2013年中考数学试卷分类汇编 代数几何综合.doc
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1、 1代数几何综合代数几何综合1、(2013 年潍坊市压轴题)如图,抛物线cbxaxy2关于直线1x对称,与坐标轴交于CBA、三点,且4AB,点 232、D在抛物线上,直线是一次函数02kkxy的图象,点O是坐标原点.(1)求抛物线的解析式; (2)若直线平分四边形OBDC的面积,求k的值. (3)把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线与直线交于NM、两点,问在y轴正半轴上是否存在一定点P,使得不论k取何值,直线PM与PN总是关于y轴对称?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.答案:(1)因为抛物线关于直线 x=1 对称,AB=4,所以 A(-1,0),B(3,0
2、),由点 D(2,1.5)在抛物线上,所以 5 . 124 0 cbacba,所以 3a+3b=1.5,即 a+b=0.5,又12ab,即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而 c=1.5,所以23 212xxy.(2)由(1)知23 212xxy,令 x=0,得 c(0,1.5),所以 CD/AB,令kx-2=1.5,得l与 CD 的交点 F(23,27 k),令kx-2=0,得l与x轴的交点 E(0 ,2 k),根据 S四边形 OEFC=S四边形 EBDF得:OE+CF=DF+BE,即:,511),272()23(272kkkkk解得(3)由(1)知, 2) 1(21 23 2
3、122xxxy所以把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线的解析式为2 21xy2假设在 y 轴上存在一点 P(0,t),t0,使直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称,过点 M、N 分别向 y 轴作垂线 MM1、NN1,垂足分别为 M1、N1,因为MPO=NPO,所以 RtMPM1RtNPN1,所以1111 PNPM NNMM,(1)不妨设 M(xM,yM)在点 N(xN,yN)的左侧,因为 P 点在 y 轴正半轴上,则(1)式变为NMNM ytyt xx ,又 yM =k xM-2, yN=k xN-2, 所以(t+2)(xM +xN)=2k xM xN,(2)把
4、y=kx-2(k0)代入2 21xy中,整理得 x2+2kx-4=0,所以 xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入(2)得 t=2,符合条件, 故在 y 轴上存在一点 P(0,2),使直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称. 考点:本题是一道与二次函数相关的压轴题,综合考查了考查了二次函数解析式的确定, 函数图象交点及图形面积的求法,三角形的相似,函数图象的平移,一元二次方程的解法 等知识,难度较大. 点评:本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以 及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题,能够较好地考查了同学们灵活应用所学 知识,解决实际问题的能
5、力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进,既考查了知识掌握, 也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。2、(绵阳市 2013 年)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2), 交 x 轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:x=m(m1)与x轴交于D。 (1)求二次函数的解析式和B的坐标; (2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以 P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角 形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第 一象限内的点Q,使BPQ 是以P为直角顶点的等腰 直角三角形?如果存在,请求出点Q的
6、坐标;如果不 存在,请说明理由。 解:(1)二次函数 y=ax2+bx+c 图象的顶点C的坐标为(0,-2),c = -2 , - , b=0 ,b 2a = 0点 A(-1,0)、点 B 是二次函数 y=ax2-2 的图象与 x 轴 的交点,a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为 y=2x2-2; 点 B 与点 A(-1,0)关于直线 x=0 对称,点 B 的坐标为(1,0); (2)BOC=PDB=90,点 P 在直线 x=m 上, 设点 P 的坐标为(m,p), OB=1, OC=2, DB= m-1 , DP=|p| ,当BOCPDB 时,,p= 或 p = ,OB OC= DPDB
7、1 2= |p| m - 1m - 1 21 - m 2ABCDOxyl3点 P 的坐标为(m,)或(m,);m - 1 21 - m 2当BOCBDP 时, ,p=2m-2 或 p=2-2m,OB OC= DBDP1 2= m - 1|p|点 P 的坐标为(m,2m-2)或(m,2-2m);综上所述点 P 的坐标为(m,)、(m,)、(m,2m-2)或(m,2-2m);m - 1 21 - m 2(3)不存在满足条件的点 Q。 点 Q 在第一象限内的抛物线 y=2x2-2 上, 令点 Q 的坐标为(x, 2x2-2),x1, 过点 Q 作 QE直线 l , 垂足为 E,BPQ 为等腰直角三角
8、形,PB=PQ,PEQ=PDB, EPQ=DBP,PEQBDP,QE=PD,PE=BD, 当 P 的坐标为(m,)时,m - 1 2m-x = , m=0 m=1m - 1 22x2-2- = m-1, x= x=1 m - 1 21 2与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件; 当 P 的坐标为(m,)时,1 - m 2x-m= m=- m=1m - 1 22 92x2-2- = m-1, x=- x=1 1 - m 25 6与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件; 当 P 的坐标为(m,2m-2)时,m-x =2m-2 m= m=19 22x2-2-(2m-2) = m-1, x=-
9、 x=15 2与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件; 当 P 的坐标为(m,2-2m)时,x- m = 2m-2 m= m=15 182x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=17 6与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件; 综上所述,不存在满足条件的点 Q。43、 (2013昆明压轴题)如图,矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴的正半轴 上,点 C 在 y 轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在 BC 边上,且抛物线经过 O,A 两点,直线 AC 交抛物线于点 D (1)求抛物线的解析式; (2)求点 D 的坐标; (3)若点 M 在
10、抛物线上,点 N 在 x 轴上,是否存在以 A,D,M,N 为顶点的四边形是平行 四边形?若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由考点: 二次函数综合题专题: 综合题5分析: (1)由 OA 的长度确定出 A 的坐标,再利用对称性得到顶点坐标,设出抛物线的顶 点形式 y=a(x2)2+3,将 A 的坐标代入求出 a 的值,即可确定出抛物线解析式; (2)设直线 AC 解析式为 y=kx+b,将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值,确定出直线 AC 解析式,与抛物线解析式联立即可求出 D 的坐标; (3)存在,分两种情况考虑:如图所示,当四边形 ADMN 为平行四边形时,DMAN
11、,DM=AN,由对称性得到 M(3, ) ,即 DM=2,故 AN=2,根据 OA+AN 求出 ON的长,即可确定出 N 的坐标;当四边形 ADMN为平行四边形,可得三角形 ADQ 全等于三角形 NMP,MP=DQ= ,NP=AQ=3,将 y= 代入得: = x2+3x,求出 x 的值,确定出 OP 的长,由 OP+PN求出 ON的长即可确定出 N坐标 解答: 解:(1)设抛物线顶点为 E,根据题意 OA=4,OC=3,得:E(2,3) , 设抛物线解析式为 y=a(x2)2+3,将 A(4,0)坐标代入得:0=4a+3,即 a= ,则抛物线解析式为 y= (x2)2+3= x2+3x;(2)
12、设直线 AC 解析式为 y=kx+b(k0) ,将 A(4,0)与 C(0,3)代入得:,解得:,故直线 AC 解析式为 y= x+3,与抛物线解析式联立得:,解得:或,则点 D 坐标为(1, ) ;(3)存在,分两种情况考虑: 当点 M 在 x 轴上方时,如答图 1 所示:6四边形 ADMN 为平行四边形,DMAN,DM=AN,由对称性得到 M(3, ) ,即 DM=2,故 AN=2,N1(2,0) ,N2(6,0) ; 当点 M 在 x 轴下方时,如答图 2 所示:过点 D 作 DQx 轴于点 Q,过点 M 作 MPx 轴于点 P,可得ADQNMP,MP=DQ= ,NP=AQ=3,将 yM
13、= 代入抛物线解析式得: = x2+3x,解得:xM=2或 xM=2+,xN=xM3=1 或1, N3(1,0) ,N4(1,0) 综上所述,满足条件的点 N 有四个:N1(2,0) ,N2(6,0) ,N3(1,0) , N4(1,0) 点评: 此题考查了二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定抛物线解析式,一次 函数与二次函数的交点,平行四边形的性质,以及坐标与图形性质,是一道多知识 点的探究型试题4、(2013 陕西)在平面直角坐标系中,一个二次函灵敏的图象经过点 A(1,0)、 B(3,0)两点 (1)写出这个二次函数的对称轴; (2)设这个二次函数的顶点为 D,与 y 轴交于点
14、C, 它的对称轴与 x 轴交于点 E,连接 AD、DE 和 DB, 当AOC 与DEB 相似时,求这个二次函数的表达式。 提示:如果一个二次函数的图象与提示:如果一个二次函数的图象与 x x 轴的交点轴的交点(第 24 题图)y-1Ox2-11123-237为为)0 ,(),0 ,(21xBxAA A,那么它的表达式可表示,那么它的表达式可表示为:为:)(21xxxxay 考点:此题在陕西的中考中也较固定,第(考点:此题在陕西的中考中也较固定,第(1 1)问主要考查待定)问主要考查待定 系数法求二次函数的解析式,二次函数与坐标轴的交点坐标,系数法求二次函数的解析式,二次函数与坐标轴的交点坐标,
15、 抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题;包括抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题;包括 最短距离与面积的最值等(等腰三角形,平行四边形,正方形,相似三角形,相似,全等最短距离与面积的最值等(等腰三角形,平行四边形,正方形,相似三角形,相似,全等 等问题。考查问题的综合能力要求较高,基本上都是转化为求点的坐标的过程。等问题。考查问题的综合能力要求较高,基本上都是转化为求点的坐标的过程。 解析:本题中(解析:本题中(1 1)由抛物线的轴对称性可知,与)由抛物线的轴对称性可知,与 x x 轴的两个交点关于对称轴对称,易求出轴的两
16、个交点关于对称轴对称,易求出 对称轴;对称轴; (2 2)由提示中可以设出函数的解析式,将顶点)由提示中可以设出函数的解析式,将顶点 D D 与与 E E 的坐标表示出来,从而将两个三角形的坐标表示出来,从而将两个三角形 的边长表示出来,而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题;的边长表示出来,而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题; 解:(解:(1 1)对称轴为直线:)对称轴为直线:x=2x=2。(2 2)AA(1 1,0 0)、)、B B(3 3,0 0),所以设),所以设)3)(1(xxay即即aaxaxy342当当 x=0x=0 时,时,y=3ay=3a,当,当 x=2x=2
17、 时,时,y=y=a CC(0 0,3a3a),),D(2,-a)D(2,-a) OC=|3a|,OC=|3a|, AA(1 1,0 0)、)、E E(2 2,0 0),),OA=1,EB=1,DE=-a|=|a|OA=1,EB=1,DE=-a|=|a| 在在AOC 与DEB 中,AOC=DEB=90AOC=DEB=90当当EBDE OCAO时,时,AOCDEB1| |3|1a a时,解得时,解得33a或或33a当当DEEB OCAO时,时,AOCBED|1 |3|1 aa时,此方程无解,时,此方程无解,综上所得:所求二次函数的表达式为:综上所得:所求二次函数的表达式为:3334 332xxy
18、或或3334 332xxy5、(2013 成都市压轴题)在平面直角坐标系中,已知抛物线21y2xbxc (b,c 为常数)的顶点为 P,等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0,-1),C 的坐标为(4,3), 直角顶点 B 在第四象限。 (1)如图,若该抛物线过 A,B 两点,求抛物线的函数表达式; (2)平(1)中的抛物线,使顶点 P 在直线 AC 上滑动,且与 AC 交于另一点 Q. i)若点 M 在直线 AC 下方,且为平移前(1)中的抛物线上点,当以 M,P,Q 三点为8顶点的三角形是等腰三角形时,求出所有符合条件的 M 的坐标;ii)取 BC 的中点 N,连接 NP,BQ。
19、试探究PQ NPBQ是否存在最大值?若存在,求出该最大值;所不存在,请说明理由。解析:(1)A(0,-1) C(4,3) 则AC=22(40)( 1 3)4 2 ABC 为等腰直角三角形 AB=BC=4 B 点(4,-1)将 A,B 代入抛物线方程有1 116412cbc 1 2c b 21212yxx (2)当顶点 P 在直线 AC 上滑动时,平移后抛物线与 AC 另一交点 Q 就是 A 点沿直线 AC 滑 动同样的单位。下面给予证明:原抛物线2211(44) 1(2)122yxxx 顶点 P 为(2,1)设平移后顶点 P 为(a,a-1),则平移后抛物线21()12yxaa 联立 y=x-
20、1(直线 AC方程) 得 Q 点为(a-2,a-3)PQ=2 2 即实际上是线段 AP 在直线 AC 上的滑动.)点 M 在直线 AC 下方,且 M,P,Q 构成等腰直角三角形,那么先考虑使 MP,Q 构成等腰直 角三角形的 M 点的轨迹,再求其轨迹与抛物线的交点以确定 M 点.若M 为直角,则 M 点轨迹即为 AC 下方距 AC 为 MH 且与 AC 平行的直线 l9又知PQ=2 2 ,则MH=2 PM=2直线 l 即为 AC 向下平移PM=2 个单位 L:y=x-3 联立21212yxx 得 x=15 M 点为(1+5,5-2)或(1-5,-5-2)若P=或Q 为直角,即 PQ 为直角边,
21、MQPQ 且,MQ=PQ=2 2或 MPPQ,且 MP=PQ=2 2,M 点轨迹是 AC 下方距 AC 为2 2且与 AC 平行直线 L直线 L 即为 AC 向下平移MP=4 个单位L:y=x-5 联立21212yxx 得 x=4 或 x=-2M 点为(4,-1)或(-2,-7)综上所有符合条件的点 M 为(1+5,5-2)(4,-1);(1-5,-5-2),(-2,-7))知 PQ=2 2 PQ MPBQ有最大值,即 NP+BQ 有最小值如下图,取 AB 中点 M,连结 QM,NM,知 N 为中点MN 为 AC 边中位线,MNAC 且 MN=1 2AC=2 2=PQMN PQA MNPQ 为
22、平行四边形即 PN=QM QB+PN=BQ+MQ此时,作 B 点关于 AC 对称的点 B,连B Q,B MB M交 AC 于点 H,易知B Q=BQBQ+PN=B Q+MQB M(三角形两边之和大于第三边)仅当 Q 与 H 重合时,取等号10即 BQ+PN 最小值存在 且最小值为B M 连结A B知ABB为等腰直角三角形。A B=4,AM=1 2AB=2 由勾股定理得2 5B MPQ NPBQ最大值存在,且最大值为2 210 52 56、(2013 山西压轴题,26,14 分)(本题 14 分)综合与探究:如图,抛物线213442yxx与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点 A 的右侧)与
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