2007年福建卷数学（文科）含答案.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建）数学（文史类）第I卷 （选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A2,3,4,B=1,2,则（CU）等于A.2B.5C.3,4D.2,3,4,5(2)等比数列an中，a4=4,则a2a6等于A.4B.8C.16D.32(3)sin15+cos75+cos15sin105等于A.0B.C.D.1（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（5）函数y=sin(2x+)的图象A.关于点（，0）对称B.关于直线x=对称C.关于点（，0）对称D.关于直线x=对称（6）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于A.45B.60 C.90D.120（7）已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是A.（-，1）B.（1，+）C.（-，0）（0，1）D.（-，0）（1，+）（8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是A.若ab0，则a=0或b=0B.若a=0,则0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a-b=ac，则b=c(9)已知m,n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.，n B.，mnC.m，mnnD.nm,nm(10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是A.x2+y2-4x-3=0B.x2+y2-4x+3=0C.x2+y2+4x-5=0D.x2+y2+4x+5=0(11)已知对任意实数x,有f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且x>0时f(x)>0,g (x) >0,则x<0时A.f(x)>0,g(x)>0B.f (x)>0,g(x)<0C.f (x)<0,g(x)<0D.f (x)<0,g(x)<0(12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为A.2000B.4096C.5904D.8320第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。（13）（x2+）6的展开式中常数项是 .（用数字作答）（14）已知实数x、y满足则z=2x-y的取值范围是 .（15）已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意aA,都有a-a;(2)对称性：对于a,bA，若a-b,则有b-a;(3)传递性：对于a,b,cA,若a-b,b-c,则有a-c. 则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小;(II)若AB边的长为，求BC边的长（18）（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率;(II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;(III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.（19）（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.(I)求证：AB1平面A1BD;(II)求二面角A-A1D-B的大小.(20)（本小题满分12分）设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR,t>0).(I)求f (x)的最小值h(t);(II)若h(t)<-2t+m对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.（21）（本小题满分12分）数列an的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (nN*).(I)求数列an的通项an;(II)求数列nan的前n项和T.(22)（本小题满分14分）如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且（I）求动点P的轨迹C的方程;（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.（1）已知的值;(2)求|的最小值.数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分.（1）C（2）C(3)D（4）A（5）A（6）B（7）D(8)B（9）D（10）B（11）B（12）C二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.（13）15 （14）-5,7(15)(16)答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.解：（I）C-(A+B),tanC=-tan(A+B)= 又0<C<,C=(II)由且A（0，），得sinA=BCAB.（18）本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.满分12分.解:记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1.依题意得P（A1）0.7，P（B1）0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立.(I)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，P（A3）P（）P=0.30.30.7=0.063.答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，解法一：CA1彼此互斥，P（C） 0.70.4+0.30.6+0.70.6=0.88.解法二：P（C）1-1-0.30.4=0.88.答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）,“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2),事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件.所求的概率为0.70.30.42+0.720.60.4=0.0672+0.2352=0.3024.答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.(19)本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（I）取BC中点O，连结AO.ABC为正三角形，AOBC.正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1,AO平面BCC1B1,连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点，B1OBD,AB1BD.在正方形ABB1A1中，AB1A1B，AB1平面A1BD.(II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GFA1D于F，连结AF，由（I）得AB1平面A1BD，AFG为二面A-A1B-B的平面角.在AA1D中，由等面积法可求得AF，又AG=,sinAFG=,所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.解法二：（I）取BC中点O，连结AO.ABC为正三角形，AOBC.正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.取B1C1中点O1，以a为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),AB1平面A1BD.(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).n, 令z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.由（I）知AB1A1BD.为平面A1BD的法向量.cos<n1>=-.二面角A-A1D-B的大小为arccos.(20)本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.满分12分.解：（I） （），当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：T(0,1)1(1,2)g(t)+0-g(t)递增极大值1-m递减g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-mh(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m<0所以m的取值范围为m>1(21)本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.解：（I）an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn,=3.又S1a1=1,数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(nN*).当n2时，an-2Sn-1=23n-2(n2),an=(II)Tn=a1+2a2+3a3+nan.当n=1时，T1=1;当n2时，Tn=1+430+631+2n3 n-2,3Tn=3+431+632+2n3n-1,-得：-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3 n-1=2+2=-1+(1-2n)3n-1Tn=+(n-)3n-1 (n2).又Tn=a1=1也满足上式，Tn=+(n-)3n-1(nN*)(22)本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简得C：y2=4x.(II)（1）设直线AB的方程为：x=my+1(m0).设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.联立方程组,消去x得：y2-4my-4=0, =(-4m)2+12>0,由得：，整理得：,=-2-=0.解法二：（I）由，=0,所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.(II)(1)由已知则：过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,则有：由得：（II）（2）解：由解法一：（）2|y1-yM|y2-yM| =(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2| =(1+m2)|-4+4m+| = =4(2+m2+)4(2+2)=16.当且仅当，即m=1时等号成立，所以最小值为16.绝密启用前2007年普通高等艺术招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高。 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 用最小工乘法求线性回归方程系数公式.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1.已知函数的定义域为，的定义域为，则A.B.C.D.2.若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数）则A.2B.C.D.-23.若函数A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数4.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是5.已知数|an|的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5<an <8,则k=A.9 B.8 C.7 D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i<6 B. i<7 C. i<8 D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为A.15 B.16 C.17 D.188.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,bS，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,bS,有a*(b*a)=b,则对任意的a,bS,下列等式中不恒成立的是 A.（a*b）*a=a B.a*(b*a)*(a*b)=aC.b*(b*b)=b D.(a*b)* b*(a*b)=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10.若同量、满足的夹角为120，则 .11.在平面直角坐标系中，有一定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有对异面直线，则 图4 ; .（答案用数字或的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则题的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数 ;若，则x的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点、，则 ，线段的长为 . 图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知顶点的直角坐标分别为.（1）若，求sin的值;（2）若是钝角，求的取值范围.17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5+43+54+64.566.5）18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C的方程.（2）试探安C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰ABC的底边AB=6,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EFAB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE.记BEx，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值20.（本小题满分14分）已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间-1,1上有零点，求a的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x2+x-1,、是方程f(x)=0的两个根（>）.f(x)是f(x)的导数.设a11，an+1=an-(n=1,2,).(1)求、的值；(2)证明：任意的正整数n，都有an>a;(3)记bn-(n=1,2,),求数列bn的前n项和Sn.