2022年高等代数考研真题 .pdf

08 07 化二次型123122313,222fx xxx xx xx x为标准型 ,并给出所用的非退化线性替换. 一， 求三阶矩阵1261725027的 Jordan标准型 . 二， 设,nR且长度为 2,矩阵TTnAE求A的特征多项式 . 三， 设A是n阶反对称矩阵 ,nE为单位矩阵 .证明：aEA可逆设 ,1 Q= E+AbEA设求证Q是正交阵 . 四， 设A是 3 阶对称矩阵 ,且A的各行元素之和都是3,向量0,1,1,1,2,1TT是0AX的解 ,求矩阵A的特征值 ,特精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页征向量 ,求正交阵Q和矩阵B使得TQ BQA五， 设P是 一 个 数 域 ,P x是P x中 次 数 大 于0的 多 项 式 , 证 明 ： 如 果 对 于 任 意 的fx,g x, 若 有|Pxfxgx|p xfxp xg x或者,那么P x是不可约多项式 . 六， 设欧氏空间中有12,0.n， ，112,nWL212,nWL证明：如果,0i,那么21dimdimWW设是n维欧氏空间中的一个对称变换,则kerVV. 苏州大学 2007 年硕士研究生入学考试高等代数试题解答1. 解所给二次型的矩阵为011101110A其特征多项式为2( )| (1) (2)fEA. 故特征值为121,2. 11, 解对应的特征方程()0EA X得1(1 10)TX,2(101)TX. 22, 解对应的特征方程( 2)0EA X得3( 11 1)TX. 以123,XXX作为列向量作成矩阵C. 则C可逆 , 且TC AC为对角阵 . 这时做非退化线性替换1122133123yxxyxxyxxx得222123123(,)2fy yyyyy. 2. 解1261725027EA, 将 其 对 角 化 为210001000(1) (1). 故A的 若 当 标 准 形 为100110001. 3. 解A的 特 征 多 项 式 为( )|nfEA(1)TTnE(1)()TTnE22(1)(1)()TnTE22(1)(1)TTnTTE21(1)1TTnTT222(1)(1025() )nT. 4. 证A是反对称实矩阵, 故其特征值为零或纯虚数. 其实 , 假定是A的特征值 ,是相应的特征向量. 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页()()()TTTTTTTTAAAAA, 又TTA, 故,这说明是零或纯虚数. 由此得| 0EA, 因而EA可逆 . 由知EA可逆 ,这说明Q有意义 . 而1() ()TQEAEA, 因此11() ()()()TQ QEAEA EA EA11() ()()()EAEA EA EAE. 故Q是正交矩阵 . 5. 解依题意有011003121003111003A因而100301 111 100312111 100311 111 1A其特征多项式为2( ) |(3)fEA. 故特征值为120,3. 10, 解特征方程0AX得11,0,1TX,21,1,0TX. 特征向量为1122l Xl X. 23, 解特征方程(3)0EA X得31,1,1TX. 特征向量为33l X. 以上123, ,l llR. 把向量12,XX正交并单位化得111(,0,)22,2333,2 2222. 把向量3X单位化得3111,333.以123,作为列向量作成矩阵P,则P为正交矩阵且000000003TP APB.110223332 222 2111333TQP , 则Q满足TQ BQA.6. 证假 设( )p x可 约 , 不 妨 设12( )( )( )p xp x px, 其 中120( ),( )( ( )p xpxp x. 这 时 显 然 有12( )|( )( )p xp x px, 但不可能有1( ) |( )p xp x或者2( ) |( )p xpx. 这与题设矛盾, 故假设错误 . 因而( )p x不可约 . 7. 证依题显然有12WW, 假设21dimdimWW, 则12WW. 于是1W , 这说明可被12,n线性表出. 记1122nnlll给上式两边同时计算,得,0, 于是0, 与题设矛盾, 故假设错误 , 原命题21dimdimWW成立 . 8. 证对于任意的ker及任意的V, 有,0，于是有kerV, 因而ker0V. 又dim kerdimVn, 于是dim(ker)Vn,故kerVV. 06 一， 用正交线性替换将实三元二次型222123112132233(,)44282f x x xxx xx xxx xx变成标准形，并写出所用的非退化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页线性变换。二、设212254115A。A 是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C，使得1CAC为对角阵，且写出此对角阵。三、设1110( )nnnnf xa xaxa xa是一个整系数多项式，证明：如果0naa是一个奇数，则( )f x不能被 x-1 整除，也不能被 x+1 整除。四、设 A 是一个nn矩阵，证明：如果A 的秩等于2A的秩，则齐次线性方程组AX=0 与齐次线性方程组2AX=0 同解。五、设 V 是有理数域Q 上的线性空间， id 是 V 的恒等变换。又设是 V 的一个线性变换，证明：如果325id，则没有特征值。六、设A 是nn实对称矩阵， b 是 A 的最大的特征值。证明：对任意n 维非零的实列向量，都有(,)(,)Ab。七、设 V=5 F x是 F 上全体次数 n）,且 AC=CB,C 的秩为 r. 证明 : A 和 B 至少有 r 个相同的特征值。注意：7 题中 V(k) 在原题中 k 为 V 的下标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页11111510112101021350101021252353120110111102122210210110112101521010213501031010102XXX一(）求满足下列条件的解；1101021102411511222151212i12二（ ）设 P 是一个数域，p（x) 是Px 中次数大于 0的多项式，证明：如果对于任何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出 p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么 p(x) 是不可约多项式。证明：假设 p(x) 是可约多项式，则存在p(x),p(x)使得 p(x)=p (x)p (x),且 （p (x)1证明：21,nAAA是的一组基并且求线性变换在此基下的矩阵，以及的核的维数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页证明：1nnAA0,=0.令10110nnllAlA （）用1nA左乘（）式两边，得到10()0nlA由于1nA0，00l，带入（）得1110nnlAlA （）再用2nA左乘（）式两端，可得10l这样继续下去，可得到0110nlll21,nAAA线性无关21,)nAAAA(21,)nAAA(0000100001000010在此基下的矩阵为0000100001000010，可见 ,()1R An,dimker(1)1Ann即 A 的核的维数为1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页