2022年对数函数性质及练习.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载对数函数及其性质1对数函数的概念1定义：一般地,我们把函数ylogaxa0,且 a 1叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是0, 2对数函数的特点：log ax的系数： 1特点log ax的底数：常数,且是不等于1的正实数log ax的真数：仅是自变量x判定一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特点比如函数 ylog7x 是对数函数,而函数 不符合对数函数解析式的特点y 3log 4x 和 ylogx2 均不是对数函数,其缘由是【例 1 1】 函数 fxa2a1log a1x 是对数函数,就实数a_ 解析： 由 a2a11,解得 a0,1又 a10,且 a1 1,a1 答案： 1 【例 1 2】 以下函数中是对数函数的为 _ 1ylog a x a0,且 a 1；2ylog2x2；3y8log 2x 1；4ylog x6x0,且 x 1；5ylog 6x解析：序号是否理由1×真数是x ,不是自变量x2×对数式后加2 3×真数为 x1,不是 x,且系数为8,不是 1 4×底数是自变量x,不是常数5底数是 6,真数是 x2对数函数 y logaxa0,且 a 1的图象与性质名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1图象与性质a 1 0a1 图象1定义域 x|x0 2值域 y|y R 性 3当 x1 时, y0,即过定点 1,0 质4当 x1 时,y0；当 0x1 时, y0 5在0, 上是增函数4当 x1 时, y0；当 0x1 时, y0 5在0, 上是减函数谈重点 对对数函数图象与性质的懂得 对数函数的图象恒在 y 轴右侧,其单调性取决于底数a1 时,函数单调递增；0a1 时,函数单调递减懂得和把握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在把握图象的基础上性质就简洁懂得了我们要留意数形结合思想的应用2指数函数与对数函数的性质比较性解析式ya xa0,且 a 1y logax a0,且 a 1 定义域R0, 值域0, R过定点0,11,0 质单调性单调性一样,同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一样,都既不是奇函数也不是偶函数3底数 a 对对数函数的图象的影响底数 a 与 1 的大小关系打算了对数函数图象的“ 升降” ：升” ；当 0 a1 时,对数函数的图象“ 下降” 当 a1 时,对数函数的图象“ 上底数的大小打算了图象相对位置的高低：不论是 a 1 仍是 0a1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐步变大名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载a 从3 ,4 3,3 5,1 10中取值,【例 2】如下列图的曲线是对数函数ylog ax 的图象已知就相应曲线C1,C2,C3, C4 的 a 值依次为 A3 ,4 3,3 5,1 10B3 ,4 3,1 10,3 5C4 3,3 ,3 5,1 10D4 3,3 ,1 10,3 5解析： 由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C4 的底数 C3 的底数 C2 的底数 C1的底数故相应于曲线 C1,C2,C3,C4的底数依次是 3 ,4,3,1答案： A 3 5 10点技巧 依据图象判定对数函数的底数大小的方法 1方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在 x 轴上方 “ 底大图右 ” ,在 x 轴下方 “ 底大图左 ” ； 2方法二：作直线 y1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判定各底数的大小3反函数1对数函数的反函数指数函数 ya xa 0,且 a 1与对数函数2互为反函数的两个函数之间的关系ylog axa0,且 a 1互为反函数原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；互为反函数的两个函数的图象关于直线 yx 对称3求已知函数的反函数,一般步骤如下：由 y fx解出 x,即用 y 表示出 x；把 x 替换为 y,y 替换为 x；依据 yfx的值域,写出其反函数的定义域名师归纳总结 【例 3 1】如函数 yfx是函数 yaxa0,且 a 1的反函数, 且 f21,就 fx 第 3 页,共 12 页Alog 2xB1 x 2Clog x 1x2 D22解析： 由于函数yaxa0,且 a 1的反函数是fxlogax,又 f2 1,即 log a21,所以 a2故 fxlog 2x答案： A 【例 3 2】 函数 fx3x0x2的反函数的定义域为 A0, B1,9 C0,1 D9, 解析： 0x2,13x9,即函数fx的值域为 1,9 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载故函数 fx的反函数的定义域为 1,9 答案： B 【例 3 3】 如函数 yfx的反函数图象过点 1,5 ,就函数 yfx的图象必过点 A5,1 B 1,5 C1,1 D5,5 解析： 由于原函数与反函数的图象关于直线 yx 对称,而点 1,5 关于直线 yx 的对称点为5,1,所以函数 yfx的图象必经过点 5,1答案： A 4利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式ylog axa0,且 a 1中仅含有一个常数a,就只需要一个条件即可确a定对数函数的解析式,这样的条件往往是已知fmn 或图象过点 m,n等等通常利用待定系数法求解,设出对数函数的解析式fxlogaxa0,且 a 1,利用已知条件列方程求出常数的值利用待定系数法求对数函数的解析式时,经常遇到解方程,比如 logamn,这时先把对数式 logamn 化为指数式的形式 a nm,把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式 mk nk0,且 k 1,1 1就解得 ak0仍可以直接写出 a m ,再利用指数幂的运算性质化简 m 2例如：解方程 loga4 2,就 a 24,由于 4 1,所以 a 1又 a0,所以 a 1当2 2 21 1 1然,也可以直接写出 a 4 2,再利用指数幂的运算性质,得 a 4 2 2 2 2 2 1 12【例 4 1】 已知 fex x,就 f5 Ae 5 B5 e Cln 5 Dlog 5e 解析： 方法一 令 t e x,就 xln t,所以 ftln t,即 fxln x所以 f5ln 5 方法二 令 e x5,就 x ln 5,所以 f5ln 5 答案： C 【例 4 2】 已知对数函数 fx的图象经过点 1 ,2,试求 f3的值9分析： 设出函数 fx的解析式,利用待定系数法即可求出解： 设 fx logaxa0,且 a 1,名师归纳总结 3对数函数fx的图象经过点1 , 2 9,f1loga12a21 929第 4 页,共 12 页99a111211 fxlog x f3log 3log111 1229333333【例 4 3】 已知对数函数fx的反函数的图象过点2,9 ,且 fb1 2,试求 b 的值解： 设 fxlogaxa0,且 a 1,就它的反函数为yaxa0,且 a 1,由条件知a2,从而 a3于是 fxlog 3x,就 fb log3b1 2,解得 b313 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载5对数型函数的定义域的求解1对数函数的定义域为 0, 2在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于 0,底数大于 0,且不等于 1如底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义一般地,判定类似于 ylogafx的定义域时,应第一保证 fx03求函数的定义域应满意以下原就：分式中分母不等于零；偶次根式中被开方数大于或等于零；指数为零的幂的底数不等于零；对数的底数大于零且不等于 1；对数的真数大于零,假如在一个函数中数条并存,求交集【例 5】 求以下函数的定义域1ylog 51x；2ylog2x15x4；3 y log 0.5 4 x 3分析： 利用对数函数 y log axa0,且 a 1的定义求解解： 1要使函数有意义,就 1x0,解得 x1,所以函数 ylog51x的定义域是 x|x 1 5 x 4>0,2要使函数有意义,就 2 x 1>0, 解得 x4 且 x 1,52 x 1 1,所以函数 ylog2x15x4的定义域是 4 ,1 1, 53要使函数有意义,就 4 x 3 0, 解得3x1,log 0.5 4 x 3 0, 4所以函数 y log 0.5 4 x 3 的定义域是 x 3 < x 146对数型函数的值域的求解1充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法2对于形如 ylogafxa0,且 a 1的复合函数,其值域的求解步骤如下：分解成 ylogau,ufx这两个函数；求 fx的定义域；求 u 的取值范畴；利用 ylogau 的单调性求解名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载logaxt ,就函数fttR的值3对于函数yflog axa0,且 a 1,可利用换元法,设域就是函数flog axa0,且 a 1的值域留意： 1如对数函数的底数是含字母的代数式或单独一个字母,要考查其单调性,就必需对底数进行分类争论2求对数函数的值域时,肯定要留意定义域对它的影响当对数函数中含有参数时,有时 需争论参数的取值范畴【例 6 1】 求以下函数的值域：1ylog 2x 24；2ylog 32xx22解： 1x244,log 2x24log 242 函数 ylog2x 24的值域为 2, 2设 u32x x 2,就 u x 1244u0, 0 u4log 32xx2的值又 ylog u 在0, 上为减函数, log u 2函数 y222域为 2, 【例 6 2】 已知 fx2log3x,x1,3 ,求 yfx2fx2的最大值及相应的x 的值分析： 先确定 yf x2fx2的定义域,然后转化成关于 一元二次函数求最值解： fx2log3x,x 1,3 ,yfx2fx2log 3x 26log 3x6 且定义域为 1,3 log3x 的一个一元二次函数,利用令 tlog 3xx1,3 tlog 3x 在区间 1,3 上是增函数,0 t1从而要求yfx2fx2在区间 1,3 上的最大值,只需求yt26t 6 在区间 0,1 上的最大值即可 yt26t6 在3, 上是增函数,当 t1,即 x3 时, ymax16613综上可知,当x3 时, y fx2fx2的最大值为137对数函数的图象变换及定点问题1与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数 ylogaxa0,且 a 1过定点 1,0 ,即对任意的 是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键a0,且 a 1 都有 loga10这对于函数ybklogafxk,b 均为常数,且k 0,令 fx1,解方程得xm,就该函数恒过定点 m,b方程 f x 0 的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数2对数函数的图象变换的问题向左 b>0或向右 b<0 函数 ylogaxa0,且 a 1- - -平移 |b|个单位长度函数 ylog axba0,且 a 1 向上b>0或向下 b<0 函数 ylogaxa0,且 a 1- - -平移|b|个单位长度函数 ylogaxba0,且 a 1 函数 ylogaxa0,且 a 1当 x>0时,两函数图象相同 当x<0时,将 x>0时的图象关于 y轴对称函数 yloga|x|a 0,且 a 1 保留 x轴上方的图象 函数 ylogaxa0,且 a 1- - - - - - -同时将 x轴下方的图象作关于 x轴的对称变换函数 y |log ax|a 0,且 a 1名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载3,2 ,就实数 b,c 的值【例 7 1】如函数 ylog axbca0,且 a 1的图象恒过定点 分别为 _ 解析： 函数的图象恒过定点 3,2 ,将3,2代入 ylogax bca0,且 a 1,得 2loga3bc又当 a0,且 a 1 时, log a10 恒成立, c 2log a3b0b 2答案： 2,2 【例 7 2】 作出函数 y|log 2x1| 2 的图象解： 第一步 作函数 y log2x 的图象,如图 ；其次步 将函数 ylog2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度, 得函数 ylog 2x1的图象,如图 ；第三步 将函数 ylog2x1在 x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换,得函数 y|log2x1|的图象,如图；第四步 将函数 y|log2x 1|的图象, 沿 y 轴方向向上平移 的图象,如图 8利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情形：1底数相同,真数不同2 个单位长度, 便得到所求函数比较同底数 是详细的数值 的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小要留意： 明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与 1 的大小关系；最终依据对数函数的单调性判定大小2底数不同,真数相同如对数式的底数不同而真数相同时,可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象,再进行比较,也可以先用换底公式化为同底后,再进行比较名师归纳总结 3底数不同, 真数也不同 对数式的底数不同且指数也不同时,常借助中间量0,1 进行比较第 7 页,共 12 页4对于多个对数式的大小比较,应先依据每个数的结构特点,以及它们与“0” 和“1” 的大小情形,进行分组,再比较各组内的数值的大小即可- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载留意：对于含有参数的两个对数值的大小比较,要留意对底数是否大于 1 进行分类争论【例 8 1】 比较以下各组中两个值的大小1log 31.9,log32；2log 23,log0.32；3log a, loga3.141分析： 1构造函数ylog 3x,利用其单调性比较；2分别比较与0 的大小； 3分类争论底数的取值范畴解： 1由于函数ylog 3x 在0, 上是增函数,所以f1.9 f2所以 log31.9log 322由于 log 23 log210,log0.32 log 0.310,所以 log23log0.323当 a1 时,函数 ylogax 在定义域上是增函数,就有 logaloga3.141；当 0a1 时,函数 ylog ax 在定义域上是减函数,就有 logalog a3.141综上所得,当 a1 时, logalog a3.141；当 0a 1 时, log a loga3.141【例 8 2】 如 a 2ba1,试比较 log a a, logb b,log ba,logab 的大小b a分析： 利用对数函数的单调性或图象进行判定解： ba1,0a1b log a a0,logablog aa1, logb1logba log bb,即 0 logba1b2由于 1bb, 0 log b b 1由 log ba logb blog b a,a a a b2 2a2 b 1,a1 logb a0,即 logba logb bb b alogablogba log b b log a aa b9利用对数函数的单调性解对数不等式1依据对数函数的单调性,当 a0,且 a 1 时,有logaf xlogagx fxgxfx 0,gx0；当 a 1 时, logafxlogagx 当 0 a1 时, log afx log agx2常见的对数不等式有三种类型：fxg xfx0,gx0；fx gxfx0,gx0形如 logafxlog agx的不等式, 借助函数 ylog ax 的单调性求解, 假如 a 的取值不确定,需分 a1 与 0a1 两种情形争论形如 logafxb 的不等式,应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式,再借助函数 ylogax的单调性求解形如 log afxlog bgx的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来脱去对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载形如 flog ax0 的不等式,可用换元法 后再解 x 的范畴令 tlog ax,先解 f t0,得到 t 的取值范畴然【例 9 1】 解以下不等式：1log1xlog 4x ；772logx2x1logx3xx>0,解： 1由已知,得4x>0,解得 0x 2所以原不等式的解集是 x|0x2 x<4x ,2 x1>3x ,2当 x1 时,有2 x1>0,解得 1x3；3x>0,当 0x1 时,有2x1<3x ,解得 0x2 32x1>0,3x >0,所以原不等式的解集是x0< <2或 1< <33【例 9 2】 如loga221,求 a 的取值范畴3解： loga22 1,1loga21,即loga1loga2logaa33a31当 a1 时, ylog ax 为增函数, 1 a2aa3 2,结合 a1,可知 a3 232当 0a 1 时, ylogax 为减函数, 1 a>2>a3a2 3,结合 0 a1,知 0a2 3a 的取值范畴是a0< <2,或3a>3210对数型函数单调性的争论1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1,当底数未明确 三是留意其定义给出时, 就应对底数a 是否大于1 进行争论； 二是运用复合法来判定其单调性；域名师归纳总结 反2关于形如ylogafx一类函数的单调性,有以下结论：第 9 页,共 12 页函数 y logafx的单调性与函数ufxfx0的单调性, 当 a1 时相同, 当 0a1 时相例如：求函数ylog232x的单调区间分析： 第一确定函数的定义域,函数y log232x是由对数函数ylog 2u 和一次函数u3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2x 复合而成,求其单调区间或值域时,应从函数 ylog2u 的单调性考虑u32x 的单调性、值域入手,并结合函数解： 由 32x0,解得函数 y log232x的定义域是,3 2设 u32x,x ,3 2,u32x 在 ,3 2上是减函数,且y log2u 在0, 上单调递增,函数 ylog232x在 ,3 2上是减函数函数 ylog232x的单调减区间是,3 2【例 101】求函数 ylogaaa x的单调区间解： 1如 a1,就函数ylogat 递增,且函数taax递减又aax0,即 axa,x 1函数 ylog aaax在,1上递减名师归纳总结 2如 0a1,就函数ylog at 递减,且函数taax 递增第 10 页,共 12 页又aax0,即 axa,x 1函数 ylog aaax在1, 上递减综上所述,函数ylogaaa x在其定义域上递减析规律判定函数ylog afx的单调性的方法函数 y log afx可看成是ylogau 与 ufx两个简洁函数复合而成的,由复合函数单调性“ 同增异减 ” 的规律即可判定需特殊留意的是,在求复合函数的单调性时,第一要考虑函数的定义域,即“ 定义域优先 ” 【例 102】已知 fxlog1x 2axa在,1上是增函数,求a 的取值范畴22解：,1是函数 fx的递增区间,说明,1是函数 ux2axa 的递减区间,22由于是对数函数,仍需保证真数大于0令 uxx2axa, fxlog1u x 在,1上是增函数,22ux在,1上是减函数,且ux0 在,1上恒成立22a1 , 20,即a1,a0. 1a1 221a1u422满意条件的a 的取值范畴是a1a12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载11对数型函数的奇偶性问题判定与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：1求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,就此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判定 f x与 fx或 fx是否相等；2当 fxfx时,此函数是偶函数；当 fx fx时,此函数是奇函数；3当 fxfx且 fx fx时,此函数既是奇函数又是偶函数；4当 fx fx且 fx fx时,此函数既不是奇函数也不是偶函数例如,判定函数 fxlog x 21x x R,a 0,且 a 1的奇偶性2 2解： f x fxlog x 1 x log x 1x logax 21x 2 loga10, fx fxfx为奇函数【例 11】已知函数 fxlog a 1 xa 0,且 a 11 x1求函数 fx的定义域；2判定函数 fx的奇偶性；3求使 fx0 的 x 的取值范畴分析： 对于第 2问,依据函数奇偶性的定义证明即可对于第 掉对数符号,解出不等式3问,利用函数的单调性去解： 1由1 x0,得 1x1,故函数 fx的定义域为 1,11 x2f xlog a 1 xlog a 1 x fx,1 x 1 x又由 1知函数 fx的定义域关于原点对称,函数 fx是奇函数3当 a1 时,由 log a 1 x0loga1,得1 x1,解得 0x1；1 x 1 x当 0a1 时,由 log a 1 x 0log a1,得 01 x 1,解得 1x01 x 1 x故当 a 1 时, x 的取值范畴是 x|0x1 ；当 0 a1 时, x 的取值范畴是 x|1x0 12对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液 pH 的变化规律、航天问题等,可以用对数函数模型来争论此类题目,通常给出函数解析式模型,但是解析式中含有其他字母参数其解决步骤是：1审题：弄清题意,分清条件和结论,抓住关键的词和量,理顺数量关系；2建模：将文字语言转化成数学语言,利用数学学问,求出函数解析式模型中参数的值；3求模：求解函数模型,得到数学结论；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载4仍原：将用数学方法得到的结论仍原为实际问题的结论由此看, 直接给定参数待定的函数模型时,利用待定系数法的思想,代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数一般求出函数模型后,仍利用模型来争论一些其他问题代入法、 方程思想、对数运算性质,是解答此类问题的方法精髓【例 12】 我国用长征二号 F 型运载火箭胜利发射了“ 神舟” 七号载人飞船,实现了中国历史上第一次的太空闲逛,令中国成为世界上第三个有才能把人送上太空并进行太空闲逛的国家其中,翟志刚完全出舱,刘伯明的头部和手部部分出舱 在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度 y单位：km/s 关于燃料重量 x单位：吨的函数关系式为 ykln mxkln 2m 4ln 2 k 0,其中 m 是箭体、 搭载的飞行器、 航天员的重量和当燃料重量为 e1m 吨时,火箭的最大速度是 4 km/s 1求 yfx；2已知长征二号 F 型运载火箭的起飞重量是 479.8 吨 箭体、 搭载的飞行器、 航天员、 燃料 ,火箭的最大速度为 8 km/s ,求装载的燃料重量 e2.7,精确到 0.1解： 1由题意得当 x e 1m 时, y4,就 4kln m e1m kln 2m4ln 2 ,解得 k8所以 y 8lnmx8ln 2m 4ln 2,即 y 8ln m xm2由于 mx479.8,就 m479.8x,名师归纳总结 令88ln479.8x,解得 x302.1第 12 页,共 12 页479.8故火箭装载的燃料重量约为302.1 吨- - 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