2022年对数函数性质及练习 .pdf
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1、精品资料欢迎下载对数函数及其性质1对数函数的概念(1)定义:一般地,我们把函数ylogax(a0,且 a1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0, )(2)对数函数的特征:特征logax的系数: 1logax的底数:常数,且是不等于1的正实数logax的真数:仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特征比如函数 ylog7x 是对数函数,而函数y 3log4x 和 ylogx2 均不是对数函数,其原因是不符合对数函数解析式的特点【例 1 1】 函数 f(x)(a2a1)log(a1)x 是对数函数,则实数a_解析: 由 a2a11,解得 a0,1又
2、 a10,且 a1 1,a1 答案: 1 【例 1 2】 下列函数中是对数函数的为_ (1)ylogax(a0,且 a1);(2)ylog2x2;(3)y8log2(x 1);(4)ylogx6(x0,且 x1);(5)ylog6x解析:序号是否理由(1)真数是x,不是自变量x(2)对数式后加2 (3)真数为 x1,不是 x,且系数为8,不是 1 (4)底数是自变量x,不是常数(5)底数是 6,真数是x2对数函数 ylogax(a0,且 a1)的图象与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精品资料欢迎下载(1)图象
3、与性质a 10a1 图象性质(1)定义域 x|x0 (2)值域 y|yR (3)当 x1 时, y0,即过定点 (1,0) (4)当 x1 时,y0;当 0 x1时, y0 (4)当 x1 时, y0;当 0 x1 时, y0 (5)在(0, )上是增函数(5)在(0, )上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧,其单调性取决于底数a1 时,函数单调递增;0a1 时,函数单调递减理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在掌握图象的基础上性质就容易理解了我们要注意数形结合思想的应用(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式yax(a0,且 a1)y
4、logax (a0,且 a1) 性质定义域R(0, ) 值域(0, )R过定点(0,1)(1,0) 单调性单调性一致,同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致,都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数 a 对对数函数的图象的影响底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当 a1 时, 对数函数的图象“上升”;当0 a1 时,对数函数的图象“下降”底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是a 1 还是 0a1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精品资料欢迎
5、下载【例 2】如图所示的曲线是对数函数ylogax 的图象已知a 从3,43,35,110中取值,则相应曲线C1,C2,C3, C4的 a 值依次为 () A3,43,35,110B3,43,110,35C43,3,35,110D43,3,110,35解析: 由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C4的底数 C3的底数 C2的底数 C1的底数故相应于曲线C1,C2,C3,C4的底数依次是3,43,35,110答案: A 点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一:利用底数对对数函数图象影响的规律:在x 轴上方 “底大图右 ”,在 x 轴下方 “底大图左 ”; (2)方法二:作直线
6、y1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判断各底数的大小3反函数(1)对数函数的反函数指数函数 yax(a 0,且 a1)与对数函数ylogax(a0,且 a1)互为反函数(2)互为反函数的两个函数之间的关系原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域;互为反函数的两个函数的图象关于直线yx 对称(3)求已知函数的反函数,一般步骤如下:由 y f(x)解出 x,即用 y 表示出 x;把 x 替换为 y,y 替换为 x;根据 yf(x)的值域,写出其反函数的定义域【例 3 1】若函数 yf(x)是函数 yax(a0,且 a1)的反函数, 且 f(2)1,则 f(x)() Alog2x
7、B12xC12log xD2x2解析: 因为函数yax(a0,且 a 1)的反函数是f(x)logax,又 f(2) 1,即 loga21,所以 a2故 f(x)log2x答案: A 【例 3 2】 函数 f(x)3x(0 x2)的反函数的定义域为() A(0, ) B(1,9 C(0,1) D9, ) 解析: 0 x2,13x9,即函数f(x)的值域为 (1,9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精品资料欢迎下载故函数 f(x)的反函数的定义域为(1,9 答案: B 【例 3 3】 若函数 yf(x)的反函数图象
8、过点(1,5),则函数yf(x)的图象必过点() A(5,1) B (1,5) C(1,1) D(5,5) 解析: 由于原函数与反函数的图象关于直线yx 对称,而点 (1,5)关于直线yx 的对称点为(5,1),所以函数yf(x)的图象必经过点(5,1)答案: A 4利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式ylogax(a0,且 a1)中仅含有一个常数a,则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式,这样的条件往往是已知f(m)n 或图象过点 (m,n)等等通常利用待定系数法求解,设出对数函数的解析式f(x)logax(a0,且 a 1),利用已知条件列方程求出常数a的值利用待定系
9、数法求对数函数的解析式时,常常遇到解方程,比如logamn,这时先把对数式 logamn 化为指数式的形式anm, 把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式mkn(k0, 且 k1),则解得 ak0还可以直接写出1nam,再利用指数幂的运算性质化简1nm例如: 解方程 loga4 2, 则 a24, 由于2142, 所以12a 又 a0, 所以12a 当然,也可以直接写出124a,再利用指数幂的运算性质,得11212214(2 )22a【例 4 1】 已知 f(ex)x,则 f(5)() Ae5B5eCln 5Dlog5e 解析: (方法一 )令 t ex,则 xln t,所以 f(t)ln t
10、,即 f(x)ln x所以 f(5)ln 5(方法二 )令 ex5,则 x ln 5,所以 f(5)ln 5答案: C 【例 4 2】 已知对数函数f(x)的图象经过点1,29,试求 f(3)的值分析: 设出函数f(x)的解析式,利用待定系数法即可求出解: 设 f(x) logax(a0,且 a1),对数函数f(x)的图象经过点1,29,11log299afa219a11222111933 f(x)13log x f(3)111331log 3log3 1【例 4 3】 已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9) ,且 f(b)12,试求 b 的值解: 设 f(x)logax(a0,且
11、a 1),则它的反函数为yax(a0,且 a 1),由条件知a2932,从而 a3于是 f(x)log3x,则 f(b) log3b12,解得 b1233精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精品资料欢迎下载5对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0, )(2)在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义一般地,判断类似于ylogaf(x)的定义域时,应首先保证f(x)0(3)求函数的定义域应满足
12、以下原则:分式中分母不等于零;偶次根式中被开方数大于或等于零;指数为零的幂的底数不等于零;对数的底数大于零且不等于1;对数的真数大于零,如果在一个函数中数条并存,求交集【例 5】 求下列函数的定义域(1)ylog5(1x);(2)ylog(2x1)(5x4);(3)0.5log(43)yx分析: 利用对数函数y logax(a0,且 a1)的定义求解解: (1)要使函数有意义,则1x0,解得 x1,所以函数 ylog5(1x)的定义域是 x|x 1(2)要使函数有意义,则540,210,211,xxx解得 x45且 x1,所以函数 ylog(2x1)(5x4)的定义域是4,15(1, )(3)
13、要使函数有意义,则0.5430,log(43)0,xx解得34x1,所以函数0.5log(43)yx的定义域是30)或向右 (b0)或向下 (b0时,两函数图象相同当x0时的图象关于 y轴对称函数 yloga|x|(a 0,且 a1) 函数 ylogax(a0,且 a1)-保留x轴上方的图象同时将 x轴下方的图象作关于x轴的对称变换函数 y |logax|(a 0,且 a1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精品资料欢迎下载【例 7 1】若函数 yloga(xb)c(a0,且 a1)的图象恒过定点(3,2),则实数
14、 b,c 的值分别为 _ 解析: 函数的图象恒过定点(3,2),将(3,2)代入 yloga(x b)c(a0,且 a1),得 2loga(3b)c又当 a0,且 a1 时, loga10 恒成立, c 2loga(3b)0b 2答案: 2,2 【例 7 2】 作出函数y|log2(x1)| 2 的图象解: (第一步 )作函数 y log2x 的图象,如图;(第二步 )将函数 ylog2x 的图象沿x 轴向左平移1 个单位长度, 得函数 ylog2(x1)的图象,如图 ;(第三步 )将函数 ylog2(x1)在 x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换,得函数 y|log2(x1)|的图象,如图
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