2013年中考数学试卷分类汇编 代数综合.doc
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1、 1代数综合代数综合1、 (2013 德州)下列函数中,当 x0 时,y 随 x 的增大而增大的是( )Ay=x+1By=x21C1yxDy=x2+1考点: 二次函数的性质;一次函数的性质;反比例函数的性质分析: 根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性,结合自变量的取值范围,逐一判 断解答: 解:A、y=x+1,一次函数,k0,故 y 随着 x 增大而减小,错误; B、y=x21(x0) ,故当图象在对称轴右侧,y 随着 x 的增大而增大;而在对称轴 左侧(x0) ,y 随着 x 的增大而减小,正确 C、y=,k=10,在每个象限里,y 随 x 的增大而减小,错误; D、y=x2+1(x0
2、) ,故当图象在对称轴右侧,y 随着 x 的增大而减小;而在对称轴 左侧(x0) ,y 随着 x 的增大而增大,错误; 故选 B点评: 本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性(单调性) ,是一道难度中 等的题目2、 (2013攀枝花)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(3,0) ,B(1.0) , C(0,3) (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 为第三象限内抛物线上的一点,设PAC 的面积为 S,求 S 的最大值并求出此 时点 P 的坐标; (3)设抛物线的顶点为 D,DEx 轴于点 E,在 y 轴上是否存在点 M,使得ADM 是直角三 角形?若存在,请直接写出
3、点 M 的坐标;若不存在,请说明理由考点: 二次函数综合题分析: (1)已知抛物线上的三点坐标,利用待定系数法可求出该二次函数的解析式; (2)过点 P 作 x 轴的垂线,交 AC 于点 N,先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式, 设 P 点坐标为(x,x2+2x3) ,根据 AC 的解析式表示出点 N 的坐标,再根据 SPAC=SPAN+SPCN就可以表示出PAC 的面积,运用顶点式就可以求出结论;2(3)分三种情况进行讨论:以 A 为直角顶点;以 D 为直角顶点;以 M 为直角 顶点;设点 M 的坐标为(0,t) ,根据勾股定理列出方程,求出 t 的值即可 解答: 解:(1)由于抛物线
4、 y=ax2+bx+c 经过 A(3,0) ,B(1,0) ,可设抛物线的解析 式为:y=a(x+3) (x1) , 将 C 点坐标(0,3)代入,得: a(0+3) (01)=5,解得 a=1, 则 y=(x+3) (x1)=x2+2x3, 所以抛物线的解析式为:y=x2+2x3;(2)过点 P 作 x 轴的垂线,交 AC 于点 N 设直线 AC 的解析式为 y=kx+m,由题意,得,解得,直线 AC 的解析式为:y=x3 设 P 点坐标为(x,x2+2x3) ,则点 N 的坐标为(x,x3) , PN=PENE=(x2+2x3)+(x3)=x23x SPAC=SPAN+SPCN,S= PN
5、OA= 3(x23x)= (x+ )2+,当 x= 时,S 有最大值,此时点 P 的坐标为( ,) ;(3)在 y 轴上是否存在点 M,能够使得ADE 是直角三角形理由如下: y=x2+2x3=y=(x+1)24, 顶点 D 的坐标为(1,4) , A(3,0) , AD2=(1+3)2+(40)2=20 设点 M 的坐标为(0,t) ,分三种情况进行讨论: 当 A 为直角顶点时,如图 3, 由勾股定理,得 AM2+AD2=DM2,即(0+3)2+(t0)2+20=(0+1)2+(t+4)2,解得 t= ,所以点 M 的坐标为(0, ) ;当 D 为直角顶点时,如图 3, 由勾股定理,得 DM
6、2+AD2=AM2,即(0+1)2+(t+4)2+20=(0+3)2+(t0)2,解得 t= ,3所以点 M 的坐标为(0, ) ;当 M 为直角顶点时,如图 3, 由勾股定理,得 AM2+DM2=AD2,即(0+3)2+(t0)2+(0+1)2+(t+4)2=20, 解得 t=1 或3, 所以点 M 的坐标为(0,1)或(0,3) ; 综上可知,在 y 轴上存在点 M,能够使得ADE 是直角三角形,此时点 M 的坐标为(0, )或(0, )或(0,1)或(0,3) 4点评: 本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析 式,三角形的面积,二次函数的顶点式的运用,勾
7、股定理等知识,难度适中运用 数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键3、(2013 达州压轴题)如图,在直角体系中,直线 AB 交 x 轴 于点 A(5,0),交 y 轴于点 B,AO 是M 的直径,其半圆交 AB 于点 C,且 AC=3。取 BO 的中点 D,连接 CD、MD 和 OC。 (1)求证:CD 是M 的切线; (2)二次函数的图象经过点 D、M、A,其对称轴上有一动点 P,连接 PD、PM,求 PDM 的周长最小时点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,当PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点 Q,使 1 6QAMPDMSSAA?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理
8、由。解析:(1)证明:连结 CM. OA 为M 直径,OCA=90. OCB=90. D 为 OB 中点,DC=DO. DCO=DOC.(1 分)MO=MC, MCO=MOC.(2 分)DCM=DCO+MCO=DOC+MOC=DOM=90.(3 分)又点 C 在M 上,5DC 是M 的切线.(4 分)(2)解:在 RtACO 中,有 OC=22ACOA .又A 点坐标(5,0), AC=3,OC=2235 =4.tanOAC=OAOB ACOC.534OB.解得 OB=320.又D 为 OB 中点,OD=310. D 点坐标为(0,310).(5 分)连接 AD,设直线 AD 的解析式为 y=
9、kx+b,则有. 05,310bkbj 解得 .32,310kb直线 AD 为 y=-32x+310.二次函数的图象过 M(25,0)、A(5,0),抛物线对称轴 x=415.(6 分)点 M、A 关于直线 x=415对称,设直线 AD 与直线 x=415交于点 P,PD+PM 为最小. 又DM 为定长,满足条件的点 P 为直线 AD 与直线 x=415的交点.(7 分)当 x=415时,y=-32415+310=65.故 P 点的坐标为(415,65).(8 分)(3)解:存在.SPDM=SDAM-SPAM=21AMyD-21AMyP=21AM(yD-yp).SQAM=21AMQy,由(2)
10、知 D(0,310),P(415,65),661(310-65)=yQ 解得 yQ=125(9 分)二次函数的图像过 M(0,25)、A(5,0),设二次函数解析式为 y=a(x-25)(x-5).又该图象过点 D(0,310),a(-25)(-5)=310,a=154.y=154(x-25)(x-5).(10 分)又C 点在抛物线上,且 yQ=125,154(x-25)(x-5)=125.解之,得 x1=42515,x2=42515,x3=415.点 Q 的坐标为(42515,125),或(42515,125),或(415,-125).(12分)4、 (2013天津压轴题)已知抛物线 y1=
11、ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线 l,顶点为点 M若自变量 x 和函数值 y1的部分对应值如下表所示: ()求 y1与 x 之间的函数关系式; ()若经过点 T(0,t)作垂直于 y 轴的直线 l,A 为直线 l上的动点,线段 AM 的垂 直平分线交直线 l 于点 B,点 B 关于直线 AM 的对称点为 P,记 P(x,y2) (1)求 y2与 x 之间的函数关系式; (2)当 x 取任意实数时,若对于同一个 x,有 y1y2恒成立,求 t 的取值范围x103 y1=ax2+bx+c00考点: 二次函数综合题专题: 探究型分析:(I)先根据物线经过点(0, )得出 c 的值,再把点(1,
12、0) 、 (3,0)代入抛物线 y1的解析式即可得出 y1与 x 之间的函数关系式; (II)先根据(I)中 y1与 x 之间的函数关系式得出顶点 M 的坐标 记直线 l 与直线 l交于点 C(1,t) ,当点 A与点 C 不重合时,由已知得,AM7与 BP 互相垂直平分,故可得出四边形 ANMP 为菱形,所以 PAl,再由点 P(x,y2)可知点 A(x,t) (x1) ,所以 PM=PA=|y2t|,过点 P 作 PQl 于点 Q,则点 Q(1,y2) ,故 QM=|y23|,PQ=AC=|x1|,在 RtPQM 中,根据勾股定理 即可得出 y2与 x 之间的函数关系式,再由当点 A 与点
13、 C 重合时,点 B 与点 P 重合可 得出 P 点坐标,故可得出 y2与 x 之间的函数关系式; 据题意,借助函数图象:当抛物线 y2开口方向向上时,可知 62t0,即 t3时,抛物线 y1的顶点 M(1,3) ,抛物线 y2的顶点(1,) ,由于 3,所以不合题意,当抛物线 y2开口方向向下时,62t0,即 t3 时,求出 y1y2的值;若 3t110,要使 y1y2恒成立,只要抛物线方向及且顶点(1,)在 x 轴下方,因为 3t0,只要 3t110,解得 t,符合题意;若3t11=0,y1y2= 0,即 t=也符合题意解答:解:()抛物线经过点(0, ) ,c= y1=ax2+bx+ ,
14、点(1,0) 、 (3,0)在抛物线 y1=ax2+bx+ 上,解得,y1与 x 之间的函数关系式为:y1= x2+ x+ ;(II)y1= x2+ x+ ,y1= (x1)2+3,直线 l 为 x=1,顶点 M(1,3) 由题意得,t3, 如图,记直线 l 与直线 l交于点 C(1,t) ,当点 A与点 C 不重合时, 由已知得,AM 与 BP 互相垂直平分, 四边形 ANMP 为菱形, PAl, 又点 P(x,y2) , 点 A(x,t) (x1) , PM=PA=|y2t|, 过点 P 作 PQl 于点 Q,则点 Q(1,y2) ,9QM=|y23|,PQ=AC=|x1|, 在 RtPQ
15、M 中,PM2=QM2+PQ2,即(y2t)2=(y23)2+(x1)2,整理得,y2=(x1)2+,即 y2=x3x+,当点 A 与点 C 重合时,点 B 与点 P 重合,P(1,) ,P 点坐标也满足上式,y2与 x 之间的函数关系式为 y2=x3x+(t3) ;根据题意,借助函数图象: 当抛物线 y2 开口方向向上时,62t0,即 t3 时,抛物线 y1的顶点 M(1,3) ,抛物线 y2的顶点(1,) ,3,不合题意, 当抛物线 y2开口方向向下时,62t0,即 t3 时,y1y2= (x1)2+3(x1)2+=(x1)2+,若 3t110,要使 y1y2恒成立,只要抛物线 y=(x1
16、)2+开口方向向下,且顶点(1,)在x 轴下方,3t0,只要 3t110,解得 t,符合题意;若 3t11=0,y1y2= 0,即 t=也符合题意综上,可以使 y1y2恒成立的 t 的取值范围是 t10点评: 本题考查的是二次函数综合题,涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理 及二次函数的性质,解答此类题目时要注意数形结合思想的运用5、(2013 年江西省压轴题)已知抛物线抛物线y n=-(x-an)2+an(n为正整数,且 00, a1=1 即y1=(x1)2+1 方法一:令y1=0 代入得:(x1)2+1=0,x1=0,x2=2, y1与x轴交于A0(0,0),A1(2,0) b1=
17、2, 方法二:y1=(xa1)2+a1与x轴交于点A0(0,0),(b11)2+1=0,b1=2 或 0,b1=0(舍去) b1=2 又抛物线y2=(xa2)2+a2与x轴交于点A1(2,0), (2a2)2+ a2=0, a2=1 或 4,a2 a1,a2=1(舍去) 取a2=4,抛物线y2=(x4)2+4 (2)(9,9); (n2,n2)11y=x 详解如下: 抛物线y2=(x4)2+4 令y2=0 代入得:(x4)2+4=0, x1=2,x2=6 y2与x轴交于点A1(2,0),A2(6,0) 又抛物线y3=(xa3)2+a3与x轴交于A2(6,0),(6a3)2+a3=0 a3=4
18、或 9,a3 a3,a3=4(舍去), 即a3=9,抛物线y3的顶点坐标为(9,9) 由抛物线y1的顶点坐标为(1,1),y2的顶点坐标为(4,4),y3的顶点坐标为 (9,9),依次类推抛物线yn的顶点坐标为(n2,n2) 所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标, 顶点坐标满足的函数关系式是:y= x; A0(0,0),A1(2,0), A0 A1=2 又yn=(xn2)2+n2, 令yn=0, (xn2)2+n2=0, 即x1=n2+n,x2=n2n, A n1(n2n,0),A n(n2+n,0),即 A n1 A n=( n2+n)( n2n)=2 n 存在是平行于直线y=x且过A1(2,
19、0)的直线,其表达式为y=x212【考点解剖考点解剖】 本题考查了二次函数的一般知识,求字母系数、解析式、顶点坐标;字母表 示数(符号意识),数形结合思想,规律探究,合情推理,解题方法的灵活性等等,更重 要的是一种胆识和魄力,敢不敢动手,会不会从简单,从特殊值入手去探究一般规律,画 一画图帮助思考,所有这些都是做学问所必需的品质和素养,也是新课程改革所倡导的精 神和最高境界 【解题思路解题思路】 (1)将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值;a1的值知道了y1的解析式 也就确定了,已知抛物线就可求出b1的值,又把(b1,0)代入y2,可求出a2 ,即得y2的解析式;(2)用同样的方法可求得a
20、3 、a4 、a5 由此得到规律2 nan,所以顶点坐标满足的函数关系式是:y= x;(3)由(2)可知0112232,4,6A AA AA A得12nnAAn; 最后一问我们会猜测这是与直线y=x平行且过A(2,0)的一条直线,用特殊值法取2(4)4,2yxyx 得112,0xy 和225,3xy ,得所截得的线段长度为3 2,换一组抛物线试试,求出的值也为3 2(当然用字母来运算就是解13222(),2yxnnyx 得2 12 11,1xnyn和2 22 22,4xnyn,求得所截得的线段长度也为3 2).【解答过程解答过程】 略. 【方法规律方法规律】 掌握基础(知识),灵活运用(方法)
21、,敢于动手,不畏艰难. 【关键词关键词】 二次函数 抛物线 规律探究6、(2013 年武汉压轴题)如图,点P是直线l:22 xy上的点,过点P的另一条直线m交抛物线2xy 于A、B两点(1)若直线m的解析式为23 21xy,求A、B两点的坐标; (2)若点P的坐标为(2,t),当PAAB时,请直接写出点A的坐标;试证明:对于直线l上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PAAB 成立 (3)设直线l交y轴于点C,若AOB的外心在边AB上,且BPCOCP,求点P的坐 标解析:(1)依题意,得 .,23 212xyxy解得 492311yx , 1122 yxA(23,49),B(1,1)
22、(2)A1(1,1),A2(3,9)过点 P、B 分别作过点 A 且平行于x轴的直线的垂线,垂足分别为 G、H.设 P(a,22 a),A(m,2m),PAPB,PAGBAH,AGAH,PGBH,B(am 2,2222 am),将点 B 坐标代入抛物线2xy ,得0224222aaamm,081816168228162222aaaaaaxy图 25图 1图 图 图Olm PBAxylO图 25图 2图 图 图xyCl mPAOB图 25图 3图 图 图14无论a为何值时,关于m的方程总有两个不等的实数解,即对于任意给定的 点 P,抛物线上总能找到两个满足条件的点 A(3)设直线m:0kbkxy
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