2013年中考数学试卷分类汇编 代数综合.doc

1代数综合代数综合1、 （2013 德州）下列函数中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ）Ay=x+1By=x21C1yxDy=x2+1考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质分析： 根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判 断解答： 解：A、y=x+1，一次函数，k0，故 y 随着 x 增大而减小，错误； B、y=x21（x0） ，故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；而在对称轴 左侧（x0） ，y 随着 x 的增大而减小，正确 C、y=，k=10，在每个象限里，y 随 x 的增大而减小，错误； D、y=x2+1（x0） ，故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减小；而在对称轴 左侧（x0） ，y 随着 x 的增大而增大，错误； 故选 B点评： 本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性） ，是一道难度中 等的题目2、 （2013攀枝花）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（3，0） ，B（1.0） ， C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出此 时点 P 的坐标； （3）设抛物线的顶点为 D，DEx 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM 是直角三 角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）过点 P 作 x 轴的垂线，交 AC 于点 N，先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式， 设 P 点坐标为（x，x2+2x3） ，根据 AC 的解析式表示出点 N 的坐标，再根据 SPAC=SPAN+SPCN就可以表示出PAC 的面积，运用顶点式就可以求出结论；2（3）分三种情况进行讨论：以 A 为直角顶点；以 D 为直角顶点；以 M 为直角 顶点；设点 M 的坐标为（0，t） ，根据勾股定理列出方程，求出 t 的值即可 解答： 解：（1）由于抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（1，0） ，可设抛物线的解析 式为：y=a（x+3） （x1） ， 将 C 点坐标（0，3）代入，得： a（0+3） （01）=5，解得 a=1， 则 y=（x+3） （x1）=x2+2x3， 所以抛物线的解析式为：y=x2+2x3；（2）过点 P 作 x 轴的垂线，交 AC 于点 N 设直线 AC 的解析式为 y=kx+m，由题意，得，解得，直线 AC 的解析式为：y=x3 设 P 点坐标为（x，x2+2x3） ，则点 N 的坐标为（x，x3） ， PN=PENE=（x2+2x3）+（x3）=x23x SPAC=SPAN+SPCN，S= PNOA= ×3（x23x）= （x+ ）2+，当 x= 时，S 有最大值，此时点 P 的坐标为（ ，） ；（3）在 y 轴上是否存在点 M，能够使得ADE 是直角三角形理由如下： y=x2+2x3=y=（x+1）24， 顶点 D 的坐标为（1，4） ， A（3，0） ， AD2=（1+3）2+（40）2=20 设点 M 的坐标为（0，t） ，分三种情况进行讨论： 当 A 为直角顶点时，如图 3， 由勾股定理，得 AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得 t= ，所以点 M 的坐标为（0， ） ；当 D 为直角顶点时，如图 3， 由勾股定理，得 DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t0）2，解得 t= ，3所以点 M 的坐标为（0， ） ；当 M 为直角顶点时，如图 3， 由勾股定理，得 AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t0）2+（0+1）2+（t+4）2=20， 解得 t=1 或3， 所以点 M 的坐标为（0，1）或（0，3） ； 综上可知，在 y 轴上存在点 M，能够使得ADE 是直角三角形，此时点 M 的坐标为（0， ）或（0， ）或（0，1）或（0，3） 4点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析 式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中运用 数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键3、（2013 达州压轴题）如图，在直角体系中，直线 AB 交 x 轴 于点 A（5，0），交 y 轴于点 B，AO 是M 的直径，其半圆交 AB 于点 C，且 AC=3。取 BO 的中点 D，连接 CD、MD 和 OC。 （1）求证：CD 是M 的切线； （2）二次函数的图象经过点 D、M、A，其对称轴上有一动点 P，连接 PD、PM，求 PDM 的周长最小时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当PDM 的周长最小时，抛物线上是否存在点 Q，使 1 6QAMPDMSSAA？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）证明：连结 CM. OA 为M 直径,OCA=90°. OCB=90°. D 为 OB 中点,DC=DO. DCO=DOC.(1 分）MO=MC, MCO=MOC.(2 分）DCM=DCO+MCO=DOC+MOC=DOM=90°.(3 分）又点 C 在M 上，5DC 是M 的切线.(4 分）（2）解：在 RtACO 中,有 OC=22ACOA .又A 点坐标（5，0）, AC=3,OC=2235 =4.tanOAC=OAOB ACOC.534OB.解得 OB=320.又D 为 OB 中点，OD=310. D 点坐标为（0，310).(5 分）连接 AD，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,则有. 05,310bkbj 解得 .32,310kb直线 AD 为 y=-32x+310.二次函数的图象过 M（25,0)、A(5,0)，抛物线对称轴 x=415.(6 分）点 M、A 关于直线 x=415对称，设直线 AD 与直线 x=415交于点 P,PD+PM 为最小. 又DM 为定长，满足条件的点 P 为直线 AD 与直线 x=415的交点.(7 分）当 x=415时,y=-32415+310=65.故 P 点的坐标为（415，65）.(8 分）（3）解：存在.SPDM=SDAM-SPAM=21AM·yD-21AM·yP=21AM(yD-yp).SQAM=21AM·Qy,由（2）知 D（0，310),P(415，65）,661×（310-65）=yQ 解得 yQ=±125(9 分）二次函数的图像过 M(0，25)、A(5，0），设二次函数解析式为 y=a(x-25)（x-5).又该图象过点 D（0，310)，a×(-25）×(-5)=310，a=154.y=154(x-25)(x-5).(10 分）又C 点在抛物线上，且 yQ=±125，154(x-25)(x-5)=±125.解之，得 x1=42515，x2=42515，x3=415.点 Q 的坐标为（42515，125)，或（42515，125)，或（415，-125）.(12分）4、 （2013天津压轴题）已知抛物线 y1=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 l，顶点为点 M若自变量 x 和函数值 y1的部分对应值如下表所示： （）求 y1与 x 之间的函数关系式； （）若经过点 T（0，t）作垂直于 y 轴的直线 l，A 为直线 l上的动点，线段 AM 的垂 直平分线交直线 l 于点 B，点 B 关于直线 AM 的对称点为 P，记 P（x，y2） （1）求 y2与 x 之间的函数关系式； （2）当 x 取任意实数时，若对于同一个 x，有 y1y2恒成立，求 t 的取值范围x103 y1=ax2+bx+c00考点： 二次函数综合题专题： 探究型分析：（I）先根据物线经过点（0， ）得出 c 的值，再把点（1，0） 、 （3，0）代入抛物线 y1的解析式即可得出 y1与 x 之间的函数关系式； （II）先根据（I）中 y1与 x 之间的函数关系式得出顶点 M 的坐标 记直线 l 与直线 l交于点 C（1，t） ，当点 A与点 C 不重合时，由已知得，AM7与 BP 互相垂直平分，故可得出四边形 ANMP 为菱形，所以 PAl，再由点 P（x，y2）可知点 A（x，t） （x1） ，所以 PM=PA=|y2t|，过点 P 作 PQl 于点 Q，则点 Q（1，y2） ，故 QM=|y23|，PQ=AC=|x1|，在 RtPQM 中，根据勾股定理 即可得出 y2与 x 之间的函数关系式，再由当点 A 与点 C 重合时，点 B 与点 P 重合可 得出 P 点坐标，故可得出 y2与 x 之间的函数关系式； 据题意，借助函数图象：当抛物线 y2开口方向向上时，可知 62t0，即 t3时，抛物线 y1的顶点 M（1，3） ，抛物线 y2的顶点（1，） ，由于 3，所以不合题意，当抛物线 y2开口方向向下时，62t0，即 t3 时，求出 y1y2的值；若 3t110，要使 y1y2恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1，）在 x 轴下方，因为 3t0，只要 3t110，解得 t，符合题意；若3t11=0，y1y2= 0，即 t=也符合题意解答：解：（）抛物线经过点（0， ） ，c= y1=ax2+bx+ ，点（1，0） 、 （3，0）在抛物线 y1=ax2+bx+ 上，解得，y1与 x 之间的函数关系式为：y1= x2+ x+ ；（II）y1= x2+ x+ ，y1= （x1）2+3，直线 l 为 x=1，顶点 M（1，3） 由题意得，t3， 如图，记直线 l 与直线 l交于点 C（1，t） ，当点 A与点 C 不重合时， 由已知得，AM 与 BP 互相垂直平分， 四边形 ANMP 为菱形， PAl， 又点 P（x，y2） ， 点 A（x，t） （x1） ， PM=PA=|y2t|， 过点 P 作 PQl 于点 Q，则点 Q（1，y2） ，9QM=|y23|，PQ=AC=|x1|， 在 RtPQM 中，PM2=QM2+PQ2，即（y2t）2=（y23）2+（x1）2，整理得，y2=（x1）2+，即 y2=x3x+，当点 A 与点 C 重合时，点 B 与点 P 重合，P（1，） ，P 点坐标也满足上式，y2与 x 之间的函数关系式为 y2=x3x+（t3） ；根据题意，借助函数图象： 当抛物线 y2 开口方向向上时，62t0，即 t3 时，抛物线 y1的顶点 M（1，3） ，抛物线 y2的顶点（1，） ，3，不合题意， 当抛物线 y2开口方向向下时，62t0，即 t3 时，y1y2= （x1）2+3（x1）2+=（x1）2+，若 3t110，要使 y1y2恒成立，只要抛物线 y=（x1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x 轴下方，3t0，只要 3t110，解得 t，符合题意；若 3t11=0，y1y2= 0，即 t=也符合题意综上，可以使 y1y2恒成立的 t 的取值范围是 t10点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理 及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用5、(2013 年江西省压轴题)已知抛物线抛物线y n=-(x-an)2+an（n为正整数，且 00， a1=1 即y1=(x1)2+1 方法一：令y1=0 代入得：(x1)2+1=0，x1=0，x2=2， y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0） b1=2， 方法二：y1=(xa1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），(b11)2+1=0，b1=2 或 0，b1=0（舍去） b1=2 又抛物线y2=(xa2)2+a2与x轴交于点A1（2，0）， (2a2)2+ a2=0， a2=1 或 4，a2> a1，a2=1（舍去） 取a2=4，抛物线y2=(x4)2+4 （2）（9，9）； （n2，n2）11y=x 详解如下： 抛物线y2=(x4)2+4 令y2=0 代入得：(x4)2+4=0， x1=2，x2=6 y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0） 又抛物线y3=(xa3)2+a3与x轴交于A2（6，0），(6a3)2+a3=0 a3=4 或 9，a3> a3，a3=4（舍去）， 即a3=9，抛物线y3的顶点坐标为（9，9） 由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为 （9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2） 所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标， 顶点坐标满足的函数关系式是：y= x； A0（0，0），A1（2，0）， A0 A1=2 又yn=(xn2)2+n2， 令yn=0， (xn2)2+n2=0， 即x1=n2+n，x2=n2n， A n1(n2n，0)，A n(n2+n，0)，即 A n1 A n=( n2+n)( n2n)=2 n 存在是平行于直线y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x212【考点解剖考点解剖】 本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表 示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重 要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画 一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精 神和最高境界 【解题思路解题思路】 （1）将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式 也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把（b1，0）代入y2，可求出a2 ，即得y2的解析式；（2）用同样的方法可求得a3 、a4 、a5 由此得到规律2 nan，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；（3）由（2）可知0112232,4,6A AA AA A得12nnAAn; 最后一问我们会猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，用特殊值法取2(4)4,2yxyx 得112,0xy 和225,3xy ，得所截得的线段长度为3 2，换一组抛物线试试，求出的值也为3 2（当然用字母来运算就是解13222(),2yxnnyx 得2 12 11,1xnyn和2 22 22,4xnyn，求得所截得的线段长度也为3 2）.【解答过程解答过程】 略. 【方法规律方法规律】 掌握基础（知识），灵活运用（方法），敢于动手，不畏艰难. 【关键词关键词】 二次函数 抛物线 规律探究6、(2013 年武汉压轴题)如图，点P是直线l：22 xy上的点，过点P的另一条直线m交抛物线2xy 于A、B两点（1）若直线m的解析式为23 21xy，求A、B两点的坐标； （2）若点P的坐标为（2，t），当PAAB时，请直接写出点A的坐标；试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PAAB 成立 （3）设直线l交y轴于点C，若AOB的外心在边AB上，且BPCOCP，求点P的坐 标解析：（1）依题意，得 .,23 212xyxy解得 492311yx ， 1122 yxA（23，49），B（1，1）（2）A1（1，1），A2（3，9）过点 P、B 分别作过点 A 且平行于x轴的直线的垂线，垂足分别为 G、H.设 P（a，22 a），A（m，2m），PAPB，PAGBAH，AGAH，PGBH，B（am 2，2222 am），将点 B 坐标代入抛物线2xy ，得0224222aaamm，081816168228162222aaaaaaxy图 25图 1图 图 图Olm PBAxylO图 25图 2图 图 图xyCl mPAOB图 25图 3图 图 图14无论a为何值时，关于m的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的 点 P，抛物线上总能找到两个满足条件的点 A（3）设直线m：0kbkxy交 y 轴于 D，设 A（m，2m），B（n，2n）过 A、B 两点分别作 AG、BH 垂直x轴于 G、H AOB 的外心在 AB 上，AOB90°，由AGOOHB，得BHOH OGAG，1mn联立 2xybkxy得02bkxx，依题意，得m、n是方程02bkxx的两根，bmn，1b，即 D（0，1） BPCOCP，DPDC3P 设 P（a，22 a），过点 P 作 PQy轴于 Q，在 RtPDQ 中，222PDDQPQ，2223122aa01a（舍去），512 2a，P（512，514）PN 平分MNQ，PTNT，ttt22212，7、 （2013内江压轴题）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A（x1，0） 、 B（x2，0） （x1x2）两点，与 y 轴交于点 C，x1，x2是方程 x2+4x5=0 的两根 （1）若抛物线的顶点为 D，求 SABC：SACD的值； （2）若ADC=90°，求二次函数的解析式xyPGHABO图 25图 2图 图 图xyHGQ图 25图 3图 图 图BOAPmlC15考点： 二次函数综合题分析： （1）首先解一元二次方程，求出点 A、点 B 的坐标，得到含有字母 a 的抛物线的交 点式；然后分别用含字母 a 的代数式表示出ABC 与ACD 的面积，最后得出结论； （2）在 RtACD 中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数 a，得出抛 物线的解析式 解答： 解：（1）解方程 x2+4x5=0，得 x=5 或 x=1， 由于 x1x2，则有 x1=5，x2=1，A（5，0） ，B（1，0） 抛物线的解析式为：y=a（x+5） （x1） （a0） ， 对称轴为直线 x=2，顶点 D 的坐标为（2，9a） ， 令 x=0，得 y=5a， C 点的坐标为（0，5a） 依题意画出图形，如右图所示，则 OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a， 过点 D 作 DEy 轴于点 E，则 DE=2，OE=9a，CE=OEOC=4a SACD=S梯形 ADEOSCDESAOC =（DE+OA）OEDECEOAOC =（2+5）9a×2×4a×5×5a =15a， 而 SABC=ABOC=×6×5a=15a， SABC：SACD=15a：15a=1；（2）如解答图所示， 在 RtDCE 中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2， 在 RtAOC 中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2， 设对称轴 x=2 与 x 轴交于点 F，则 AF=3， 在 RtADF 中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2 ADC=90°，ACD 为直角三角形， 由勾股定理得：AD2+CD2=AC2， 即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=， a0，a=，16抛物线的解析式为：y=（x+5） （x1）=x2+x点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、 几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真， 避免出错注意第（1）问中求ACD 面积的方法 8、 （2013泸州压轴题）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为 （1，） ，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过三点 A、B、O（O 为原点） （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果点 P 是该抛物线上 x 轴上方的一个动点，那么PAB 是否有最大面积？若有，求 出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 （注意：本题中的结果均保 留根号）考点： 二次函数综合题分析： （1）直接将 A、O、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式； （2）因为点 A，O 关于对称轴对称，连接 AB 交对称轴于 C 点，C 点即为所求，求直 线 AB 的解析式，再根据 C 点的横坐标值，求纵坐标； （3）设 P（x，y） （2x0，y0） ，用割补法可表示PAB 的面积，根据面积表17达式再求取最大值时，x 的值 解答： 解：（1）将 A（2，0） ，B（1，） ，O（0，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c（a0） ，可得：，解得：，故所求抛物线解析式为 y=x2x；（2）存在理由如下： 如答图所示，y=x2x=（x+1）2+，抛物线的对称轴为 x=1 点 C 在对称轴 x=1 上，BOC 的周长=OB+BC+CO； OB=2，要使BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小， 点 O 与点 A 关于直线 x=1 对称，有 CO=CA， BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA， 当 A、C、B 三点共线，即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小， 此时BOC 的周长最小 设直线 AB 的解析式为 y=kx+t，则有：，解得：，直线 AB 的解析式为 y=x，当 x=1 时，y=，所求点 C 的坐标为（1，） ；（3）设 P（x，y） （2x0，y0） ，则 y=x2x 如答图所示，过点 P 作 PQy 轴于点 Q，PGx 轴于点 G，过点 A 作 AFPQ 轴于点 F，过点 B 作 BEPQ 轴于点 E，则 PQ=x，PG=y， 由题意可得：SPAB=S梯形 AFEBSAFPSBEP18=（AF+BE）FEAFFPPEBE =（y+y） （1+2）y（2+x）（1x） （+y）=y+x+ 将代入得：SPAB=（x2x）+x+=x2x+=（x+）2+当 x=时，PAB 的面积最大，最大值为，此时 y=×+×=，点 P 的坐标为（，） 点评： 本题考查了坐标系中点的坐标求法，抛物线解析式的求法，根据对称性求线段和最 小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题；解答本题（3）也 可以将直线 AB 向下平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解 析式，可求唯一交点 P 的坐标9、 （2013 聊城压轴题）已知ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 2019（1）写出ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为 48 时 BC 的长； （2）当 BC 多长时，ABC 的面积最大？最大面积是多少？ （3）当ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出 其最小周长；如果不存在，请给予说明 考点：二次函数综合题 分析：（1）先表示出 BC 边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示 y 与 x 之 间的函数关系式，当 y=48 时代入解析式就可以求出其值； （2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值 （3）由（2）可知ABC 的面积最大时，BC=10，BC 边上的高也为 10 过点 A 作直线 L 平行 于 BC，作点 B 关于直线 L 的对称点 B，连接 BC 交直线 L 于点 A，再连接 AB，AB，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值 解答：解：（1）由题意，得y=x2+10x，当 y=48 时， x2+10x=48， 解得：x1=12，x2=8， 面积为 48 时 BC 的长为 12 或 8； （2）y=x2+10x， y=（x10）2+50， 当 x=10 时，y最大=50； （3）ABC 面积最大时，ABC 的周长存在最小的情形理由如下：由（2）可知ABC 的 面积最大时，BC=10，BC 边上的高也为 10 过点 A 作直线 L 平行于 BC，作点 B 关于直线 L 的对称点 B， 连接 BC 交直线 L 于点 A，再连接 AB，AB 则由对称性得：AB=AB，AB=AB， AB+AC=AB+AC=BC， 当点 A 不在线段 BC 上时，则由三角形三边关系可得：ABC 的周长 =AB+AC+BC=AB+AC+BCBC+BC， 当点 A 在线段 BC 上时，即点 A 与 A重合，这时ABC 的周长 =AB+AC+BC=AB+AC+BC=BC+BC， 因此当点 A 与 A重合时，ABC 的周长最小；这时由作法可知：BB=20，BC=10，ABC 的周长=10+10，因此当ABC 面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为 10+1020点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程 的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是 关键 10、 （2013苏州压轴题）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c（b，c 是常数，且 c0）与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为 （1，0） （1）b= +c ，点 B 的横坐标为 2c （上述结果均用含 c 的代数式表示） ；（2）连接 BC，过点 A 作直线 AEBC，与抛物线 y= x2+bx+c 交于点 E，点 D 是 x 轴上的一点，其坐标为（2，0） 当 C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接 PB，PC，设所得 PBC 的面积为 S 求 S 的取值范围； 若PBC 的面积 S 为整数，则这样的PBC 共有 11 个考点： 二次函数综合题分析：（1）将 A（1，0）代入 y= x2+bx+c，可以得出 b= +c；根据一元二次方程根与系21数的关系，得出1xB= ，即 xB=2c；（2）由 y= x2+bx+c，求出此抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为（0，c） ，则可设直线BC 的解析式为 y=kx+c，将 B 点坐标代入，运用待定系数法求出直线 BC 的解析式为y= x+c；由 AEBC，设直线 AE 得到解析式为 y= x+m，将点 A 的坐标代入，运用待定系数法求出直线 AE 得到解析式为 y= x+ ；解方程组，求出点 E 坐标为（12c，1c） ，将点 E 坐标代入直线 CD 的解析式 y= x+c，求出 c=2，进而得到抛物线的解析式为 y= x2 x2；（3）分两种情况进行讨论：（）当1x0 时，由 0SSACB，易求 0S5；（）当 0x4 时，过点 P 作 PGx 轴于点 G，交 CB 于点 F设点 P 坐标为（x， x2 x2） ，则点 F 坐标为（x， x2） ，PF=PGGF= x2+2x，S= PFOB=x2+4x=（x2）2+4，根据二次函数的性质求出 S最大值=4，即 0S4则 0S5； 由 0S5，S 为整数，得出 S=1，2，3，4分两种情况进行讨论：（）当 1x0 时，根据PBC 中 BC 边上的高 h 小于ABC 中 BC 边上的高 AC=，得出 满足条件的PBC 共有 4 个；（）当 0x4 时，由于 S=x2+4x，根据一元二次 方程根的判别式，得出满足条件的PBC 共有 7 个；则满足条件的PBC 共有 4+7=11 个 解答：解：（1）抛物线 y= x2+bx+c 过点 A（1，0） ，0= ×（1）2+b×（1）+c，b= +c，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A（1，0） 、B（xB，0） （点 A 位于点 B 的左侧） ，1 与 xB是一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个根，1xB= ，xB=2c，即点 B 的横坐标为2c；23（2）抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴的负半轴交于点 C，当 x=0 时，y=c，即点 C 坐标为（0，c） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+c， B（2c，0） ， 2kc+c=0， c0，k= ，直线 BC 的解析式为 y= x+cAEBC，可设直线 AE 得到解析式为 y= x+m，点 A 的坐标为（1，0） ， ×（1）+m=0，解得 m= ，直线 AE 得到解析式为 y= x+ 由，解得，点 E 坐标为（12c，1c） 点 C 坐标为（0，c） ，点 D 坐标为（2，0） ，直线 CD 的解析式为 y= x+cC，D，E 三点在同一直线上，1c= ×（12c）+c，2c2+3c2=0，c1= （与 c0 矛盾，舍去） ，c2=2，b= +c= ，抛物线的解析式为 y= x2 x2；（3）设点 P 坐标为（x， x2 x2） 点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 坐标为（4，0） ，点 C 坐标为（0，2） ，AB=5，OC=2，直线 BC 的解析式为 y= x2分两种情况：24（）当1x0 时，0SSACBSACB= ABOC=5，0S5； （）当 0x4 时，过点 P 作 PGx 轴于点 G，交 CB 于点 F点 F 坐标为（x， x2） ，PF=PGGF=（ x2 x2）+（ x2）= x2+2x，S=SPFC+SPFB= PFOB= （ x2+2x）×4=x2+4x=（x2）2+4，当 x=2 时，S最大值=4， 0S4 综上可知 0S5；0S5，S 为整数， S=1，2，3，4 分两种情况： （）当1x0 时，设PBC 中 BC 边上的高为 h 点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 坐标为（4，0） ，点 C 坐标为（0，2） ， AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25， AC2+BC2=AB2，ACB=90°，BC 边上的高 AC=S= BCh，h=S如果 S=1，那么 h=×1=，此时 P 点有 1 个，PBC 有 1 个；如果 S=2，那么 h=×2=，此时 P 点有 1 个，PBC 有 1 个；如果 S=3，那么 h=×3=，此时 P 点有 1 个，PBC 有 1 个；如果 S=4，那么 h=×4=，此时 P 点有 1 个，PBC 有 1 个；即当1x0 时，满足条件的PBC 共有 4 个； （）当 0x4 时，S=x2+4x 如果 S=1，那么x2+4x=1，即 x24x+1=0， =164=120，方程有两个不相等的实数根，此时 P 点有 2 个，PBC 有 2 个；如果 S=2，那么x2+4x=2，即 x24x+2=0， =168=80，方程有两个不相等的实数根，此时 P 点有 2 个，PBC 有 2 个；如果 S=3，那么x2+4x=3，即 x24x+3=0， =1612=40，方程有两个不相等的实数根，此时 P 点有 2 个，PBC 有 2 个；如果 S=4，那么x2+4x=4，即 x24x+4=0，25=1616=0，方程有两个相等的实数根，此时 P 点有 1 个，PBC 有 1 个； 即当 0x4 时，满足条件的PBC 共有 7 个； 综上可知，满足条件的PBC 共有 4+7=11 个故答案为 +c，2c；11点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解 析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标，三角形的面积， 一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运 用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键11、 （2013宜昌压轴题）如图 1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边 BC 在 x 轴 正半轴上滑动，点 C 的坐标为（t，0） ，直角边 AC=4，经过 O，C 两点做抛物线 y1=ax（xt） （a 为常数，a0） ，该抛物线与斜边 AB 交于点 E，直线 OA：y2=kx（k 为常 数，k0）（1）填空：用含 t 的代数式表示点 A 的坐标及 k 的值：A （t，4） ，k= （k0） ； （2）随着三角板的滑动，当 a=时：请你验证：抛物线 y1=ax（xt）的顶点在函数 y=的图象上；当三角板滑至点 E 为 AB 的中点时，求 t 的值； （3）直线 OA 与抛物线的另一个交点为点 D，当 txt+4，|y2y1|的值随 x 的增大而减 小，当 xt+4 时，|y2y1|的值随 x 的增大而增大，求 a 与 t 的关系式及 t 的取值范围考点： 二次函数综合题分析： （1）根据题意易得点 A 的横坐标与点 C 的相同，点 A 的纵坐标即是线段 AC 的长度； 把点 A 的坐标代入直线 OA 的解析式来求 k 的值；26（2）求得抛物线 y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数 y=，若该点满足函数解析式 y=，即表示该顶点在函数 y=图象上；反之，该顶点不在函数 y=图象上；如图 1，过点 E 作 EKx 轴于点 K则 EK 是ACB 的中位线，所以根据三角形中位 线定理易求点 E 的坐标，把点 E 的坐标代入抛物线 y1=x（xt）即可求得 t=2；（3）如图 2，根据抛物线与直线相交可以求得点 D 横坐标是+4则 t+4=+4，由此可以求得 a 与 t 的关系式 解答： 解：（1）点 C 的坐标为（t，0） ，直角边 AC=4， 点 A 的坐标是（t，4） 又直线 OA：y2=kx（k 为常数，k0） ，