解析几何点差法椭圆中点问题.doc

一道椭圆客观题的变式探索过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于分析：利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为，即可求出椭圆C的离心率解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得，故答案为：点评：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况结论：在椭圆中，若直线与椭圆相交于M,N两点，点P（x0，y0）是弦MN中点，弦MN所在的直线的斜率是,则有：.变式一：已知直线与椭圆交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）则，两式作差并化简得，k1k2=故答案为：点评：本题考查了“平方差法”、设而不求，以及线段中点坐标公式、斜率计算公式的应用，属于中档题如果知道上面的结论可以直接求解即可。变式二：已知直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x2y=0上，则此椭圆的离心率为_。分析：利用两直线方程得到线段AB的中点坐标，再利用点差法求出椭圆的离心率解析：联立，得x=，直线y=x+1与x2y=0的交点为，线段AB的中点为，设y=x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆，得：,两式相减，得，a2=2b2，点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用关键是求出中点坐标，这样就转化为高考题相似的思路进行求解。变式三：椭圆ax2+by2=1与直线y=12x相交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为-_。分析：设出A，B两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和，则A，B中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值解析：设：点A（x1，y1），B（x2，y2），把y=12x代入椭圆ax2+by2=1得：（a+4b）x24bx+b1=0=（4b）24（a+4b）（b1）=4a+16b4ab，设M是线段AB的中点，M（，）直线OM的斜率为则代入满足0（a0，b0）点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，训练了斜率公式的应用，是中档题