2020届高考数学（理）数形结合思想专练经典.docx

数形结合思想专练一、选择题1.若f(x)是偶函数，且在(0，)上是增函数，又f(3)0，则xf(x)<0的解集是()A.x|3<x<0或x>3B.x|x<3或0<x<3C.x|x<3或x>3D.x|3<x<0或0<x<3答案B解析因为f(x)是偶函数，且在(0，)上是增函数，则在(，0)上是减函数.而xf(x)是奇函数，画xf(x)大致图象如图，由图可知：xf(x)<0的解集为x|x<3或0<x<3故选B.2.方程sinx的解的个数是()A.5 B6 C7 D8答案C解析在同一平面直角坐标系中画出y1sinx和y2的图象，如图观察图象可知y1sinx和y2的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinx有7个解.3.若直线yxb与曲线y3有公共点，则实数b的取值范围是()A.1,12 B12，12C.12，3 D1，3答案C解析曲线方程可化简为(x2)2(y3)24(1y3)，即表示圆心为(2,3)、半径为2的半圆，数形结合，当直线yxb与此半圆相切，须满足圆心(2,3)到直线yxb距离等于2，解得b12或b12.因为是下半圆，则舍去b12；当直线过点(0,3)时，解得b3，故12b3，所以C正确.4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A.1 B2 C. D.答案C解析如图，设Oa，Ob，Oc，则Cac，Cbc.由题意知CC，O，A，C，B四点共圆.当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|O|.5.2017浙江杭州诊断若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf(x)的图象上；P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数yf(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)已知函数f(x)有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是()A.(，0) B(0,1)C. D(0，)答案B解析根据题意可知“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称可作出函数yln (x)(x<0)关于原点对称的函数yln x(x>0)的图象，使它与函数ykx1(x>0)的图象交点个数为2即可设切点为(m，ln m)，yln x的导函数为y，可得km1ln m，k，解得m1，k1，可得函数yln x(x>0)过(0，1)点的切线斜率为1，结合图象可知k(0,1)时有两个交点故选B.二、填空题6.当x(1,2)时，(x1)2<logax恒成立，则a的取值范围为_.答案(1,2解析在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1,2)及ylogax的图象，若ylogax过(2,1)，则loga21，a2.结合图形，若使x(1,2)时，(x1)2<logax恒成立，则1<a2.7.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，若抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_.答案2解析记抛物线y24x的焦点为F(1,0)，注意到直线l2：x1是抛物线y24x的准线，于是抛物线y24x上的动点P到直线l2的距离等于|PF|，问题即转化为求抛物线y24x上的动点P到直线l1：4x3y60的距离与它到焦点F(1,0)的距离之和的最小值，结合图形，知该最小值等于焦点F(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即为2.8.2017山西四校模拟设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为_.答案4解析由题意可得即又a4a13d，故此题可转化为线性规划问题画出可行域如图所示.作出直线a13d0，经平移可知当直线a4a13d过可行域内点A(1,1)时，截距最大，此时a4取最大值4.三、解答题9.2018山西四校联考设函数f(x)|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值，并求出f(x)取最小值时x的取值范围；(2)若不等式f(x)a(x1)的解集为空集，求实数a的取值范围.解(1)f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时取等号，f(x)min3，此时x1,2.(2)f(x)那么函数f(x)的图象如图所示.由于ya(x1)的图象是过定点P(1,0)、斜率为a的直线，由图可得不等式f(x)a(x1)的解集为空集时，a的取值范围是kACa<kPB，即a2,1).10.已知实数x，y满足不等式组求函数z的值域.解由解析几何知识可知所给的不等式组表示圆x2y24的右半圆域(含边界)，z可改写为y3z(x1)，把z看作参数，则此方程表示过定点P(1，3)，斜率为z的直线系.那么所求问题的几何意义是：求过半圆域x2y24(x0)内或边界上任一点与过点P(1，3)的直线斜率的最大、最小值.由图显见过点P和点A(0,2)的直线斜率最大，zmax5.过点P向半圆作切线，切线的斜率最小.设切点为B(a，b)，则过点B的切线方程为axby4，又B在半圆周上，P在切线上，则有又a>0，解得因此zmin.综上可知函数的值域为.11.已知a>0，函数f(x)x|xa|1(xR).(1)当a1时，求所有使f(x)x成立的x的值；(2)当a(0,3)时，求函数yf(x)在闭区间1,2上的最小值.解(1)当a1时，因为x|x1|1x，所以x1或x1.(2)f(x)(其示意图如图所示)当0<a1时，x1a，这时，f(x)x2ax1，对称轴是x<1，所以函数yf(x)在区间1,2上递增，f(x)minf(1)2a；当1<a2时，当xa时，函数f(x)minf(a)1；当2<a<3时，x2<a，这时，f(x)x2ax1，对称轴是x，f(1)a，f(2)2a3.因为(2a3)aa3<0，所以函数f(x)minf(2)2a3.综上，当0<a1时，f(x)min2a；当1<a2时，f(x)min1；当2<a<3时，f(x)min2a3.12.设函数F(x)其中f(x)ax33ax，g(x)x2ln x，方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.解x(0,1)时，g(x)x<0，x(1，)时，g(x)x>0，所以当x1时，g(x)取极小值g(1).(1)当a0时，方程F(x)a2不可能有4个解；(2)当a<0时，因为f(x)3a(x21)，若x(，0时，f(x)3a(x21)，当x(1,0时，f(x)>0，当x(，1)时，f(x)<0，所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图1所示，从图象可以看出F(x)a2不可能有4个解；(3)当a>0时，当x(，1)时，f(x)>0，当x(1,0时，f(x)<0，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图2所示，从图象看出方程F(x)a2若有4个解，则<a2<2a，且2a>，所以实数a的取值范围是.5