ( m，那么42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS由于225 212mmn，所以mmS4214例例 6 6 20082008 年苏州市中考第年苏州市中考第 2929 题题图 1 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“08 苏州 29” ，拖动表示 a 的点在 y 轴上运动，可以体验到， 当抛物线经过点 E1和 E3时，直线 NE1、NE3和直线 AB 交于同一个点 G，此时POB PGN当抛物线经过点 E2和 E4时，直线 NE2、NE4和直线 AB 交于同一个点 G，可以体验 到，这个点 G 在点 N 右侧较远处思路点拨思路点拨1求等腰直角三角形 OAB 斜边上的高 OH，解直角三角形 POH 求 k、b 的值 2以 DN 为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有 符合题意的点 E，写出点 E 的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出 a 3当 E 在 x 轴上方时，GNP45°，POBPGN，把PB PG转化为 14PO PN4当 E 在 x 轴下方时，通过估算得到PB PG大于 102 满分解答满分解答15（1）1OH ，3 3k ，2 3 3b （2）由抛物线的解析式(1)(5)ya xx，得点 M 的坐标为( 1,0)，点 N 的坐标为(5,0) 因此 MN 的中点 D 的坐标为（2，0） ，DN3 因为AOB 是等腰直角三角形，如果DNE 与AOB 相似，那么DNE 也是等腰直 角三角形 如图 2，如果 DN 为直角边，那么点 E 的坐标为 E1（2，3）或 E2（2，3） 将 E1（2，3）代入(1)(5)ya xx，求得1 3a 此时抛物线的解析式为21145(1)(5)3333yxxxx 将 E2（2，3）代入(1)(5)ya xx，求得31a此时抛物线的解析式为35 34 31)5)(1(312xxxxy如果 DN 为斜边，那么点 E 的坐标为 E311(3,1 )22或 E4)211,213(将 E311(3,1 )22代入(1)(5)ya xx，求得2 9a 此时抛物线的解析式为222810(1)(5)9999yxxxx 将 E4)211,213(代入(1)(5)ya xx，求得92a此时抛物线的解析式为910 98 92)5)(1(922xxxxy图 2 图 3对于点 E 为 E1（2，3）和 E311(3,1 )22，直线 NE 是相同的，ENP45°又OBP45°，PP，所以POBPGN因此2101472PNPOPGPB对于点 E 为 E2（2，3）和 E4)211,213(，直线 NE 是相同的此时点 G 在直线5x的右侧，3314PG又334PB，所以21034143343314PGPB16考点伸展考点伸展在本题情景下，怎样计算 PB 的长？如图 3，作 AFAB 交 OP 于 F，那么OBCOAF，OFOC233，PF2233，PA332(23)31223PF ，所以31PB 1.21.2因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题例例 1 1 20132013 年上海市虹口区中考模拟第年上海市虹口区中考模拟第 2525 题题如图 1，在 RtABC 中，A90°，AB6，AC8，点 D 为边 BC 的中点， DEBC 交边 AC 于点 E，点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且 PDQ90° （1）求 ED、EC 的长； （2）若 BP2，求 CQ 的长； （3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1 备用图 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“13 虹口 25” ，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到， PDM 与QDN 保持相似观察PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上， 不存在 DFDP 的情况 请打开超级画板文件名“13 虹口 25” ，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到， PDM 与QDN 保持相似观察PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上， 不存在 DFDP 的情况 思路点拨思路点拨1第（2）题 BP2 分两种情况 2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系 3第（3）题探求等腰三角形 PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三 角形 CDQ 满分解答满分解答（1）在 RtABC 中， AB6，AC8，所以 BC10在 RtCDE 中，CD5，所以315tan544EDCDC ，25 4EC （2）如图 2，过点 D 作 DMAB，DNAC，垂足分别为 M、N，那么 DM、DN 是 ABC 的两条中位线，DM4，DN3 由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQDN17因此PDMQDN所以4 3PMDM QNDN所以3 4QNPM，4 3PMQN图 2 图 3 图 4 如图 3，当 BP2，P 在 BM 上时，PM1此时33 44QNPM所以319444CQCNQN如图 4，当 BP2，P 在 MB 的延长线上时，PM5此时315 44QNPM所以1531444CQCNQN（3）如图 5，如图 2，在 RtPDQ 中，3tan4QDDNQPDPDDM在 RtABC 中，3tan4BACCA所以QPDC由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ 因此PDFCDQ 当PDF 是等腰三角形时，CDQ 也是等腰三角形 如图 5，当 CQCD5 时，QNCQCN541（如图 3 所示） 此时44 33PMQN所以45333BPBMPM如图 6，当 QCQD 时，由cosCHCCQ，可得5425 258CQ 所以 QNCNCQ257488（如图 2 所示） 此时47 36PMQN所以725366BPBMPM不存在 DPDF 的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图 5，图 6 所示） 图 5 图 6 考点伸展考点伸展如图 6，当CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP 也是等腰三角形，PBPD在BDP 中可以直接求解25 6BP 18例例 2 2 20122012 年扬州市中考第年扬州市中考第 2727 题题如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的 对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符 合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“12 扬州 27” ，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验 到，当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小拖动点 M 在抛物线的 对称轴上运动，观察MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点 M 有 1 次机会落在 AC 的垂直平分线上；点 A 有 2 次机会落在 MC 的垂直平分线上；点 C 有 2 次机会落在 MA 的垂直平分线上，但是有 1 次 M、A、C 三点共线思路点拨思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小 2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性 满分解答满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3)， 代入点 C(0 ,3)，得3a3解得 a1 所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(x3) x22x3 （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1 当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最19小 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由BHPH BOCO，BOCO，得 PHBH2所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2 （3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6)或(1,0) 考点伸展考点伸展第（3）题的解题过程是这样的： 设点 M 的坐标为(1,m) 在MAC 中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2 如图 3，当 MAMC 时，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得 m1 此时点 M 的坐标为(1, 1) 如图 4，当 AMAC 时，AM2AC2解方程 4m210，得6m 此时点 M 的坐标为(1,6)或(1,6) 如图 5，当 CMCA 时，CM2CA2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6 当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0)图 3 图 4 图 520例例 3 3 20122012 年临沂市中考第年临沂市中考第 2626 题题如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是 等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 动感体验动感体验请打开几何画板文件名“12 临沂 26” ，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验 到，O 和B 以及 OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点 P 运动 到O 与对称轴的另一个交点时，B、O、P 三点共线 请打开超级画板文件名“12 临沂 26” ，拖动点 P，发现存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的 距离公式列方程；然后解方程并检验 2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起 满分解答满分解答（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C 在 RtOBC 中，BOC30°，OB4，所以 BC2，2 3OC 21所以点 B 的坐标为( 2, 2 3) （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 yax(x4)，代入点 B( 2, 2 3)，2 32( 6)a 解得3 6a 所以抛物线的解析式为2332 3(4)663yx xxx （3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y) 当 OPOB4 时，OP216所以 4+y216解得2 3y 当 P 在(2,2 3)时，B、O、P 三点共线（如图 2） 当 BPBO4 时，BP216所以224(2 3)16y解得122 3yy 当 PBPO 时，PB2PO2所以22224(2 3)2yy解得2 3y 综合、，点 P 的坐标为(2, 2 3)，如图 2 所示图 2 图 3 考点伸展考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么DOA 与OAB 是两个相似的等腰三 角形由2332 3(4)(2)663yx xx ，得抛物线的顶点为2 3(2,)3D因此2 3tan3DOA所以DOA30°，ODA120°22例例 4 4 20112011 年盐城市中考第年盐城市中考第 2