高中数学数列通项公式的求法-高中数学数列典型例题.docx

高中数学数列通项公式的求法 高中数学数列典型例题 数列通项公式是高中数学的重点与难点，那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由小编告诉你答案。 高中数学数列通项公式的求法总结 一、一阶线性递推数列求通项问题 一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列f(n)可求前n项和). 当 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当 为等差数列时，则 为二阶等差数列，其通项公式应当为 形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是 ，其常数项一定为0.2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列g(n)可求前n项积). 当 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式.3. ;这类数列通常可转化为 ，或消去常数转化为二阶递推式 .例1已知数列 中， ,求 的通项公式.解析：解法一：转化为 型递推数列. 又 ，故数列 是首项为2，公比为2的等比数列. ，即 .解法二：转化为 型递推数列. =2xn-1+1(n2) =2xn+1-，得 (n2)，故 是首项为x2-x1=2，公比为2的等比数列，即 ，再用累加法得 . 解法三：用迭代法. 当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明.例2已知函数 的反函数为 求数列 的通项公式.解析：由已知得 ，则 .令 =,则 .比较系数，得 .即有 .数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，故 . 评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之. (4) 若取倒数,得 ，令 ，从而转化为(1)型而求之.(5) ;这类数列可变换成 ，令 ，则转化为(1)型一阶线性递推公式.例3设数列 求数列 的通项公式.解析： ，两边同除以 ，得 .令 ，则有 .于是，得 ，数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，故 ，即 ，从而 .例4设 求数列 的通项公式.解析：设 用 代入，可解出 . 是以公比为-2，首项为 的等比数列. ，即 .(6) 这类数列可取对数得 ，从而转化为等差数列型递推数列. 二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列 例5设数列 求数列 的通项公式.解析：由 可得 设 故 即 用累加法得 或 例6在数列 求数列 的通项公式. 解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列. 令 使数列 是以 为公比的等比数列( 待定).即 对照已给递推式，有 即 的两个实根.从而 或 由式得 ;由式得 .消去 .例7在数列 求 .解析：由 ，得 .式+式，得 ，从而有 .数列 是以6为其周期.故 = =-1. 三、特殊的n阶递推数列 例8已知数列 满足 ，求 的通项公式.解析： -，得 . 故有 将这几个式子累乘，得 又 例9数列 满足 ，求数列 的同项公式.解析：由 ，得 .式-式，得 ，或 ，故有 . , .将上面几个式子累乘，得 ，即 . 也满足上式， .高中数学常见数列通项公式 累加法 递推公式为a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和 例：数列an，满足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n2-1)，求an通项公式 解：a(n+1)=an+1/(4n2-1)=an+1/(2n-1)-1/(2n+1)/2 an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+1/(2n-3)-1/(2n-1) an=1/2+1/2(1-1/(2n-1)=(4n-3)/(4n-2) 累乘法 递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积 例：数列an满足a(n+1)=(n+2)/nan，且a1=4，求an 解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)××a2/a1=2n(n+1) 构造法 将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列 连加相减，连乘相除 例：an满足a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2) 解：令bn=a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2) nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) an=3(n+1) 看了“高中数学数列通项公式的求法”的人还看了： 1.高二数学数列试题的解题方法和技巧 2.高中数学证明方法 3.2017高考必备数学公式 4.高二数学数列知识点总结 5.高中数学等差数列求和公式 6.高中数学数列求和教学反思 第 9 页 共 9 页