2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第3章 第2节 第04课时 利用导数解决含参数的不等式问题 .doc

第四课时利用导数解决含参数的不等式问题分离参数求参数范围明技法1利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题2不等式成立(恒成立)问题常见转化方法(1)f(x)a恒成立f(x)mina，f(x)a成立f(x)maxa.(2)f(x)b恒成立f(x)maxb，f(x)b成立f(x)minb.提能力【典例】 (2018兰州模拟)已知函数f(x)x3x2b，g(x)aln x.(1)若f(x)在x上的最大值为，求实数b的值；(2)若对任意x1，e，都有g(x)x2(a2)x恒成立，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)x3x2b，函数f(x)3x22x，f(x)0得x0，x，f(x)0,0x；f(x)0，x0或可知：f(x)在x有，是减区间，是增区间，fb，fb，可以判断b，b0, 所以实数b的值为0.(2)任意x1，e，都有g(x)x2(a2) x，g(x)aln x.a，设T(x)，x1，eT(x)，x1，e，x10，ln x1，x22ln x0，从而T(x)0，T(x)在1，e上为增函数所以T(x)minT(1)1，所以a1.刷好题(2018陕西西北九校联考)已知函数f(x)ln xt(x1)，t为实数(1)当t1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若当t时，f(x)<0在(1，)上恒成立，求实数k的取值范围解：(1)当t1时，f(x)ln xx1，x>0，f(x)1.由f(x)<0可得0<x<1，由f(x)>0可得x>1，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)当t时，f(x)ln x，f(x)ln xln x，当x>1时，f(x)<0恒成立，等价于k<xln x在(1，)上恒成立令g(x)xln x，则g(x)x(ln x1)x1ln x.令h(x)x1ln x，则h (x)1.当x>1时，h(x)>0，函数h(x)x1ln x在(1，)上单调递增，故h(x)>h(1)0，从而当x>1时，g(x)>g(1)0，即函数g(x)在(1，)上单调递增，故g(x)>g(1)，此当x>1时，若使k<xln x恒成立，必须k.实数k的取值范围是.含全称与存在量词的不等式问题明技法(1)f(x)>g(x)对xI能成立I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max>0(xI)(2)对x1D1，x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min，f(x)的定义域为D1，g(x)的定义域为D2.提能力【典例】 (2018潍坊模拟)已知函数f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a<1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22,0，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x). 当a1时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(1)1a.当1<a<e时，x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.ZXXK当ae时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数f(x)minf(e)e (a1).综上，当a1时，f(x)min1a；当1<a<e时，f(x) mina(a1)ln a1；当ae时，f(x)mine(a1).(2)由题意知f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值由(1)知当a<1时f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1).g(x)( 1ex)x.当x2,0时g(x)0，g(x)为减函数，g(x)ming(0)1，所以e(a1)<1，即a>，所以a的取值范围为.刷好题(2018邯郸模拟)已知函数f(x)ln xax1(aR). (1)当a时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)x22bx4，当a时，若对x1(0,2)，x21,2，使f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围解：(1)当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0<a<时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. (2)函数的定义域为(0，)，f(x)a，a时，由f(x)0可得x11，x23.因为a，x23(0,2)，结合(1)可知函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1).由于“对x1( 0,2)，x21,2，使f(x1)g (x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值f(1)”()又g(x)( xb)24b2，x1,2，所以当b<1时，因为g(x)ming(1)52b>0，此时与()矛盾；当b1,2时，因为g(x)ming(b)4b20，同样与()矛盾；当b(2，)时，因为g(x)ming(2)84b.解不等式84b，可得b.综上，b的取值范围是.