初中数学 勾股定理经典例题.doc
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1、 经典例题透析经典例题精析类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。 思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。 解析:设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得: (3x)2+(4x)2202 化简得x216; 直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。 【答案】如图,等边ABC,作ADBC
2、于D 则:BDBC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) ABACBC2(等边三角形各边都相等) BD1 在直角三角形ABD中,AB2AD2+BD2,即:AD2AB2BD2413 AD SABCBCAD 注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a,则其面积为a。 【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得: 由(1)得:x+y7, (x+y)249,x2+2xy+y249 (3) (3)(2),得:xy12 直角三角形的面积是xy126(cm2) 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2
3、,n+3,求n。 思路点拨:首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解:此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得: (n+1)2+(n+2)2(n+3)2 化简得:n24 n2,但当n2时,n+110,n2 总结升华:注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。 【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、8,39,40 解析:此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断, 对数据较大的可以用c2a2+b2的变形:b
4、2c2a2(ca)(c+a)来判断。 例如:对于选择D, 82(40+39)(4039), 以8,39,40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】:A 【变式5】四边形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 解:连结AC B=90,AB=3,BC=4 AC2=AB2+BC2=25(勾股定理) AC=5 AC2+CD2=169,AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90(勾股定理逆定理) S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36类型二:勾股定理的应用 2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇
5、,且QPN30,点A处有一所中学,AP160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 思路点拨:(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。 解析:作ABMN,垂足为B。 在 R
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