2018版高中数学北师大版必修三学案：第一章 统计 5.1　估计总体的分布-5.2　估计总体的数字特征 .docx

51估计总体的分布52估计总体的数字特征学习目标1.学会列频率分布表，会画频率分布直方图.2.会用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布，并作出合理解释.3.在解决问题过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，认识统计的实际作用，初步经历收集数据到统计数据的全过程知识点一频率分布表与频率分布直方图1用样本估计总体的两种情况(1)用样本的频率分布估计总体的分布(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征2作频率分布直方图的步骤(1)求极差：即一组数据中最大值和最小值的差；(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来这时应注意：一般样本容量越大，所分组数越多；为方便起见，组距的选择应力求“取整”；当样本容量不超过120时，按照数据的多少，通常分成512组(3)将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间(4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.(5)画频率分布直方图：画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示频率/组距其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积即每个小长方形的面积组距频率思考为什么要对样本数据进行分组？答不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征知识点二频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线题型一频率分布直方图的绘制例1调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图解(1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是18015129，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：分组频数频率149.5,153.5)10.025153.5,157.5)30.075157.5,161.5)60.15161.5,165.5)90.225165.5,169.5)140.35169.5,173.5)30.075173.5,177.5)30.075177.5,181.510.025合计401(2)频率分布直方图如图所示反思与感悟1.组数的决定方法是：设数据总数目为n，一般地，当n50，则分为58组；当50n120时，则分为812组较为合适2分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推3画频率分布直方图小长方形高的方法是：假设频数为1的小长方形的高为h，则频数为k的小长方形高为kh.跟踪训练1美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况解(1)以4为组距，列表如下：分组频数频率41.5,45.5)20.045 545.5,49.5)70.159 149.5,53.5)80.181 853.5,57.5)160.363 657.5,61.5)50.113 661.5,65.5)40.090 965.5,69.520.045 5合计441.00(2)从频率分布表中可以看出60%左右的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小题型二频率分布直方图的应用例2为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为24171593，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？解(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为0.08.因为第二小组的频率，所以样本容量150.(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为100%88%.反思与感悟1.频率分布直方图的性质：(1)因为小矩形的面积组距频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.(3)样本容量2频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性跟踪训练2如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在15,18)内频数为8.(1)求样本在15,18)内的频率；(2)求样本容量；(3)若在12,15)内的小矩形面积为0.06，求在18,33)内的频数解由样本频率分布直方图可知组距为3.(1)由样本频率分布直方图得样本在15,18)内的频率等于3.(2)样本在15,18)内频数为8，由(1)可知，样本容量为850.(3)在12,15)内的小矩形面积为0.06，样本在12,15)内的频率为0.06，故样本在15,33)内的频数为50(10.06)47，又在15,18)内频数为8，故在18,33)内的频数为47839.题型三频率分布与数字特征的综合应用例3已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122 124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数频率121,123)123,125)125,127)127,129)129,131合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数解(1)分组频数频率121,123)20.1123,125)30.15125,127)80.4127,129)40.2129,13130.15合计201(2)(3)在125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.(2)图中虚线对应的数据是1252126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：1220.11240.151260.41280.21300.15126.3，平均数的精确值为125.75.反思与感悟1.利用频率分布直方图估计数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧小矩形的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和2利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致跟踪训练3某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05. 求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数(2)高一参赛学生的平均成绩解(1)由图可知众数为65，又第一个小矩形的面积为0.3，设中位数为60x，则0.3x0.040.5，得x5，中位数为60565.(2)依题意，550.3650.4750.15850.1950.0567，平均成绩约为67分1用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是()A总体容量越大，估计越精确B总体容量越小，估计越精确C样本容量越大，估计越精确D样本容量越小，估计越精确答案C解析由用样本估计总体的性质可得2频率分布直方图中，小矩形的面积等于()A组距 B频率 C组数 D频数答案B解析根据小矩形的宽及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本数据的频率3某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60 C120 D140答案D解析设所求人数为N，则N2.5(0.160.080.04)200140，故选D.4某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如下图所示已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30、0.15、0.10、0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是_，成绩优秀的频率是_答案1000.15解析设参赛的人数为n，第二小组的频率为1(0.300.150.100.05)0.4，依题意0.4，n100，优秀的频率是0.100.050.15.1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布2用同样的方法先后从总体中抽取两个大小相同的样本，但两次得到的样本频率分布表、样本频率分布直方图、样本的平均数和标准差仍然可能互不相同如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，样本容量越大，越接近总体的真实情况