2019版高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第2章　函数、导数及其应用 第3讲函数的奇偶性与周期性 .docx

第3讲函数的奇偶性与周期性板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1函数的奇偶性考点2函数的周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 必会结论1函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(4)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.(a>0)3对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(3)函数y既是奇函数又是偶函数()(4)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2018)2018.()答案(1)(2)(3)(4)22017北京高考已知函数f(x)3xx，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数答案A解析函数f(x)的定义域为R，f(x)3xxx3xf(x)，函数f(x)是奇函数函数yx在R上是减函数，函数yx在R上是增函数又y3x在R上是增函数，函数f(x)3xx在R上是增函数故选A.3课本改编如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()Ayxf(x) Byxf(x)Cyx2f(x) Dyx2f(x)答案B解析设g(x)xf(x)因为f(x)f(x)，所以g(x)xf(x)xf(x)，所以g(x)g(x)，所以B正确4课本改编若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.答案0解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为偶函数，所以二次函数的对称轴0，易得b0.52016四川高考若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)4x，则ff(2)_.答案2解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x)的周期为2，f(2)0，又fff42，ff(2)2.62018沈阳模拟已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)>0，则x的取值范围是_答案(1,3)解析f(2)0，f(x1)>0，f(x1)>f(2)，又f(x)是偶函数，f(|x1|)>f(2)，又f(x)在0，)上单调递减，|x1|<2，2<x1<2，1<x<3，x(1,3)板块二典例探究考向突破考向函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)log2(x)；(3)f(x)解(1)由于f(x)x2|x|1，x1,4的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数(2)定义域是R，关于原点对称，且f(x)log2(x)log2log2(x)f(x)，故f(x)是奇函数(3)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)x2x，则当x<0时，x>0，故f(x)x2xf(x)；当x<0时，f(x)x2x，则当x>0时，x<0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数触类旁通判断函数奇偶性的必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【变式训练1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x).解(1)定义域为x|x1，化简得f(x)0，故f(x)既是奇函数又是偶函数(2)2x2且x0，f(x)，又f(x)f(x)，f(x)为奇函数考向函数奇偶性的应用命题角度1利用奇偶性求函数值例2已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26 B18 C10 D10答案A解析解法一：令g(x)x5ax3bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(2)g(2)，又f(x)g(x)8，f(2)g(2)810，g(2)18，g(2)g(2)18.f(2)g(2)818826.解法二：由已知条件，得得f(2)f(2)16.又f(2)10，f(2)26.命题角度2利用奇偶性求参数值例32015全国卷若函数f(x)xln (x)为偶函数，则a_.答案1解析解法一：由题意得f(x)xln (x)f(x)xln(x)，所以x，解得a1.解法二：由f(x)为偶函数有ln (x)为奇函数，令g(x)ln (x)，有g(x)g(x)，以下同解法一命题角度3利用奇偶性求解析式例4f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解当x<0时，x>0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以当x<0时，f(x)2x23x1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)命题角度4利用奇偶性的图象特征解不等式例5已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)答案C解析f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)x22x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2a2)>f(a)，得2a2>a，解得2<a<1.触类旁通应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性考向函数奇偶性与周期性的综合问题例6(1)2017山东高考已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.答案6解析f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.(2)奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2时，f(x)2xx2，则f(2018)f(2019)f(2020)的值为_答案1解析函数f(x)是奇函数，则f(0)0，由f(x)2xx2，x0,2知f(1)1，f(2)0，又f(x)的周期为4，所以f(2018)f(2019)f(2020)f(2)f(3)f(0)f(3)f(1)f(1)1.触类旁通奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解【变式训练2】已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.答案2.5解析由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)，故函数f(x)的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.核心规律1.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)满分策略1.函数具有奇偶性的一个必要条件是函数定义域关于原点对称，因此判断函数的奇偶性不可忽视函数定义域2.函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(x)f(x)，而不能说存在x0，使f(x0)f(x0)同样偶函数也是如此3.判断分段函数奇偶性时，要以整体观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇(偶)函数，而否定函数在整个定义域上的奇偶性.板块三启智培优破译高考题型技法系列3利用函数的奇偶性解抽象不等式2016天津高考已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)>f()，则a的取值范围是_解题视点由已知可得出f(x)在(0，)上单调递减，且f()f()，利用单调性将f(2|a1|)>f()转化为2|a1|<，解该不等式即可解析f(x)是偶函数且在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减，且f()f()，原不等式可化为f(2|a1|)>f()故有2|a1|<，即|a1|<，解得<a<.答案答题启示解与函数有关的不等式问题，常利用奇函数在对称单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称单调区间上有相反的单调性，利用题目已知条件，转化为不等式问题来求解，而解有关抽象函数不等式问题，也是充分利用函数的奇偶性和单调性求解.跟踪训练2018贵阳适应性监测若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)x38，则x|f(x2)>0()Ax|2<x<0或x>2Bx|0<x<2或x>4Cx|x<0或2<x<4Dx|x<2或x>2答案B解析当x2时，有f(2)0，又因为f(x)为奇函数，所以f(2)0，作出f(x)的大致图象，由图象可知，当2<x2<0或x2>2，即0<x<2或x>4时，有f(x2)>0.故选B.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018合肥质检下列函数中，既是偶函数，又在(0，)上单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|答案B解析因为yx3是奇函数，y|x|1，yx21，y2|x|均为偶函数，所以A错误；又因为yx21，y2|x|x|在(0，)上均为减函数，只有y|x|1在(0，)上为增函数，所以C，D两项错误，只有B正确22018南宁模拟设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数答案B解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数故选B.32017齐鲁名校模拟已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)()A3 B C. D3答案A解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.4已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递减，则满足不等式f(2x1)>f成立的x的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析因为偶函数f(x)在区间0，)上单调递减，所以f(x)在区间(，0上单调递增，若f(2x1)>f，则<2x1<，解得<x<.5已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)x(1x)，那么x<0，f(x)等于()Ax(1x) Bx(1x)Cx(1x) Dx(1x)答案B解析当x<0时，则x>0，f(x)(x)(1x)又f(x)f(x)，f(x)x(1x)62018贵阳模拟已知函数f(x)x3sinx1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0 C1 D2答案B解析设F(x)f(x)1x3sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.故选B.72018德州模拟设偶函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式>0的解集为()A(1,0)(1，) B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)答案A解析由>0，可得>0，即>0，当x<0时，f(x)<0，即f(x)<f(1)，解得1<x<0；当x>0时，f(x)>0，即f(x)>f(1)，解得x>1.故不等式>0的解集为(1,0)(1，)82017全国卷已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.答案12解析令x>0，则x<0.f(x)2x3x2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x>0)f(2)2232212.f(2)f(2)2(2)3(2)212.92017豫东十校联考若f(x)a是奇函数，则a_.答案解析依题意得f(1)f(1)0，由此得aa0，解得a.102018衡水模拟已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_.答案1解析yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，f(1)(1)2f(1)12，f(1)3.因此g(1)f(1)21.B级知能提升12018金版创新已知函数f(x)是定义在R上的函数，若函数f(x2016)为偶函数，且f(x)对任意x1，x22016，)(x1x2)，都有<0，则()Af(2019)<f(2014)<f(2017)Bf(2017)<f(2014)<f(2019)Cf(2014)<f(2017)<f(2019)Df(2019)<f(2017)<f(2014)答案A解析因为f(x)对任意x1，x22016，)(x1x2)，都有<0，所以f(x)在2016，)上单调递减，所以f(2017)>f(2018)>f(2019)又因为f(x2016)为偶函数，所以f(x2016)f(x2016)，所以f(22016)f(22016)，即f(2014)f(2018)，所以f(2017)>f(2014)>f(2019)故选A.2若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()Aexex B.(exex)C.(exex) D.(exex)答案D解析由f(x)g(x)ex，可得f(x)g(x)ex.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)g(x)ex，则两式相减，可得g(x).选D.32018苏州模拟定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)1对于xR恒成立，且f(x)>0，则f(119)_.答案1解析f(x2)，f(x4)f(x)，周期T4，f(119)f(3)令x1，f(1)f(1)1，f(1)1，f(3)1.4已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)<0的实数m的取值范围解f(x)的定义域为2,2，解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)<f(1m2)f(m21)1m>m21，解得2<m<1.综合可知1m1.即实数m的取值范围是1,1)52018大同检测函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)<2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)<2f(|x1|)<f(16)又f(x)在(0，)上是增函数，0<|x1|<16，解之得15<x<17且x1.x的取值范围是(15,1)(1,17)