2011年考研数学三真命题及其规范标准答案.doc

.2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 已知当x0时，fx=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=-4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=-4【答案】C。【解析】【方法一】limx03sinx-sin3xcxk=limx03cosx-3cos3xckxk-1 (洛必达法则)=3limx0-sinx+3sin3xck(k-1)xk-2 (洛必达法则)=1c(limx0-sinx2x+limx03sin3x2x) (k=3)=1c-12+92=1 由此得c=4。【方法二】由泰勒公式知sinx=x-x33!+o(x3)sin3x=3x-3x33!+ o(x3)则fx=3sinx-sin3x=3x-x32-3x+3x33!+ o(x3) =4x3+ ox34x3 (x0)故k=3,c=4。【方法三】limx03sinx-sin3xcxk=limx03sinx-3x+3x-sin3xcxk=1climx03sinx-xxk+limx03x-sin3xxk=1climx03(-16x3)xk+limx016(3x)3xk =1c-12+92 (k=3)=82c=1 故c=4综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一元函数微分学洛必达(LHospital)法则(2) 已知f(x)在x=0处可导，且f0=0,则limx0x2fx-2f(x3)x3=(A)-2f(0) (B)-f(0)(C) f(0) (D)0【答案】B。【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0x2fx-x2f0-2fx3+2f(0)x3=limx0fx-f0x-2fx3-f(0)x3=f0-2f0=-f(0)【方法二】拆项用导数定义limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0fxx-2limx0fx3x3由于f0=0，由导数定义知limx0fxx=f0, limx0fx3x3=f(0)所以limx0x2fx-2f(x3)x3=f0-2f0=-f(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数fx=x,则limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0x3-2x3x3=-1而对于fx=x.f0=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，则fx=f0+f0x+ox=f0x+o(x)fx3=f0x3+o(x3)limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0x2f0x+o(x)-2f0x3+o(x3)x3 =f0-2f0=-f(0)综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3) 设un是数列，则下列命题正确的是(A) 若n=1un收敛，则n=1(u2n-1+u2n)收敛。(B) 若n=1(u2n-1+u2n)收敛，则n=1un收敛。(C) 若n=1un收敛，则n=1(u2n-1-u2n)收敛。(D) 若n=1(u2n-1-u2n)收敛，则n=1un收敛。【答案】A。【解析】若n=1un收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学无穷级数级数的基本性质与收敛的必要条件(4) 设I=04lnsinxdx,J=04lncotxdx,K=04lncosxdx,则I,J,K的大小关系为(A) I<J<K (B) I<K<J(C) J<I<K (D)K<J<I【答案】B。【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当0<x<4时，0<sinx<cosx<1<cotx又因为lnx为(0,+)上的单调增函数，所以lnsinx<lncosx<lncotx , 0<x<4故04lnsinxdx<04lncosxdx<04lncotxdx即I<K<J综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质(5) 设A为3阶矩阵，将A第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行和第3行得单位矩阵，记P1=100110001, P2=100001010,则A=(A) P1P2 (B)P1-1P2(C) P2P1 (D)P2P1-1【答案】D。【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵按题意A100110001=B，100001010 B=E从而AP1=B,P2B=E，从而P2(AP1)=E所以A=P2-1EP1-1=P2P1-1【考点】线性代数矩阵矩阵的初等变换，初等矩阵(6) 设A为43矩阵，1,2,3是非齐次线性方程组Ax=的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax=的通解为(A)2+32+k1(2-1) (B) 2-32+k1(2-1)(C) 2+32+k12-1+k2(3-1)(D) 2-32+k12-1+k2(3-1)【答案】C。【解析】因为1,2,3是非齐次线性方程组Ax=的3个线性无关的解，那么2-1, 3-1是Ax=0的2个线性无关的解。从而 n-r(A)2 即3-r(A)2r(A)1显然r(A)1，因此rA=1由于n-rA=3-1=2知(A),(B)均不正确。又A2+32=12A2+12A3=，所以2+32是方程组Ax=的解综上所述，本题正确答案是C。【考点】线性代数线性方程组非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解(7) 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其对应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是(A) f1(x) f2(x) (B)2f2(x) F1(x)(C) f1(x)F2(x) (D) f1xF2x+f2(x) F1(x)【答案】D。【解析】判断函数f(x)是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：(1) f(x)满足是概率密度的充要条件 f(x)0和-+f(x)dx=1(2)fx=F(x)或者-xf(x)dx=F(x),而F(x)为分布函数由于F1(x)与F2(x)为两个分布函数，显然F1(x) F2(x)也是分布函数，而F1xF2x=f1xF2x+f2(x) F1(x)综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计多随机变量及其分布随机变量分布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度(8) 设总体X的服从参数为(>0)的泊松分布，X1,X2,Xn(n2)为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量T1=1ni=1nXi和T2=1n-1i=1n-1Xi+1nXn,有(A)ET1>ET2,DT1>DT2 (B)ET1>ET2,DT1<DT2(C)ET1<ET2,DT1>DT2 (D) ET1<ET2,DT1<DT2【答案】D。【解析】XP(),所以，EX=,DX=, X1,X2,Xn相互独立均服从P()可求得ET1=EX=, DT1=DX=n而ET2= +n，DT2=n-1+n2所以ET1<ET2,DT1<DT2综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计数理统计的概念常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(9) 设fx=limt0x(1+3t)xt,则fx= 。【答案】e3x(1+3x)。【解析】fx=limt0x1+3t13t3x=xe3xfx=e3x+3xe3x=e3x(1+3x)综上所述，本题正确答案是e3x1+3x。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的四则运算(10) 设函数z=(1+xy)xy,则dz(1,1)= 。【答案】2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy。【解析】由z=(1+xy)xy，可得zx=exyln(1+xy)1yln1+xy+xy2+11+xy=(1+xy)xy1yln1+xy+xy1x+yzy=exyln(1+xy)-xy2ln1+xy-xy11+xyxy2 =-1+xyxyxy2ln1+xy+xx+y所以dz(1,1)=zx(1,1)dx+zy(1,1)dy=2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy综上所述，本题正确答案是2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy。【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数偏导数的概念与计算(11) 曲线tan(x+y+4)=ey在点(0,0)处的切线方程为 。【答案】y=-2x。【解析】方程tan(x+y+4)=ey 两端对x求导得sec2x+y+41+y=eyy将x=0,y=0代入上式，y=-2故所求切线方程为y=-2x【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线(12) 曲线y=x2-1,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为 。【答案】43【解析】由旋转体公式得V=12y2dx=12x2-1dx=(13x3-x)12=43综上所述，本题正确答案是43。【考点】高等数学一元函数积分学定积分应用(13) 设二次型fx1,x2,x3=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为 。【答案】3y12【解析】A的各行元素之和为3，即a11+a12+a13=3a21+a22+a23=3a31+a32+a33=3a11a12a13a21a22a23a31a32a33111=333A111=3111所以=3是A的一个特征值。再由二次型xTAx的秩为1rA=1 =0是A的2重特征值。因此正交变换下标准形为3y12综上所述，本题正确答案是3y12。【考点】线性代数二次型二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形(14) 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(,2;,2;0)，则EXY2= 。【答案】2+3。【解析】(X,Y)服从正态分布N(,2;,2;0)所以X与Y相互独立，且EX=EY=, DX=DY=2EXY2=EXEY2= DX+EY2=(2+2)= 2+3综上所述，本题正确答案是2+3。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15) 求极限limx01+2sinx-x-1xln(1+x).【解析】【方法一】limx01+2sinx-x-1xln(1+x)=limx01+2sinx-x-1x2 (等价无穷小代换) =limx0cosx1+2sinx-12x (洛必达法则) =12limx0cosx-1+2sinxx (极限为非零常数的因子极限先求) =12limx0-sinx-cosx1+2sinx1 (洛必达法则) =-12 【方法二】limx01+2sinx-x-1xln(1+x)=limx01+2sinx-x-1x2 (等价无穷小代换) =limx01+2sinx-(x+1)22x2 (分子有理化) =12limx02sinx-x2-2x2x2=-12+limx0sinx-xx2 =-12【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算(16) 已知函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，f1,1=2是f(u,v)的极值，z=f(x+y,f(x,y).求2zxyx=1y=1.【解析】由链导法则，zx=zu+zv+vx，其中u=x+y,v=f(x,y).所以2zxy=zuu+zuvvy+zuu+zuvvyvx+zvvxy由于f1,1=2是f(u,v)的极值，则vx1,1=fx1,1=0, vy1,1=fy1,1=0,令x=y=1，得2zxyx=1y=1=zuu2,2+zv2,2vxy1,1 =fuu2,2+fv2,2fuv1,1【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数偏导数的概念与计算，多元函数的极值(17) 求不定积分arcsinx+lnxxdx.【解析】【方法一】令x=t，则x=t2,dx=2tdtarcsinx+lnxxdx=2(arcsint+2lnt)dt =2tarcsint+2lnt-2(t1-t2+2)dt =2tarcsint+2lnt+d(1-t2)1-t2-4t =2tarcsint+2lnt+21-t2-4t+C =2xarcsinx+lnx+21-x-4x+C【方法二】arcsinx+lnxxdx=2(arcsinx+lnx)dx =2xarcsinx+lnx-2(121-x+1x)dx =2xarcsinx+lnx+21-x-4x+C【考点】高等数学一元函数积分学不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18) 证明4arctanx-x+43-3=0恰有两个实根。【解析】令fx=4arctanx-x+43-3，本题也就是要证明f(x)恰有两个零点fx=41+x2-1=3-x21+x2令fx=0得x=3，则当x(-,-3)时，fx<0,f(x)单调减；当x(-3,3)时，fx>0,f(x)单调增；当x(3,+)时，fx<0,f(x)单调减；又limx-f(x)=limx-4arctanx-x+43-3=+f-3=4arctan(-3)+3+43-3=0 f3=4arctan3-3+43-3=83-23>0limx+f(x)=limx+4arctanx-x+43-3=- 则x=-3为f(x)的一个零点，在(3,+)内f(x)还有一个零点故4arctanx-x+43-3=0恰有两个实根。【考点】高等数学一元函数微分学基本初等函数的导数，函数单调性的判别(19) 设函数f(x)在0,1上有连续导数，f0=1且Dt fx+ydxdy=Dt f(t)dxdy,其中Dt=(x,y)|0yt-x,0xt(0<t1).求f(x)的表达式。【解析】化已知等式左边的二重积分为二次积分计算Dt fx+ydxdy=0t(0t-xf(x+y)dy)dx= =0t(0t-xf(x+y)d(x+y)dx =0tf(x+y)y=0t-xdx=0tft-f(x)dx =tft-0tf(x)dx等式右边的二重积分化为二次积分Dt f(t)dxdy=f(t)Dt 1dxdy可知Dt 1dxdy为区域Dt的面积，区域易得为三角形，面积为12t2所以Dt f(t)dxdy=f(t) 12t2所以tft-0tfxdx=12t2f(t)两边对t求导得 2-tft=2f(t)解得 ft=C(2-t)2，由f0=1得 C=4所以ft=4(2-t)2，(0x1)【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算，二重积分的几何意义高等数学常微分方程和差分方程齐次微分方程，一阶线性微分方程(20) 设向量组1=(1,0,1)T，2=(0,1,1)T，3=(1,3,5)T不能由向量组1=(1,1,1)T，2=(1,2,3)T，3=(3,4,a)T线性表示(I) 求a的值；(II) 将1,2,3用1,2,3线性表示。【解析】(I) 因为1,2,3=101013115=10，所以1,2,3线性无关。那么1,2,3不能由1,2,3线性表示1,2,3线性相关，即1,2,3=11312413a=11301102a-3=a-5=0所以a=5(II) 如果方程组x11+x22+x33=j (j=1,2,3)都有解，即1,2,3可由1,2,3线性表示，因为现在的三个方程组系数矩阵是相同的，故可拼在一起加减消元，然后再独立的求解对(1,2,31,2,3)做初等行变换，有101013115 113124135101013014 113124022101013001 113124-102100010001 2154210-10-2所以1=21+42-3，2=1+223=51+102-23【考点】线性代数向量向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关(21) 设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A1100-11=-110011(I) 求A的所有特征值与特征向量；(II) 求矩阵A【解析】(I) 因rA=2知A=0，所以=0是A的特征值又A10-1=-101=-10-1，A101=101所以按定义，=1是A的特征值，1=(1,0,1)T是A属于=1的特征向量；=-1是A的特征值，2=(1,0,-1)T是A属于=-1的特征向量。3=(x1,x2,x3)T是A属于=0的特征向量，作为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，因此1T3=x1+x3=02T3=x1-x3=0 解出3=(0,1,0)T故矩阵A的特征值为1,-1,0；特征向量依次为k1(1,0,1)T, k2(1,0,-1)T, k3(0,1,0)T,其中k1,k2,k3均是不为0的任意常数。(II) 由A1,2,3=(1,-2,0)，有A=1,-2,01,2,3-1=1-100001101100011-10-1=001000100【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵(22) 设随机变量X,Y的概率分布分别为X01P1323Y-101P131313且PX2=Y2=1(I) 求二维随机变量(X,Y)的概率分布；(II) 求Z=XY的概率分布；(III) 求X,Y的相关系数XY。【解析】(I) 由PX2=Y2=1得PX2Y2=0而PX2Y2=PX=0,Y=-1+PX=0,Y=1+PX=1,Y=0即PX=0,Y=-1=PX=0,Y=1=PX=1,Y=0=0(X,Y)的概率分布的边缘分布为X Y-101Pi013123Pj131313已知PX=0,Y=-1=PX=0,Y=1=PX=1,Y=0=0最后可得X Y-101Pi001301311301323Pj131313(II) Z=XY的可能取值-1,0,1,由(X,Y)的概率分布可得Z的概率分布Z-101P131313(III) 由X,Y及Z的概率分布得EX=23, DX=29, EY=0， DY=23 ,EXY=EZ=0，CovX,Y=EXY-EXEY=0, 所以XY=0。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质(23) 设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由x-y=0,x+y=2与y=0所围成的三角形区域(I) 求X的概率密度fX(x)；(II) 求条件概率密度fX|Y(x|y)。【解析】(I) fXx=-+f(x,y)dy当x<0或x>2时，fXx=0；当0x1时，fXx=0xdy=x；当1<x2时，fXx=02-xdy=2-x所以fXx=x, 0x12-x,1<x20, 其他(II) fYy=-+f(x,y)dx=y2-ydx,0y10,其他=21-y,0y10,其他fYy>0等价于0y1在Y=y(0y1)时，条件概率密度fX|Yxy=f(x,y)fYy=12(1-y),0yx2-y,0,其他【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布多维随机变量及其分布函数，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常见二维随机变量的分布