2022年高等代数考研真题 .pdf
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1、08 07 化二次型123122313,222fx xxx xx xx x为标准型 ,并给出所用的非退化线性替换. 一, 求三阶矩阵1261725027的 Jordan标准型 . 二, 设,nR且长度为 2,矩阵TTnAE求A的特征多项式 . 三, 设A是n阶反对称矩阵 ,nE为单位矩阵 .证明:aEA可逆设 ,1 Q= E+AbEA设求证Q是正交阵 . 四, 设A是 3 阶对称矩阵 ,且A的各行元素之和都是3,向量0,1,1,1,2,1TT是0AX的解 ,求矩阵A的特征值 ,特精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页征
2、向量 ,求正交阵Q和矩阵B使得TQ BQA五, 设P是 一 个 数 域 ,P x是P x中 次 数 大 于0的 多 项 式 , 证 明 : 如 果 对 于 任 意 的fx,g x, 若 有|Pxfxgx|p xfxp xg x或者,那么P x是不可约多项式 . 六, 设欧氏空间中有12,0.n, ,112,nWL212,nWL证明:如果,0i,那么21dimdimWW设是n维欧氏空间中的一个对称变换,则kerVV. 苏州大学 2007 年硕士研究生入学考试高等代数试题解答1. 解所给二次型的矩阵为011101110A其特征多项式为2( )| (1) (2)fEA. 故特征值为121,2. 11
3、, 解对应的特征方程()0EA X得1(1 10)TX,2(101)TX. 22, 解对应的特征方程( 2)0EA X得3( 11 1)TX. 以123,XXX作为列向量作成矩阵C. 则C可逆 , 且TC AC为对角阵 . 这时做非退化线性替换1122133123yxxyxxyxxx得222123123(,)2fy yyyyy. 2. 解1261725027EA, 将 其 对 角 化 为210001000(1) (1). 故A的 若 当 标 准 形 为100110001. 3. 解A的 特 征 多 项 式 为( )|nfEA(1)TTnE(1)()TTnE22(1)(1)()TnTE22(1)
4、(1)TTnTTE21(1)1TTnTT222(1)(1025() )nT. 4. 证A是反对称实矩阵, 故其特征值为零或纯虚数. 其实 , 假定是A的特征值 ,是相应的特征向量. 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页()()()TTTTTTTTAAAAA, 又TTA, 故,这说明是零或纯虚数. 由此得| 0EA, 因而EA可逆 . 由知EA可逆 ,这说明Q有意义 . 而1() ()TQEAEA, 因此11() ()()()TQ QEAEA EA EA11() ()()()EAEA EA EAE. 故Q是正交矩阵
5、. 5. 解依题意有011003121003111003A因而100301 111 100312111 100311 111 1A其特征多项式为2( ) |(3)fEA. 故特征值为120,3. 10, 解特征方程0AX得11,0,1TX,21,1,0TX. 特征向量为1122l Xl X. 23, 解特征方程(3)0EA X得31,1,1TX. 特征向量为33l X. 以上123, ,l llR. 把向量12,XX正交并单位化得111(,0,)22,2333,2 2222. 把向量3X单位化得3111,333.以123,作为列向量作成矩阵P,则P为正交矩阵且000000003TP APB.1
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