人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制教学设计.docx

1.1.2 弧度制教学设计一、教学目标（一）知识与技能目标（1）理解并掌握弧度制的定义；能正确地进行角度制与弧度制的换算；（2）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系；（3）熟记特殊角的弧度数；（4）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式.（二）过程与方法目标培养学生通过探究已学知识，发现新知识的能力.（三）情感、态度与价值观目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，让学生感受数学表示的多样性；培养学生求异创新的精神，增强学习数学的兴趣；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美二、教学重点难点教学重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制度的换算；弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明教学难点：理解弧度制的定义，“角度制”与“弧度制”的区别与联系三、教学方法与教学用具 教学方法：让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，理解弧度的意义.教学用具：多媒体.四、教学过程（一）问题情境1.最近有人在网上这样调侃通货膨胀求：1元=1分 解：1元=100分=10分10分=0.1元0.1元=0.01元=1分这样的解法你觉得正确吗？2.我们从度量长度和重量等等上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?设计意图创设问题1来源于网络，跟生活密切相关，更能激起学生参与的兴趣，此巧妙的让学生看到同样多的钱可以用不同的单位表示，也让学生看到不同的单位做运算导致这样的笑话，进而明白在同一个等式里有不同的单位运算是容易出问题的。问题2通过类比导入本节课的课题，激起学生学习的欲望（二）研讨新知1.探究新知问题：在初中几何里，我们学过角的度量，1度的角是怎样定义的呢? 那么对于角的大小,我们常用度、分、秒这些单位来度量, 度、分、秒之间是几进制的？ 讨论结果:1的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.其中1度等于60分，1分等于60秒.设计意图问题让学生回忆初中有关角度的知识,这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.追溯数学史角度制源于天文观测：古代认为一年是360天，而在天文学测量中我们必须关注一天太阳绕过地球的距离（弧长），于是认为一天太阳做过的弧长为1度，这弧长所对应的圆心角也称为1度。后来由于认知上的不适应（弧长是长度，我们一般用米，千米表示），原本引入弧长的制度：度、分、秒，被广泛的接受为度量角的角度制。而我们也注意到360刚好可以被1、2、3、4、5、 6、8、9、10整除，能被这么多整除最小整数就是360了。于是也有人认为：人们选一周是纯属是为了计算和等分的方便。古代数学家单纯运用角度值情况下进行了600年的三角运算，但是计算繁复，一直困扰这些研究天文学的数学家们，从希帕霍斯关注三角函数开始，数学家就一直想改善这种状况，希望使得三角函数的运算变得简便。例如想画三角函数的图像，通过列表、描点、连线，可以完成图像。尽管我们用1mm来表示，这样的刻度也是比较大的，也许需要将好几张纸拼起来才能做出完整的曲线。另外，我们知道，在中，的度量单位是度，60进制的，而的度量单位是实数，10进制的。在同一个问题中，使用两个不同的单位很不方便，所以对于角有必要引入一种新的度量角的单位，最好是以实数为度量单位。问题：在初中学过弧长公式是什么？讨论结果: 问题：已知圆心角是，当半径 r=1,2 ，3时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比.发现什么规律？ 讨论结果:通过计算发现，圆心角的度数不变，不管半径为多少，的值不变，这进一步说明，我们可以用弧长与半径的比值来描述角的大小，即长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，从而建立一种新的度量制；这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制弧度制的单位符号：rad设计意图问题通过回忆所学知识并通过计算，得出任意角的度数与弧长和半径的关系，以达到与新的知识之间建立联系。让学生自然而然的领悟到弧度制的产生及其概念同时鼓励学生也有当数学家的天赋。1弧度的角的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。 追溯数学史6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一个单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。1748年，在他的一部划时代著作无穷小分析概论中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周等于弧度，1弧度等于圆周的。这一意思将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算。 弧度(radian)一词，是爱尔兰工程师汤姆森（James Thomson,公元1822年-1892年）首先使用，由半径(radius)的前四个字母与角（angle）的前两个字母合成。现在中学数学教科书中有时用rad表示弧度，有时把单位省去。设计意图：介绍弧度制单位符号“rad”的来历，让学生体会数学符号的编制并非随意而为的。这有利于学生理解概念，更准确地记住表达方式。2.探究活动（1）探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成表格. 弧的长旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向逆时针方向我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应. 即任意角的集合 实数集R （引导学生一起完成） (2)思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.(3)根据探究中填空:,度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.设计意图用探究形式让学生找出规律，并通过提问引导学生发现一般规律。既发挥学生学习的自主性，也展现了教师教学的指导性，使知识不再是铁板一块，使课程自然又富有节奏.（三）例题讲解例1.按照下列要求,把化成弧度. 例2.将换算成角度.注意:角度制与弧度制的换算主要抓住.填写特殊角的度数与弧度数的对应表:度弧度设计意图体会弧度制与角度制的关系，较熟练地进行角度与弧度的互化。例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1); (2); (3).其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.设计意图通过公式的推导，可让学生更熟练角度制与弧度制的转化，同时体会弧度制的优势使得弧长公式与扇形面积公式更简洁，这也是引入弧度制的原因之一。（四）反馈练习1、将下列各角化成0到的角加上的形式 (3) -14802、用弧度制表示终边在x轴上角的集合、终边在y轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？3、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，求这个圆心角所在的扇形面积. 4、已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角的弧度数5、已知扇形的周长为8cm，求该扇形面积的最大值.设计意图通过练习，检验学生是否掌握角度制与弧度制的互化，以及扇形公式的运用。（五）总结归纳1.什么叫1弧度角?2.任意角的弧度的定义3.“角度制”与“弧度制”的联系与区别4.弧长公式与扇形面积公式.（六）布置作业必做题：教材P10练习A组7、8、10题选做题：教材P10练习B组2、3题（七）板书设计1.1.2 弧度制1、弧度制的概念2、角度与弧度之间的转换3、弧长公式与扇形面积公式例1例2例3反馈练习 总结归纳 (八)教学反思 本节课从复习角度制出发，引发学生认知冲突，然后通过探究活动，引导学生得到弧度的概念，再由学生自主探究，研究圆心角的弧度数的求法，角度与弧度的换算关系，这一过程是学习知识的过程，又是“发现”知识的过程，有利于培养学生的探究能力。另外，在教学过程中融入数学史，沿着弧度产生发展演变的历程去教学，数学概念不再那么空洞，数学知识背后隐藏的故事，使得数学概念变得充实而富有趣味，提高了学生学习兴趣以及参与课堂的积极性。6