2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：28 锐角三角函数与特殊角.doc

1锐角三角函数与特殊角锐角三角函数与特殊角一、选择题一、选择题1.（2014 年广东汕尾，第 7 题 4 分）在 RtABC 中，C=90°，若 sinA= ，则 cosB 的值是（ ）ABCD分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答解：C=90°，A+B=90°，cosB=sinA，sinA= ，cosB= 故选 B点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键2.（2014毕节地区，第 15 题 3 分）如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D已知 cosACD= ，BC=4，则 AC 的长为（ ）A1BC3D考点：圆周角定理；解直角三角形分析：由以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过C 作 CDAB 交 AB 于 D易得ACD=B，又由cosACD= ，BC=4，即可求得答案解答：解：AB 为直径，ACB=90°，ACD+BCD=90°，CDAB，BCD+B=90°，B=ACD，2cosACD= ，cosB= ，tanB= ，BC=4，tanB= ，AC=故选 D点评：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用3(2014 年天津市，第 2 题 3 分)cos60°的值等于（ ）ABCD考点：特殊角的三角函数值分析：根据特殊角的三角函数值解题即可解答：解：cos60°= 故选 A点评：本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键4 （2014四川自贡，第 10 题 4 分）如图，在半径为 1 的O 中，AOB=45°，则 sinC 的值为（ ）ABCD3考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义专题： 压轴题分析： 首先过点 A 作 ADOB 于点 D，由在 RtAOD 中，AOB=45°，可求得 AD 与 OD的长，继而可得 BD 的长，然后由勾股定理求得 AB 的长，继而可求得 sinC 的值解答： 解：过点 A 作 ADOB 于点 D，在 RtAOD 中，AOB=45°，OD=AD=OAcos45°=×1=，BD=OBOD=1，AB=，AC 是O 的直径，ABC=90°，AC=2，sinC=故选 B点评： 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用5 （2014浙江湖州，第 6 题 3 分）如图，已知 RtABC 中，C=90°，AC=4，tanA= ，则 BC 的长是（ ）A2B8C2D4分析：根据锐角三角函数定义得出 tanA=，代入求出即可4解：tanA= =，AC=4，BC=2，故选 A点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在 RtACB 中，C=90°，sinA=，cosA=，tanA=6 （2014·浙江金华，第 6 题 4 分）如图，点 A（t，3）在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为3,tan2，则 t 的值是【 】A1 B1.5 C2 D3【答案】C【解析】7.（2014滨州，第 11 题 3 分）在 RtACB 中，C=90°，AB=10，sinA= ，cosA= ，tanA= ，则 BC 的长为（ ）A6B7.5C8D12.55考点：解直角三角形分析：根据三角函数的定义来解决，由 sinA= ，得到 BC=解答：解：C=90°AB=10，sinA=，BC=AB× =10× =6故选 A点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在 RtACB 中，C=90°，则 sinA=，cosA=，tanA=8.（2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60°，点 P 在边 OA 上，OP=12，点M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=（ ）A3B4C5D6（第 1 题图）考点： 含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质分析： 过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的长，由 ODMD 即可求出 OM 的长6解答： 解：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在 RtOPD 中，cos60°= ，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND= MN=1，OM=ODMD=61=5故选 C点评： 此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键二二.填空题填空题1. （ 2014广西贺州，第 18 题 3 分）网格中的每个小正方形的边长都是 1，ABC 每个顶点都在网格的交点处，则 sinA= 考点： 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理分析： 根据正弦是角的对边比斜边，可得答案解答： 解：如图，作 ADBC 于 D，CEAB 于 E，由勾股定理得 AB=AC=2，BC=2，AD=3，由 BCAD=ABCE，7即 CE=，sinA=，故答案为：点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边2. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 16 题 3 分）如图，直线 MN 与O 相切于点M，ME=EF 且 EFMN，则 cosE= 考点： 切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值专题： 计算题分析： 连结 OM，OM 的反向延长线交 EF 与 C，由直线 MN 与O 相切于点 M，根据切线的性质得 OMMF，而 EFMN，根据平行线的性质得到 MCEF，于是根据垂径定理有 CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到 ME=MF，易证得MEF 为等边三角形，所以E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解解答： 解：连结 OM，OM 的反向延长线交 EF 与 C，如图，直线 MN 与O 相切于点 M，OMMF，EFMN，8MCEF，CE=CF，ME=MF，而 ME=EF，ME=EF=MF，MEF 为等边三角形，E=60°，cosE=cos60°= 故答案为 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值3 （2014温州，第 14 题 5 分）如图，在ABC 中，C=90°，AC=2，BC=1，则 tanA 的值是 考点： 锐角三角函数的定义分析：根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可解答：解：tanA= ，故答案为： 点评： 本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在 RtACB 中，C=90°，sinA=9，cosA=，tanA=4. （2014株洲，第 13 题，3 分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处，看塔顶的仰角为 20°（不考虑身高因素） ，则此塔高约为 182 米（结果保留整数，参考数据：sin20°0.3420，sin70°0.9397，tan20°0.3640，tan70°2.7475） （第 1 题图）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 作出图形，可得 AB=500 米，A=20°，在 RtABC 中，利用三角函数即可求得 BC的长度解答： 解：在 RtABC 中，AB=500 米，BAC=20°，=tan20°，BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米） 故答案为：182点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解三三.解答题解答题1. （2014湘潭，第 25 题） ABC 为等边三角形，边长为 a，DFAB，EFAC，（1）求证：BDFCEF；（2）若 a=4，设 BF=m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当m 为何值时 S 取最大值；（3）已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tanEDF=，求此圆直径10（第 1 题图）考点： 相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析： （1）只需找到两组对应角相等即可（2）四边形 ADFE 面积 S 可以看成ADF 与AEF 的面积之和，借助三角函数用 m 表示出 AD、DF、AE、EF 的长，进而可以用含 m 的代数式表示 S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题（3）易知 AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将EDF 转化为EAF在AFC 中，知道 tanEAF、C、AC，通过解直角三角形就可求出 AF 长解答： 解：（1）DFAB，EFAC，BDF=CEF=90°ABC 为等边三角形，B=C=60°BDF=CEF，B=C，BDFCEF（2）BDF=90°，B=60°，sin60°=，cos60°=BF=m，DF=m，BD=AB=4，AD=4SADF=ADDF=×（4）×m=m2+m同理：SAEF=AEEF=×（4）×（4m）12=m2+2S=SADF+SAEF=m2+m+2=（m24m8）=（m2）2+3其中 0m40，024，当 m=2 时，S 取最大值，最大值为 3S 与 m 之间的函数关系为：S（m2）2+3（其中 0m4） 当 m=2 时，S 取到最大值，最大值为 3（3）如图 2，A、D、F、E 四点共圆，EDF=EAFADF=AEF=90°，AF 是此圆的直径tanEDF=，tanEAF=C=60°，=tan60°=设 EC=x，则 EF=x，EA=2xAC=a，2x+x=Ax=EF=，AE=AEF=90°，AF=13此圆直径长为点评： 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键2. （2014益阳，第 18 题，8 分） “中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据：BAD=76.1°，BCA=68.2°，CD=82 米求 AB 的长（精确到 0.1 米） 参考数据：sin76.1°0.97，cos76.1°0.24，tan76.1°4.0；sin68.2°0.93，cos68.2°0.37，tan68.2°2.5（第 2 题图）考点： 解直角三角形的应用分析： 设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米在 RtABC 中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82） ，在 RtABD 中，根据三角函数得到 AB=4x，依此得到关于 x 的方程，进一步即可求解14解答： 解：设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米在 RtABC 中，tanBCA=，AB=ACtanBCA=2.5（x+82） 在 RtABD 中，tanBDA=，AB=ADtanBDA=4x2.5（x+82）=4x，解得 x=AB=4x=4×546.7答：AB 的长约为 546.7 米点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题3.（2014株洲，第 17 题，4 分）计算：+（3）0tan45°考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值分析： 原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果解答： 解：原式=4+11=4点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键4.（2014 年江苏南京，第 23 题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上，当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的角ABO=60°；当梯子底端向右滑动 1m（即 BD=1m）到达 CD 位置时，它与地面所成的角CDO=51°18，求梯子的长15（参考数据：sin51°180.780，cos51°180.625，tan51°181.248）（第 4 题图）考点：解直角三角形的应用分析：设梯子的长为 xm在 RtABO 中，根据三角函数得到 OB，在 RtCDO 中，根据三角函数得到 OD，再根据 BD=ODOB，得到关于 x 的方程，解方程即可求解解答：设梯子的长为 xm在 RtABO 中，cosABO=，OB=ABcosABO=xcos60°= x在 RtCDO 中，cosCDO=，OD=CDcosCDO=xcos51°180.625xBD=ODOB，0.625x x=1，解得 x=8故梯子的长是 8 米点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算5. （2014泰州，16 题，3 分）如图，正方向 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，DAE=30°，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若PQ=AE，则 AP 等于 1 或 2 cm（第 5 题图）考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形16分析： 根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到三角形ADE 与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30°，再由 PN 与 DC 平行，得到PFA=DEA=60°，进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长，再利用对称性确定出 AP的长即可解答： 解：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，四边形 ABCD 为正方形，AD=DC=PN，在 RtADE 中，DAE=30°，AD=3cm，tan30°=，即 DE=cm，根据勾股定理得：AE=2cm，M 为 AE 的中点，AM= AE=cm，在 RtADE 和 RtPNQ 中，RtADERtPNQ（HL） ，DE=NQ，DAE=NPQ=30°，PNDC，PFA=DEA=60°，PMF=90°，即 PMAF，在 RtAMP 中，MAP=30°，cos30°=，AP=2cm；由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm，综上，AP 等于 1cm 或 2cm故答案为：1 或 217点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键6. （2014泰州，第 22 题，10 分）图、分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板 CD 长为 1.6m，CD 与地面 DE 的夹角CDE 为 12°，支架 AC 长为 0.8m，ACD为 80°，求跑步机手柄的一端 A 的高度 h（精确到 0.1m） （参考数据：sin12°=cos78°0.21，sin68°=cos22°0.93，tan68°2.48）（第 6 题图）考点： 解直角三角形的应用分析： 过 C 点作 FGAB 于 F，交 DE 于 G在 RtACF 中，根据三角函数可求 CF，在RtCDG 中，根据三角函数可求 CG，再根据 FG=FC+CG 即可求解解答： 解：过 C 点作 FGAB 于 F，交 DE 于 GCD 与地面 DE 的夹角CDE 为 12°，ACD 为 80°，ACF=90°+12°80°=22°，CAF=68°，在 RtACF 中，CF=ACsinCAF0.744m，在 RtCDG 中，CG=CDsinCDE0.336m，FG=FC+CG1.1m故跑步机手柄的一端 A 的高度约为 1.1m18点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题7. （ 2014福建泉州，第 26 题 14 分）如图，直线 y=x+3 与 x，y 轴分别交于点 A，B，与反比例函数的图象交于点 P（2，1） （1）求该反比例函数的关系式；（2）设 PCy 轴于点 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 A；求ABC 的周长和 sinBAC 的值；对大于 1 的常数 m，求 x 轴上的点 M 的坐标，使得 sinBMC= 考点： 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题： 压轴题；探究型分析：（1）设反比例函数的关系式 y= ，然后把点 P 的坐标（2，1）代入即可（2）先求出直线 y=x+3 与 x、y 轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出ABC 的周长；过点 C 作 CDAB，垂足为 D，运用面积法可以求出 CD 长，从而求出 sinBAC 的值由于 BC=2，sinBMC= ，因此点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的E 上，因而点M 应是E 与 x 轴的交点然后对E 与 x 轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的19判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点 M 的坐标解答：解：（1）设反比例函数的关系式 y= 点 P（2，1）在反比例函数 y= 的图象上，k=2×1=2反比例函数的关系式 y= （2）过点 C 作 CDAB，垂足为 D，如图 1 所示当 x=0 时，y=0+3=3，则点 B 的坐标为（0，3） OB=3当 y=0 时，0=x+3，解得 x=3，则点 A 的坐标为（3，0） ，OA=3点 A 关于 y 轴的对称点为 A，OA=OA=3PCy 轴，点 P（2，1） ，OC=1，PC=2BC=2AOB=90°，OA=OB=3，OC=1，AB=3，AC=ABC 的周长为 3+2SABC= BCAO= ABCD，BCAO=ABCD2×3=3×CDCD=CDAB，sinBAC=ABC 的周长为 3+2，sinBAC 的值为当 1m2 时，作经过点 B、C 且半径为 m 的E，21连接 CE 并延长，交E 于点 P，连接 BP，过点 E 作 EGOB，垂足为 G，过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2所示CP 是E 的直径，PBC=90°sinBPC= sinBMC= ，BMC=BPC点 M 在E 上点 M 在 x 轴上点 M 是E 与 x 轴的交点EGBC，BG=GC=1OG=2EHO=GOH=OGE=90°，四边形 OGEH 是矩形EH=OG=2，EG=OH1m2，EHECE 与 x 轴相离x 轴上不存在点 M，使得 sinBMC= 当 m=2 时，EH=ECE 与 x 轴相切切点在 x 轴的正半轴上时，如图 2所示点 M 与点 H 重合EGOG，GC=1，EC=m，EG=OM=OH=EG=22点 M 的坐标为（，0） 切点在 x 轴的负半轴上时，同理可得：点 M 的坐标为（，0） 当 m2 时，EHECE 与 x 轴相交交点在 x 轴的正半轴上时，设交点为 M、M，连接 EM，如图 2所示EHM=90°，EM=m，EH=2，MH=EHMM，MH=MHMHEGC=90°，GC=1，EC=m，EG=OH=EG=OM=OHMH=，OM=OH+HM=+，M（，0） 、M（+，0） 交点在 x 轴的负半轴上时，同理可得：M（+，0） 、M（，0） 综上所述：当 1m2 时，满足要求的点 M 不存在；当 m=2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0）和（，0） ；当 m2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0） 、 （+，0） 、 （+，0） 、 （，0） 23点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大由BC=2，sinBMC= 联想到点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的E 上是解决本题的关键8.（2014襄阳，第 15 题 3 分）如图，在建筑平台 CD 的顶部 C 处，测得大树 AB 的顶部 A的仰角为 45°，测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30°，已知平台 CD 的高度为 5m，则大树的高度为 （5+5） m（结果保留根号）1考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 作 CEAB 于点 E，则BCE 和BCD 都是直角三角形，即可求得 CE，BE 的长，然后在 RtACE 中利用三角函数求得 AE 的长，进而求得 AB 的长，即为大树的高度解答： 解：作 CEAB 于点 E，在 RtBCE 中，BE=CD=5m，CE=5m，在 RtACE 中，AE=CEtan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m故答案为：（5+5） 点评： 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形9.（2014邵阳，第 24 题 8 分）一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60°的方向出港观光，航行80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东 37°方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船 C 处所需的大约时间（温馨提示：sin53°0.8，cos53°0.6）1考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：过点 C 作 CDAB 交 AB 延长线于 D先解 RtACD 得出 CD= AC=40海里，再解 RtCBD 中，得出 BC=50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船 C 处所需的时间解答：解：如图，过点 C 作 CDAB 交 AB 延长线于 D在 RtACD 中，ADC=90°，CAD=30°，AC=80 海里，CD= AC=40 海里在 RtCBD 中，CDB=90°，CBD=90°37°=53°，BC=50（海里），海警船到大事故船 C 处所需的时间大约为：50÷40= （小时）点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键