数学物理方法综合试题及其答案解析.doc

复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设，则（）A B C D2复数的三角表示式为（）A B C D3设C为正向圆周|z|=1，则积分等于（）A0B2i C2 D24设函数，则等于（）A B C D解答：5是函数的（）A 3阶极点B4阶极点C5阶极点D6阶极点6下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部|w|<1的为（）A B CD7. 线性变换 ( ）A.将上半平面>0映射为上半平面Im>0B.将上半平面>0映射为单位圆|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|<18.若在Z平面上解析，则=（ ）A.) B. C. D. 9.在 的罗朗展开式是（）A. B. C.D.10.=（ ）A.sin9B.cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11方程的解为_。12幂极数的收敛半径为_。13设，则Imz_。14设C为正向圆周|z|=1，则=_。15设C为正向圆周，其中，则=_。16函数在点z=0处的留数为_。三、计算题(本大题共8小题，共52分)17. 计算积分的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。18. 函数 (n为正整数)在何处求导？并求其导数19.求的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)1.20.计算积分的值，其中C为正向圆周|z|=2.21.试求函数f(z)=在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.22.求出在所有孤立奇点处的留数.23.求级数的和函数.24.函数在点为零，用级数展开法指出该零点的级.四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分)25利用留数求积分的值26设Z平面上的区域为，试求下列保角映射（1）把D映射成W1平面上的角形域；(2) 把D1映射成W2平面上的第一象限;（3）把D2映射成W平面的上半平面：Imw>0;（4）把D映射成G。27利用拉氏变换解常微分方程初值问题：综合试题（一）答案一、 1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A二、11或 12e 130144i 15或 166三、17解：因在C内有二阶级点z=I，所以18. 解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.19解1：，由CR条件，有，。再由，得，于是，。由得。故解2： 以下同解1。20解1： 。解2：。 21解：因为，（2分）所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得22. 解：函数 有孤立奇点0与，而且在内有如下Laurent展开式：故 23. 解：故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：所以于是有：24.解：故z=0为f(z)的15级零点四、25. 解：在上半平面内，有一阶极点z=i和z=3i。，。26. 解：（1）由 解得交点z1+1,z2=-1。设，则它把D映射成W1平面上的（2）设，则它把D1映射成 W2平面上的第一象限。（3）设，则它把D2映射成W平面的上半平面G：Imw>0。（4）。(Z)1-10-ii(W1)0(W)0(W2)027.设，对方程两边取拉氏变换，有，从中解得再求拉氏逆变换，得=1-et或利用卷积定理得到1*et =1- et