初中数学 勾股定理经典例题.doc

经典例题透析经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答案】如图，等边ABC，作ADBC于D 则：BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ABACBC2（等边三角形各边都相等） BD1 在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413 AD SABCBCAD 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得： 由（1）得：x+y7， （x+y）249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2)，得：xy12 直角三角形的面积是xy126（cm2） 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2（n+3）2 化简得：n24 n2，但当n2时，n+11<0，n2 总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断， 对数据较大的可以用c2a2+b2的变形：b2c2a2（ca）（c+a）来判断。 例如：对于选择D， 82（40+39）（4039）， 以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】：A 【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 解：连结AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理） S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作ABMN，垂足为B。 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A到直线MN的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100(m)， 由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m), CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 解析：他们原来走的路为3+47(m) 设走“捷径”的路长为xm，则 故少走的路长为752(m) 又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。 【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。 （2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。 （3）过A作AKBC于点K（如图所示），则在RtACK中， ，故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD 解：连接AD 因为BAC=90，AB=AC 又因为AD为ABC的中线， 所以AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90 所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA） 所以AE=FC=5 同理：AF=BE=12 在RtAEF中，根据勾股定理得： ，所以EF=13。 总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。 思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。 解：在RtABC中，A=60，B=90-A=30， 则，由勾股定理，得。 因为，所以， ，。 总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 解：因为ADE与AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以B=C=90， 在RtABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以。 所以。 设，则。 在RtECF中，即，解得。 即EF的长为5cm。5