2011年考研数学三真命题及其规范标准答案.doc
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1、.2011年考研数学三真题一、选择题(18小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)(1) 已知当x0时,fx=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小,则(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=-4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=-4【答案】C。【解析】【方法一】limx03sinx-sin3xcxk=limx03cosx-3cos3xckxk-1 (洛必达法则)=3limx0-sinx+3sin3xck(k-1)xk-2 (洛必达法则)=1c(limx0-sinx2x+limx03sin3x2x) (k=3)=1c-12+92=1
2、由此得c=4。【方法二】由泰勒公式知sinx=x-x33!+o(x3)sin3x=3x-3x33!+ o(x3)则fx=3sinx-sin3x=3x-x32-3x+3x33!+ o(x3) =4x3+ ox34x3 (x0)故k=3,c=4。【方法三】limx03sinx-sin3xcxk=limx03sinx-3x+3x-sin3xcxk=1climx03sinx-xxk+limx03x-sin3xxk=1climx03(-16x3)xk+limx016(3x)3xk =1c-12+92 (k=3)=82c=1 故c=4综上所述,本题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性
3、质及无穷小量的比较,极限的四则运算高等数学一元函数微分学洛必达(LHospital)法则(2) 已知f(x)在x=0处可导,且f0=0,则limx0x2fx-2f(x3)x3=(A)-2f(0) (B)-f(0)(C) f(0) (D)0【答案】B。【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0x2fx-x2f0-2fx3+2f(0)x3=limx0fx-f0x-2fx3-f(0)x3=f0-2f0=-f(0)【方法二】拆项用导数定义limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0fxx-2limx0fx3x3由于f0=0,由导数定义知limx0f
4、xx=f0, limx0fx3x3=f(0)所以limx0x2fx-2f(x3)x3=f0-2f0=-f(0)【方法三】排除法:选择符合条件的具体函数fx=x,则limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0x3-2x3x3=-1而对于fx=x.f0=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的,故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导,则fx=f0+f0x+ox=f0x+o(x)fx3=f0x3+o(x3)limx0x2fx-2f(x3)x3=limx0x2f0x+o(x)-2f0x3+o(x3)x3 =f0-2f0=-f(0)综上所述,本题正确答案是B。【考点】高等数学一元函数微分学
5、导数和微分的概念,导数和微分的四则运算(3) 设un是数列,则下列命题正确的是(A) 若n=1un收敛,则n=1(u2n-1+u2n)收敛。(B) 若n=1(u2n-1+u2n)收敛,则n=1un收敛。(C) 若n=1un收敛,则n=1(u2n-1-u2n)收敛。(D) 若n=1(u2n-1-u2n)收敛,则n=1un收敛。【答案】A。【解析】若n=1un收敛,则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述,本题正确答案是A。【考点】高等数学无穷级数级数的基本性质与收敛的必要条件(4) 设I=04lnsinxdx,J=04lncotxdx,K=04lncosxdx,则I,J,K的大小关系为(A) I
6、JK (B) IKJ(C) JIK (D)KJI【答案】B。【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小,由于当0x4时,0sinxcosx1cotx又因为lnx为(0,+)上的单调增函数,所以lnsinxlncosxlncotx , 0x4故04lnsinxdx04lncosxdx04lncotxdx即IK0)的泊松分布,X1,X2,Xn(n2)为来自该总体的简单随机样本,则对于统计量T1=1ni=1nXi和T2=1n-1i=1n-1Xi+1nXn,有(A)ET1ET2,DT1DT2 (B)ET1ET2,DT1DT2(C)ET1DT2 (D) ET1ET2,DT1DT2
7、【答案】D。【解析】XP(),所以,EX=,DX=, X1,X2,Xn相互独立均服从P()可求得ET1=EX=, DT1=DX=n而ET2= +n,DT2=n-1+n2所以ET1ET2,DT1DT2综上所述,本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计数理统计的概念常见随机变量的分布,总体个体,简单随机样本二、填空题(914小题,每小题4分,共24分。)(9) 设fx=limt0x(1+3t)xt,则fx= 。【答案】e3x(1+3x)。【解析】fx=limt0x1+3t13t3x=xe3xfx=e3x+3xe3x=e3x(1+3x)综上所述,本题正确答案是e3x1+3x。【考点】高等数学一元函
8、数微分学导数和微分的四则运算(10) 设函数z=(1+xy)xy,则dz(1,1)= 。【答案】2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy。【解析】由z=(1+xy)xy,可得zx=exyln(1+xy)1yln1+xy+xy2+11+xy=(1+xy)xy1yln1+xy+xy1x+yzy=exyln(1+xy)-xy2ln1+xy-xy11+xyxy2 =-1+xyxyxy2ln1+xy+xx+y所以dz(1,1)=zx(1,1)dx+zy(1,1)dy=2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy综上所述,本题正确答案是2ln2+1dx+(-2ln2-1)dy。【考点】高等数学多元函数微积分学
9、多元函数偏导数的概念与计算(11) 曲线tan(x+y+4)=ey在点(0,0)处的切线方程为 。【答案】y=-2x。【解析】方程tan(x+y+4)=ey 两端对x求导得sec2x+y+41+y=eyy将x=0,y=0代入上式,y=-2故所求切线方程为y=-2x【考点】高等数学一元函数微分学复合函数、反函数和隐函数的微分法,平面曲线的切线与法线(12) 曲线y=x2-1,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为 。【答案】43【解析】由旋转体公式得V=12y2dx=12x2-1dx=(13x3-x)12=43综上所述,本题正确答案是43。【考点】高等数学一元函数积分学定
10、积分应用(13) 设二次型fx1,x2,x3=xTAx的秩为1,A的各行元素之和为3,则f在正交变换x=Qy下的标准形为 。【答案】3y12【解析】A的各行元素之和为3,即a11+a12+a13=3a21+a22+a23=3a31+a32+a33=3a11a12a13a21a22a23a31a32a33111=333A111=3111所以=3是A的一个特征值。再由二次型xTAx的秩为1rA=1 =0是A的2重特征值。因此正交变换下标准形为3y12综上所述,本题正确答案是3y12。【考点】线性代数二次型二次型的秩,用正交变换和配方法化二次型为标准形(14) 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N
11、(,2;,2;0),则EXY2= 。【答案】2+3。【解析】(X,Y)服从正态分布N(,2;,2;0)所以X与Y相互独立,且EX=EY=, DX=DY=2EXY2=EXEY2= DX+EY2=(2+2)= 2+3综上所述,本题正确答案是2+3。【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质三、解答题:1523小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15) 求极限limx01+2sinx-x-1xln(1+x).【解析】【方法一】limx01+2sinx-x-1xln(1+x)=limx01+2sinx-x-1x2 (等价无穷小代换)
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