2022年高等代数考研真题.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 08 07 化二次型fx x 2,x 32x x 22x x 32 x x 为标准型 ,并给出所用的非退化线性替换. 一, 求三阶矩阵126的 Jordan 标准型 . 求 A 的特点多项式 . ETA1求证 Q 是正交阵 . 1725027二, 设,n R且长度为 2,矩阵AE nTT三, 设 A 是 n 阶反对称矩阵 ,E 为单位矩阵 .证明: aEA 可逆设 ,b设 Q= E+A0,1,1T,1,2,1是AX0的解 ,求矩阵 A 的特点值 ,特四, 设 A 是 3 阶对称矩阵 ,且 A 的各行元素之和都是3,向量名师归纳总结 第 1 页,
2、共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 征向量 ,求正交阵 Q 和矩阵 B 使得T Q BQA, 如 有,五, 设 P是 一 个 数 域 , P x是 P x中 次 数 大 于0的 多 项 式 , 证 明 : 如 果 对 于 任 意 的 fx, g xPx|fxgxp x|fx或者p x|g x,那么 P x是不行约多项式 . i0六, 设欧氏空间中有,1,2, ,n,0.W 1L1,2,n,W 2L,1,2,n证明:假如,那么dimW 2dimW 设是 n 维欧氏空间中的一个对称变换,就VkerV. 苏州高校 2007 年硕士讨论生入学考试 高
3、等代数试题解答1. 解所给二次型的矩阵为22 . T 1. 011A101110其特点多项式为f |EA| 1 22. 故特点值为11,11, 解对应的特点方程EA X0得X 11 1T 0,X21022 , 解对应的特点方程 2EA X0得X3 1T 1 1. 以X1,X2,X 作为列向量作成矩阵 3C . 就 C 可逆 , 且T C AC 为对角阵 . 这时做非退化线性替换2. 解y 1x 1x2y222y 32. . 故 A 的 如 当 标 准 形 为y 2x 1x 3得fy y 1 2,y 3y 12y 3x 1x2x3012610EA1725, 将 其 对 角 化 为0101001
4、E nTT027002 1 1. 110TT001A 的 特 征 多 项 式 为f |E nA|1 En3. 解n 12TTT是相应的特点向量. 就1E2T1n21 E 2TT1TT1TTn 1221025n 12T2 . 4. 证是 A 的特点值 ,A 是反对称实矩阵, 故其特点值为零或纯虚数. 其实 , 假定名师归纳总结 第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - T T T T T T T TA A A A A , 又T TA , 故 , 这说明 是零或纯虚数 . 由此得 | E A | 0 , 因而 E A 可逆 . 由知 E A
5、 可逆 , 这说明 Q 有意义 . 而 Q T E A 1E A , 因此Q Q T E A 1 E A E A E A 1 E A 1 E A E A E A 1 E . 故 Q 是正交矩阵 . 5. 解 依题意有10 1 1 0 0 3 0 0 3 0 1 1 1 1 1A 1 2 1 0 0 3 因而 A 0 0 3 1 2 1 1 1 11 1 1 0 0 3 0 0 3 1 1 1 1 1 1其特点多项式为 f | E A | 2 3 . 故特点值为 1 0, 2 3. T T 1 0, 解特点方程 AX 0 得 X 1 1,0,1 , X 2 1,1,0 . 特点向量为 l X 1
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