2022年苏州大学历年高等代数真题.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2000 年真题1( 14 分)设 f x,g x,h x 都是数域 P 上的一元多项式,并且满意:x41 x1 x2 0(1)m 矩阵,并且AB=AC ,证明: B=C;x41 x1 x2 0(2)证明:x41能整除g x ;2( 14 分)设 A 是 nr 的矩阵,并且秩(A) = r,B, C 是 r3(15 分)求矩阵A321的最大的特点值0,并且求 A 的属于0的特点子空间的一组基;22214 分 设 -2,3,-13613 A6A11En是33矩阵的特点值,运算行列式14 分 设 A,B 都是实数域 R 上的 n n 矩阵 ,证明
2、:AB,BA 的特点多项式相等证明:要证明AB,BA 的特点多项式相等,只需证明:EAEB第 1 页,共 27 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14 分设 A 是 n n 实对称矩阵 ,证明:A 25A7E 是一个正定矩阵证明: A 是实对称矩阵,就的特点值均为实数 15 分 设 A 是数域P 上的n 维线性空间V的一个线性变换,设V,使A n10, 但是A n=0, 其中n1证明:,A,2 A,n A1是的一组基并且求线性变换在此基下的矩阵,以及的核的维数2000 年真题答案1、证明:21: 2 4 0h x 1g x ( 3)第
3、2 页,共 27 页2将( 3)带入( 1)中,得到:x41f x 1xg x 2x4+1与 互素,4 x1g x 注:此题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解,用克莱姆法就导出结果;名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、证明:ABAC,A BC0.A 是nr 的矩阵 ,R A r,A 是列满秩的矩阵,即方程AX0只有零解31,BC0, 即BC3、 解:EA224,02当02 时,求出线性无关的特点向量为1101,201 2,就L1,2构成0 的特点子空间,1,2是0的特点子空间的一组基4、 解:-2,3,-1是33矩阵的特点值, 不
4、妨设12,23,就矩阵3 A6A11 E n对应的特点值为:115,220,3163n0 ),从而肯定是恒等式BA ,这故3 A6A11En15201648005、 利用构造法,设0 ,令HE1B,AEE0E1BE1B,两边取行列式得AEAE0E1ABHE1AB1nEAB()E1BE0E1BA1B,两边取行列式得AEAE0EHE1BA1nEBA()由(),()两式得1nEAB 1nEBAEABEBA ()上述等式是假设了0 ,但是()式两边均为的 n 次多项式,有无穷多个值使它们成立(注:此题可扩展为是mn矩阵,是nm矩阵,的特点多项式有如下关系:E mABmE n个等式也称为薛尔佛斯特(Sy
5、lvester)公式0第 3 页,共 27 页6、 设为的任意特点值,就2 A5A7 E 的特点值为2575224名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故2 A5A7E 是一个正定矩阵l1A,n A1ln1An1000()7、 证明:n A10,n A=0. 令l011用An1左乘()式两边,得到l0A n10lnAn0()由于An10 ,l00,带入()得l1A再用An2左乘()式两端,可得l 1000这样连续下去,可得到l0l 1ln10,A,A 2,An1线性无关2 A,A ,A,A2,n A1,A,1000在此基下的矩阵为0000,n
6、1101000010100001000010可见 ,R An1,dimkerAn即 A 的核的维数为120XX 年真题名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20XX 年真题名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1( 15 分)设 A11111,B123n1nn1都是 nn矩阵;解矩阵方程AXB;01111012n2001112( 20 分)设A001n3n2C1AC是一个对角矩阵;00011000120000100001143, A 是否相像于
7、对角矩阵?假如相像于对角矩阵,求可逆矩阵C ,使得2533( 10 分)设442f x 1xx 2x 3,g x x 4 kx 4m1x4r2x4 s3;证明:k m r s都是非负整数;设f x 整除g x ;BG ,就 AB ;4( 10 分)设 A , B 都是 n n 矩阵, G 是 n m 矩阵,并且 G 的秩是 n ;证明:假如 AG5( 10 分)设 A 是 n n 矩阵,并且 A 是可逆的;证明:假如A与A1的全部的元素都是整数,就A的行列式是 -1或 1;名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6( 1
8、0 分)设 A 是 n n 反对称矩阵,证明:2 A 是半正定的;7( 15 分)设 A 是 n n 矩阵;假如A 2E ,并且 nAE n的秩是 r , A 是否相像于一个对角矩阵?假如是,求这个对角矩阵;8( 10 分)设V 是有理数域上的线性空间, V 的维数是 n ,与是V 的线性变换; 其中可对角化, 并且 ABBAA;证明:存在正整数 m,使得 m 是零变换;20XX 年真题名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - -
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