2022年对数函数性质及练习.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载对数函数及其性质1对数函数的概念1定义:一般地,我们把函数ylogaxa0,且 a 1叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是0, 2对数函数的特点:log ax的系数: 1特点log ax的底数:常数,且是不等于1的正实数log ax的真数:仅是自变量x判定一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特点比如函数 ylog7x 是对数函数,而函数 不符合对数函数解析式的特点y 3log 4x 和 ylogx2 均不是对数函数,其缘由是【例 1 1】 函数 fxa2a1log a1x 是对数函数,就实数a_
2、解析: 由 a2a11,解得 a0,1又 a10,且 a1 1,a1 答案: 1 【例 1 2】 以下函数中是对数函数的为 _ 1ylog a x a0,且 a 1;2ylog2x2;3y8log 2x 1;4ylog x6x0,且 x 1;5ylog 6x解析:序号是否理由1真数是x ,不是自变量x2对数式后加2 3真数为 x1,不是 x,且系数为8,不是 1 4底数是自变量x,不是常数5底数是 6,真数是 x2对数函数 y logaxa0,且 a 1的图象与性质名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下
3、载1图象与性质a 1 0a1 图象1定义域 x|x0 2值域 y|y R 性 3当 x1 时, y0,即过定点 1,0 质4当 x1 时,y0;当 0x1 时, y0 5在0, 上是增函数4当 x1 时, y0;当 0x1 时, y0 5在0, 上是减函数谈重点 对对数函数图象与性质的懂得 对数函数的图象恒在 y 轴右侧,其单调性取决于底数a1 时,函数单调递增;0a1 时,函数单调递减懂得和把握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在把握图象的基础上性质就简洁懂得了我们要留意数形结合思想的应用2指数函数与对数函数的性质比较性解析式ya xa0,且 a 1y logax a0,且 a
4、 1 定义域R0, 值域0, R过定点0,11,0 质单调性单调性一样,同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一样,都既不是奇函数也不是偶函数3底数 a 对对数函数的图象的影响底数 a 与 1 的大小关系打算了对数函数图象的“ 升降” :升” ;当 0 a1 时,对数函数的图象“ 下降” 当 a1 时,对数函数的图象“ 上底数的大小打算了图象相对位置的高低:不论是 a 1 仍是 0a1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐步变大名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载a 从3 ,4 3,3 5,1
5、10中取值,【例 2】如下列图的曲线是对数函数ylog ax 的图象已知就相应曲线C1,C2,C3, C4 的 a 值依次为 A3 ,4 3,3 5,1 10B3 ,4 3,1 10,3 5C4 3,3 ,3 5,1 10D4 3,3 ,1 10,3 5解析: 由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C4 的底数 C3 的底数 C2 的底数 C1的底数故相应于曲线 C1,C2,C3,C4的底数依次是 3 ,4,3,1答案: A 3 5 10点技巧 依据图象判定对数函数的底数大小的方法 1方法一:利用底数对对数函数图象影响的规律:在 x 轴上方 “ 底大图右 ” ,在 x 轴下方 “ 底大图左
6、” ; 2方法二:作直线 y1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判定各底数的大小3反函数1对数函数的反函数指数函数 ya xa 0,且 a 1与对数函数2互为反函数的两个函数之间的关系ylog axa0,且 a 1互为反函数原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域;互为反函数的两个函数的图象关于直线 yx 对称3求已知函数的反函数,一般步骤如下:由 y fx解出 x,即用 y 表示出 x;把 x 替换为 y,y 替换为 x;依据 yfx的值域,写出其反函数的定义域名师归纳总结 【例 3 1】如函数 yfx是函数 yaxa0,且 a 1的反函数, 且 f21,就 fx 第 3
7、页,共 12 页Alog 2xB1 x 2Clog x 1x2 D22解析: 由于函数yaxa0,且 a 1的反函数是fxlogax,又 f2 1,即 log a21,所以 a2故 fxlog 2x答案: A 【例 3 2】 函数 fx3x0x2的反函数的定义域为 A0, B1,9 C0,1 D9, 解析: 0x2,13x9,即函数fx的值域为 1,9 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载故函数 fx的反函数的定义域为 1,9 答案: B 【例 3 3】 如函数 yfx的反函数图象过点 1,5 ,就函数 yfx的图象必过点 A5,1 B
8、 1,5 C1,1 D5,5 解析: 由于原函数与反函数的图象关于直线 yx 对称,而点 1,5 关于直线 yx 的对称点为5,1,所以函数 yfx的图象必经过点 5,1答案: A 4利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式ylog axa0,且 a 1中仅含有一个常数a,就只需要一个条件即可确a定对数函数的解析式,这样的条件往往是已知fmn 或图象过点 m,n等等通常利用待定系数法求解,设出对数函数的解析式fxlogaxa0,且 a 1,利用已知条件列方程求出常数的值利用待定系数法求对数函数的解析式时,经常遇到解方程,比如 logamn,这时先把对数式 logamn 化为指数
9、式的形式 a nm,把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式 mk nk0,且 k 1,1 1就解得 ak0仍可以直接写出 a m ,再利用指数幂的运算性质化简 m 2例如:解方程 loga4 2,就 a 24,由于 4 1,所以 a 1又 a0,所以 a 1当2 2 21 1 1然,也可以直接写出 a 4 2,再利用指数幂的运算性质,得 a 4 2 2 2 2 2 1 12【例 4 1】 已知 fex x,就 f5 Ae 5 B5 e Cln 5 Dlog 5e 解析: 方法一 令 t e x,就 xln t,所以 ftln t,即 fxln x所以 f5ln 5 方法二 令 e x5,就 x
10、 ln 5,所以 f5ln 5 答案: C 【例 4 2】 已知对数函数 fx的图象经过点 1 ,2,试求 f3的值9分析: 设出函数 fx的解析式,利用待定系数法即可求出解: 设 fx logaxa0,且 a 1,名师归纳总结 3对数函数fx的图象经过点1 , 2 9,f1loga12a21 929第 4 页,共 12 页99a111211 fxlog x f3log 3log111 1229333333【例 4 3】 已知对数函数fx的反函数的图象过点2,9 ,且 fb1 2,试求 b 的值解: 设 fxlogaxa0,且 a 1,就它的反函数为yaxa0,且 a 1,由条件知a2,从而
11、a3于是 fxlog 3x,就 fb log3b1 2,解得 b313 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载5对数型函数的定义域的求解1对数函数的定义域为 0, 2在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于 0,底数大于 0,且不等于 1如底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义一般地,判定类似于 ylogafx的定义域时,应第一保证 fx03求函数的定义域应满意以下原就:分式中分母不等于零;偶次根式中被开方数大于或等于零;指数为零的幂的底数不等于零;对数的底数大于零且不等于 1;对数的真
12、数大于零,假如在一个函数中数条并存,求交集【例 5】 求以下函数的定义域1ylog 51x;2ylog2x15x4;3 y log 0.5 4 x 3分析: 利用对数函数 y log axa0,且 a 1的定义求解解: 1要使函数有意义,就 1x0,解得 x1,所以函数 ylog51x的定义域是 x|x 1 5 x 40,2要使函数有意义,就 2 x 10, 解得 x4 且 x 1,52 x 1 1,所以函数 ylog2x15x4的定义域是 4 ,1 1, 53要使函数有意义,就 4 x 3 0, 解得3x1,log 0.5 4 x 3 0, 4所以函数 y log 0.5 4 x 3 的定义
13、域是 x 3 0或向右 b0或向下 b0时,两函数图象相同 当x0时的图象关于 y轴对称函数 yloga|x|a 0,且 a 1 保留 x轴上方的图象 函数 ylogaxa0,且 a 1- - - - - - -同时将 x轴下方的图象作关于 x轴的对称变换函数 y |log ax|a 0,且 a 1名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载3,2 ,就实数 b,c 的值【例 7 1】如函数 ylog axbca0,且 a 1的图象恒过定点 分别为 _ 解析: 函数的图象恒过定点 3,2 ,将3,2代入 yl
14、ogax bca0,且 a 1,得 2loga3bc又当 a0,且 a 1 时, log a10 恒成立, c 2log a3b0b 2答案: 2,2 【例 7 2】 作出函数 y|log 2x1| 2 的图象解: 第一步 作函数 y log2x 的图象,如图 ;其次步 将函数 ylog2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度, 得函数 ylog 2x1的图象,如图 ;第三步 将函数 ylog2x1在 x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换,得函数 y|log2x1|的图象,如图;第四步 将函数 y|log2x 1|的图象, 沿 y 轴方向向上平移 的图象,如图 8利用对数函数的单调性比
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- 2022 对数 函数 性质 练习
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