2022年二次函数综合练习 .pdf

学习必备欢迎下载20XX年初三数学二次函数综合题归类复习1图像与性质：例 1(20XX 年四川资阳，第24 题 12 分 )如图，已知抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为A（3，0） ，与y 轴的交点为B（0， 3） ，其顶点为C，对称轴为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为 y 轴上的一个动点，当ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）将 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度（ 0m3）得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC 重叠部分的面积记为S，用 m 的代数式表示S考点：二次函数综合题分析： （1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴的另一个交点为（1，0） ，根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）分三种情况：当MA=MB 时；当AB=AM 时；当AB=BM 时；三种情况讨论可得点M 的坐标（3）平移后的三角形记为PEF根据待定系数法可得直线AB 的解析式为y=x+3易得直线EF 的解析式为 y=x+3+m根据待定系数法可得直线AC 的解析式 连结 BE，直线 BE 交 AC 于 G，则 G（，3） 在AOB 沿 x 轴向右平移的过程中分二种情况：当0m 时；当 m 3 时；讨论可得用m 的代数式表示 S解： （1）由题意可知， 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为（ 1，0） ，则，解得故抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）当 MA=MB 时， M（0，0） ；当 AB=AM 时， M（0， 3） ；当 AB=BM 时， M（0， 3+3）或 M（0，33） 所以点 M 的坐标为：（0，0） 、 （ 0， 3） 、 （0，3+3） 、 （0， 33） （3）平移后的三角形记为PEF设直线AB 的解析式为y=kx+b，则，解得则直线AB 的解析式为y=x+3 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度（0m3）得到 PEF，易得直线EF 的解析式为y=x+3+m设直线 AC 的解析式为y=kx+b，则，解得则直线AC 的解析式为y=2x+6连结 BE，直线 BE 交 AC 于 G，则 G（，3） 在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中当 0m 时，如图1 所示设PE 交 AB 于 K，EF 交 AC 于 M则 BE=EK=m，PK=P A=3m，联立，解得，即点 M（3m，2m） 。故 S=SPEFSPAK SAFM=PE2PK2AF?h=（3m）2m?2m=m2+3m当m3 时，如图 2 所示设PE 交 AB 于 K，交 AC 于 H因为 BE=m，所以 PK=PA=3m，又因为直线AC 的解析式为y= 2x+6，所以当x=m 时，得 y=6 2m，所以点H（m，6 2m） 故 S =SPAHSP AK=PA?PHPA2=（3m）?（62m）（3m）2=m23m+综上所述，当0m 时， S=m2+3m；当 m3 时， S=m23m+点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度2旋转问题：例 2. （2014?福建泉州，第22 题 9 分）如图，已知二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0） ，A（2，0） （ 1）写出该函数图象的对称轴；（ 2）若将线段OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA ，试判断点A 是否为该函数图象的顶点？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习必备欢迎下载考点：二次函数的性质；坐标与图形变化旋转分析：（1）由于抛物线过点O（0，0） ，A（2，0） ，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作 ABx 轴与 B，先根据旋转的性质得OA= OA=2， A OA=2，再根据含30 度的直角三角形三边的关系得 OB=OA=1 ，AB=OB=，则 A点的坐标为（ 1，） ，根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线 y=（x1）2+的顶点解答：解： （1）二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（ 0，0） ， A（2，0） 抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点 A是该函数图象的顶点理由如下：如图，作 ABx 轴于点 B，线段 OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA ，OA= OA=2，A OA=2， 在 RtAOB中， OA B=30 ， OB=OA=1 ， A B=OB=，A 点的坐标为（ 1，） ，点 A为抛物线y=（x1）2+的顶点点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a0 ）的顶点坐标为（，） ，对称轴直线x=， 二次函数 y=ax2+bx+c （a0 ） 的图象具有如下性质：当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c （a0 ）的开口向上， x时， y随 x 的增大而减小；x时， y 随 x 的增大而增大；x=时， y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c （a0 ）的开口向下， x时，y 随 x 的增大而增大；x时， y 随 x 的增大而减小；x=时， y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点也考查了旋转的性质3与三角形结合：例 3 （2014?广西贺州，第26 题 12 分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点 A（1，14） ；点 F（0，1）在 y 轴上直线y=1 与 y 轴交于点H（ 1）求二次函数的解析式；（ 2）点 P 是（ 1）中图象上的点，过点P 作 x 轴的垂线与直线y=1 交于点 M，求证： FM 平分 OFP；（ 3）当 FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点 A 代入函数解析式，求出a 的值，继而可求得二次函数的解析式；（ 2）过点 P 作 PBy 轴于点 B，利用勾股定理求出PF，表示出 PM，可得 PF=PM，PFM=PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（ 3）首先可得 FMH =30 ，设点 P 的坐标为（ x，14x2） ，根据 PF=PM=FM，可得关于x 的方程，求出x的值即可得出答案解答：（1）解：二次函数图象的顶点在原点O，设二次函数的解析式为y=ax2，将点 A（1，14）代入 y=ax2得： a=14，二次函数的解析式为y=14x2；（ 2）证明：点P 在抛物线y=14x2上，可设点P 的坐标为（ x，14x2） ，过点 P 作 PBy 轴于点 B，则 BF=14x21，PB=x， RtBPF 中，PF=14x2+1， PM直线 y=1， PM=14x2+1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习必备欢迎下载PF=PM， PFM=PMF，又 PMx 轴， MFH =PMF， PFM =MFH ， FM 平分 OFP；（3）解：当 FPM 是等边三角形时，PMF =60 ， FMH =30 ，在 RtMFH 中， MF=2FH=2 2=4， PF=PM=FM，14x2+1=4，解得： x= 2，14x2=14 12=3，满足条件的点P 的坐标为（ 2，3）或（ 2，3） 点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通4与四边形结合：例 4 （2014?福建泉州，第25 题 12 分）如图，在锐角三角形纸片ABC 中， ACBC，点 D，E，F 分别在边AB，BC，CA 上（1）已知： DEAC，DF BC判断： 四边形 DECF 一定是什么形状？裁剪：当 AC=24cm，BC=20cm，ACB=45 时，请你探索：如何剪四边形DECF ，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠：请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由考点：四边形综合题分析：（1）根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，根据ADF ABC 推出对应边的相似比， 然后进行转换，即可得出h 与 x 之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积 S关于 h 的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s 最大时 h 的值（2） 第一步，沿 ABC 的对角线对折， 使 C 与 C1 重合， 得到三角形ABB1， 第二步，沿 B1 对折， 使 DA1BB1解答： .解： （1） DEAC，DF BC，四边形DECF 是平行四边形作 AGBC，交 BC 于 G，交 DF 于 H， ACB=45 ，AC=24cm，AG=12，设 DF=EC=x，平行四边形的高为h，则 AH =12h， DFBC，=， BC=20cm，即：=，x= 20， S=xh=x? 20=20hh2=6， AH=12， AF=FC，在 AC 中点处剪四边形DECF ，能使它的面积最大（ 2） 第一步，沿 ABC 的对角线对折， 使 C 与 C1重合， 得到三角形ABB1， 第二步，沿 B1对折，使 DA1BB1 理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、 二次函数的最值关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论5新定义题：例 5 （ 2014?安徽省 ,第 22 题 12 分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为 “ 同簇二次函数 ” （ 1）请写出两个为“ 同簇二次函数” 的函数；（ 2）已知关于x 的二次函数y1=2x24mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5，其中 y1的图象经过点A（1，1） ，若 y1+y2与 y1为“ 同簇二次函数” ，求函数 y2的表达式，并求出当0 x3时， y2的最大值考点：二次函数的性质；二次函数的最值专题：新定义分析：（1） 只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“ 同簇二次函数”的函数表达式即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习必备欢迎下载（2）由 y1的图象经过点A（1，1）可以求出m 的值，然后根据y1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数 ” 就可以求出函数 y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题解答：解： （1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（xh）2+k，当 a=2， h=3， k=4 时，二次函数的关系式为y=2（x3）2+420，该二次函数图象的开口向上当a=3，h=3，k=4 时，二次函数的关系式为y=3（x3）2+430，该二次函数图象的开口向上两个函数y=2（x3）2+4 与 y=3（x3）2+4 顶点相同，开口都向上，两个函数y=2（x3）2+4 与 y=3（x3）2+4 是“ 同簇二次函数 ” 符合要求的两个“ 同簇二次函数 ” 可以为： y=2（x3）2+4 与 y=3（x3）2+4（2） y1的图象经过点A（1，1） ， 2 124 m 1+2m2+1=1整理得： m22m+1=0解得： m1=m2=1 y1=2x24x+3=2（x1）2+1y1+y2=2x24x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b4）x+8 y1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数” ， y1+y2=（a+2） （x1）2+1=（a+2）x22（a+2）x+（a+2）+1其中 a+20，即 a 2解得：函数y2的表达式为： y2=5x2 10 x+5y2=5x2 10 x+5=5（x1）2函数y2的图象的对称轴为x=150，函数y2的图象开口向上当 0 x1时，函数y2的图象开口向上，y2随 x 的增大而减小当x=0 时， y2取最大值，最大值为5（0 1）2=5当 1 x3 时，函数y2的图象开口向上，y2随 x 的增大而增大当x=3 时， y2取最大值，最大值为5（3 1）2=20综上所述：当0 x3时，y2的最大值为20点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性） ，考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键6运动型问题：例 6 （ 2014?广东，第 25 题 9 分）如图，在 ABC 中， AB=AC，ADAB 于点 D，BC=10cm，AD=8cm点P 从点 B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线 m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB、AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（ t0） （ 1）当 t=2 时，连接 DE、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（ 2）在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；（ 3）是否存在某一时刻t，使 PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值； 若不存在， 请说明理由考点：相似形综合题分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（ 2）如答图2 所示，首先求出PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（ 3）如答图3 所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解解答：（1）证明：当t=2 时， DH =AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答图1 所示又 EFAD， EF 为 AD 的垂直平分线，AE=DE，AF=DF AB=AC，ADAB 于点 D， ADBC， B=C EFBC， AEF=B， AFE=C， AEF=AFE， AE=AF， AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF 为菱形（ 2）解：如答图2 所示，由（ 1）知 EF BC， AEF ABC，即，解得： EF=10tSPEF=EF? DH =（ 10t）?2t=t2+10t=（t2）2+10 当 t=2 秒时， SPEF存在最大值，最大值为10，此时 BP=3t=6（ 3）解：存在理由如下：若点 E 为直角顶点，如答图3所示，此时PEAD，PE=DH=2t，BP=3t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习必备欢迎下载PEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；若点 F 为直角顶点，如答图3所示，此时PEAD， PF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得 t=；若点 P 为直角顶点，如答图3所示过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则 EM=FN=DH =2t， EMFN ADEMAD，即，解得 BM=t， PM=BPBM=3tt=t在 RtEMP 中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，即，解得 CN=t， PN=BCBPCN=103tt=10t在 RtFNP 中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t2 85t+100在 RtPEF 中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即： （10t） 2=（t2）+（t285t+100）化简得：t235t=0，解得： t=或 t=0（舍去）t=综上所述，当t=秒或 t=秒时， PEF 为直角三角形点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想7代数与几何综合：例 7. （2014?广西玉林市、防城港市，第26 题 12 分）给定直线l：y=kx，抛物线 C：y=ax2+bx+1（1）当 b=1 时， l 与 C 相交于 A， B 两点，其中A 为 C 的顶点， B 与 A 关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l 向上平移 k2+1 个单位长度得到直线r，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点求此抛物线的解析式；若P 是此抛物线上任一点，过P 作 PQy 轴且与直线y=2 交于 Q点， O 为原点求证：OP=PQ考点：二次函数综合题分析：（1）直线与抛物线的交点B 与 A 关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很使用于韦达定理由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得a 值（ 2）直线 l：y=kx 向上平移k2+1，得直线 r：y=kx+k2+1根据无论非零实数k 取何值， 直线 r 与抛物线 C：y=ax2+bx+1 都只有一个交点，得ax2+（bk）xk2=0 中 =0这虽然是个方程，但无法求解这里可以考虑一个数学技巧，既然k 取任何值都成立，那么代入最简单的1，2 肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于a，b 的方程组，则a，b 可能的值易得但要注意答案中，可能有的只能满足 k=1，2 时，并不满足任意实数k，所以可以再代回=中，若不能使其结果为0，则应舍去求证 OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出OP，PQ 的值， 再进行比较 这里也有数学技巧， 讨论动点 P 在抛物线 y=x2+1 上， 则可设其坐标为 （x， x2+1） ，进而易求OP，PQ解答：（1）解： l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当 b=1 时有 A，B 两交点， A，B 两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即 ax2+（1 k）x+1=0 B 与 A 关于原点对称，0=xA+xB=， k=1 y=ax2+x+1=a（x+）2+1，顶点（， 1）在 y=x 上，=1，解得a=（ 2）解：无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点， k=1 时， k=2 时，直线r 与抛物线 C 都只有一个交点当 k=1 时， r：y=x+2，代入C：y=ax2+bx+1 中，有 ax2+（b1）x1=0， =0，（ b1）2+4a=0，当 k=2 时， r：y=2x+5，代入C：y=ax2+bx+1 中，有 ax2+（b 2）x4=0， =0，（ b 2）2+16a=0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习必备欢迎下载联立得关于a，b 的方程组，解得或r：y=kx+k2+1 代入 C：y=ax2+bx+1，得 ax2+（bk）xk2=0， =当时， =0，故无论 k取何值，直线r 与抛物线 C 都只有一个交点当时， =，显然虽k 值的变化，不恒为0，所以不合题意舍去C： y=x2+1证明：根据题意，画出图象如图1，由 P 在抛物线 y=x2+1 上，设 P 坐标为（ x，x2+1） ，连接 OP，过 P 作 PQ直线 y=2 于 Q，作 PDx轴于 D， PD=|x2+1|，OD=|x|，OP=，PQ=2yP=2（x2+1）=，OP=PQ点评：本题考查了二次函数、一次函数及图象，图象平移解析式变化，韦达定理及勾股定理等知识，另涉及一些数学技巧，学生解答有一定难度，需要好好理解掌握8面积问题：例 8 （2014?温州，第21 题 10 分）如图，抛物线y= x2+2x+c 与 x 轴交于 A，B 两点，它的对称轴与x 轴交于点 N，过顶点M 作 MEy 轴于点 E，连结 BE 交 MN 于点 F，已知点A 的坐标为（1，0） （1）求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标（2）求 EMF 与 BNE 的面积之比考点 ：抛物线与x 轴的交点； 二次函数的性质； 待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质分析：（1）直接将（ 1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；（ 2）利用 EMBN，则 EMF BNF，进而求出EMF 与 BNE 的面积之比解答：解： （1）由题意可得：（1）2+2 （ 1）+c=0，解得： c=3， y=x2+2x+3， y=x2+2x+3=（ x1）2+4，顶点M（1，4） ；（ 2） A（ 1，0） ，抛物线的对称轴为直线x=1，点 B（ 3，0） ， EM=1，BN=2， EMBN， EMF BNF，=（）2=（）2=点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出 EMF BNF是解题关键9探究型问题：例 9 （2014?舟山，第 24 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，A 是抛物线y=x2上的一个动点，且点A 在第一象限内 AEy 轴于点 E，点 B 坐标为（ 0，2） ，直线 AB 交 x 轴于点 C，点 D 与点 C 关于 y 轴对称，直线 DE 与 AB 相交于点F，连结 BD设线段AE 的长为 m， BED 的面积为S（ 1）当 m=时，求 S的值（ 2）求 S关于 m（m2 ）的函数解析式（ 3）若 S=时，求的值；当m2 时，设=k，猜想 k 与 m 的数量关系并证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习必备欢迎下载考点 ：二次函数综合题专题 ：综合题分析：（1）首先可得点A 的坐标为（ m， m2） ，再由 m 的值，确定点B 的坐标，继而可得点E 的坐标及BE、OE 的长度，易得ABE CBO，利用对应边成比例求出CO，根据轴对称的性质得出DO，继而可求解 S的值；（2）分两种情况讨论， （I）当 0 m 2 时，将 BE?DO 转化为 AE? BO，求解；（II）当 m2 时，由（ I）的解法，可得S关于 m 的函数解析式；（3）首先可确定点A 的坐标，根据=k，可得 SADF=k?SBDF? SAEF=k? SBEF，从而可得=k，代入即可得出k 的值；可得=k，因为点A 的坐标为（ m， m2） ，S=m，代入可得 k与 m 的关系解答：解： （1）点 A 在二次函数y=x2的图象上， AEy 轴于点 E 且 AE=m，点 A 的坐标为 （m， m2） ，当 m=时，点 A的坐标为（，1） ，点 B 的坐标为（ 0，2） ， BE=OE=1 AEy 轴， AEx 轴， ABE CBO，=， CO=2，点 D 和点 C 关于 y 轴对称， DO=CO=2， S=BE? DO= 1 2=；（2） （I）当 0m2 时（如图1） ，点 D 和点 C 关于 y 轴对称，BOD BOC， BEA BOC， BEA BOD，=，即 BE?DO=AE?BO=2mS=BE? DO= 2m=m；（II）当 m2 时（如图 2） ，同（ I）解法得： S =BE? DO=AE? OB=m，由（ I） （ II）得，S关于 m 的函数解析式为S=m（ m0 且 m2 ） （ 3）如图3，连接 AD， BED 的面积为， S=m=，点 A 的坐标为（， ） ，=k， SADF=k?SBDF?SAEF=k?SBEF，=k， k=； k 与 m 之间的数量关系为k=m2，如图 4，连接 AD，=k， SADF=k?SBDF?SAEF=k?SBEF，=k，点 A 的坐标为（ m， m2） ，S=m， k=m2（m2） 点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练数形结合思想及转化思想的运用，难度较大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习必备欢迎下载10存在性问题：例 10 （20XX 年广东汕尾，第25 题 10 分）如图，已知抛物线y=x2x 3与 x 轴的交点为A、D（A 在D 的右侧），与 y 轴的交点为C（1）直接写出A、D、C 三点的坐标；（2）若点 M 在抛物线上，使得MAD 的面积与 CAD 的面积相等，求点M 的坐标；（3）设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由分析： （1）令 y=0，解方程x2x3=0 可得到 A 点和 D 点坐标；令x=0，求出 y=3，可确定 C 点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在 x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到 x 轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：若BCAP1，确定梯形ABCP1此时 P1与 D 点重合，即可求得点 P1的坐标；若ABCP2，确定梯形ABCP2先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点 P2的坐标解： （1） y=x2x3，当 y=0 时，x2x3=0，解得 x1=2，x2=4当 x=0，y=3A 点坐标为（ 4，0） ，D 点坐标为（2，0） ，C 点坐标为（ 0， 3） ；（2） y=x2x3，对称轴为直线x=1 AD 在 x 轴上，点M 在抛物线上，当 MAD 的面积与 CAD 的面积相等时，分两种情况：点 M 在 x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点 C 关于直线x=1 对称， C 点坐标为（ 0， 3） ， M 点坐标为（ 2， 3） ；点 M 在 x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到 x 轴的距离等于点C 到 x 轴的距离 3当 y=4时，x2x3=3，解得 x1=1+，x2=1， M 点坐标为（ 1+，3）或（ 1，3） 综上所述，所求M 点坐标为（ 2， 3）或（ 1+，3）或（ 1，3） ；（ 3）结论：存在如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意：若 BCAP1，此时梯形为ABCP1由点 C 关于抛物线对称轴的对称点为B，可知 BCx 轴，则 P1与 D 点重合， P1（ 2，0） P1A=6，BC=2， P1A BC，四边形ABCP1为梯形；若 AB CP2，此时梯形为ABCP2 A 点坐标为（ 4，0） ，B 点坐标为（ 2， 3） ，直线AB 的解析式为y=x6，可设直线CP2的解析式为y=x+n，将 C 点坐标（ 0， 3）代入，得b=3，直线 CP2的解析式为y=x3点 P2在抛物线y=x2x3 上，x2x3=x 3，化简得： x26x=0，解得 x1=0（舍去），x2=6，点 P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6， P2（6，6） ABCP2，AB CP2，四边形ABCP2为梯形综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点 A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为（ 2， 0）或（ 6，6） 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定综合性较强，有一定难度运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键11应用题型：利润问题。例 11（ 2014?武汉 2014?武汉，第29 题 10 分）九（ 1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（ 1 x90 ）天的售价与销量的相关信息如下表：时间 x（天）1 x50 50 x90售价（元 /件）x+40 90 每天销量（件）2002x已知该商品的进价为每件30 元，设销售该商品的每天利润为y 元（ 1）求出 y 与 x 的函数关系式；（ 2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习必备欢迎下载（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800 元？请直接写出结果考点 ：二次函数的应用分析：（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案解答：解：（ 1）当 1 x50 时， y=（2002x）（ x+4030）=2x2+180 x+200，当 50 x90时， y=（2002x）（ 9030）=120 x+12000，综上所述： y=；（2）当 1 x50 时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，当 x=45 时， y最大=2452+180 45+2000=6050 ，当 50 x90时， y 随 x 的增大而减小，当 x=50 时， y最大=6000，综上所述，该商品第45 天时，当天销售利润最大，最大利润是6050 元；（3）当 20 x60 时，每天销售利润不低于4800 元点评：本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值12求点的坐标问题：例 12（ 2014?武汉，第25 题 12 分）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4 与抛物线y=12x2交于 A，B 两点（1）直线 AB总经过一个定点C，请直接出点C 坐标；（2）当 k=12时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使 ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D 使 ADB=90 ，求点 D 到直线 AB的最大距离考点 ： 二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；根与系数的关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质专题 ：压轴题分析：（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得 y 的值与 k 无关即可（ 2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B 的坐标设出点P的横坐标为a，运用割补法用a 的代数式表示 APB的面积，然后根据条件建立关于a 的方程，从而求出a 的值，进而求出点P的坐标（3）设点 A、B、D 的横坐标分别为m、n、t，从条件 ADB=90 出发，可构造k 型相似，从而得到m、n、t 的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点D 的坐标由于直线AB 上有一个定点C，容易得到DC长就是点 D 到 AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题解答：解：（ 1）当 x=2 时， y=（ 2）k+2k+4=4直线 AB： y=kx+2k+4 必经过定点（2，4）点C的坐标为（2， 4）（ 2） k=，直线的解析式为y=x+3联立，解得：或点 A 的坐标为（3，），点 B 的坐标为（ 2，2）过点 P作 PQy 轴，交 AB于点 Q，过点 A 作 AMPQ，垂足为 M，过点 B 作 BNPQ，垂足为N，如图 1 所示设点 P的横坐标为a，则点 Q 的横坐标为a yP=a2， yQ=a+3点 P在直线 AB下方， PQ=yQyP=a+3a2 AM+NB=a（ 3） +2a=5 SAPB=SAPQ+SBPQ=PQ?AM+PQ?BN=PQ?（AM+BN）= （a+3a2）?5=5整理得： a2+a2=0解得： a1=2，a2=1当 a=2 时， yP= （ 2）2=2此时点P的坐标为（ 2，2）当 a=1 时， yP=12= 此时点P的坐标为（ 1，）符合要求的点P的坐标为（2，2）或（ 1，）（ 3）过点 D 作 x 轴的平行线EF ，作 AEEF ，垂足为E，作 BFEF ，垂足为F，如图 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习必备欢迎下载AEEF ，BFEF ， AED=BFD =90 ADB=90 ， ADE=90 BDF =DBF AED =BFD ， ADE=DBF ， AED DFB 设点 A、B、D 的横坐标分别为m、n、 t，则点 A、B、D 的纵坐标分别为m2、n2、t2AE=yAyE= m2t2 BF=yByF=n2t2ED=xDxE=tm，DF=xFxD=n t，=化简得： mn+（m+n）t+t2+4=0点 A、B 是直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线y=x2交点，m、n 是方程 kx+2k+4= x2即 x22kx 4k8=0 两根m+n=2k，mn=4k8 4k8+2kt+t2+4=0，即 t2+2kt4k4=0即（ t2）（ t+2k+2）=0 t1=2，t2=2k2（舍）定点 D 的坐标为（ 2，2）过点D 作 x 轴的平行线DG，过点 C作 CG DG，垂足为G，如图 3 所示点C（ 2，4），点 D（2，2）， CG=42=2，DG=2（ 2）=4CGDG， DC=2过点 D 作 DHAB，垂足为H，如图 3 所示， DH DC DH2当 DH 与 DC重合即 DCAB时，点 D 到直线 AB的距离最大，最大值为2点 D 到直线 AB 的最大距离为2点评： 本题考查了解方程组、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，考查了通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法表示三角形的面积等方法，综合性比较强构造K 型相似以及运用根与系数的关系是求出点D 的坐标的关键，点C 是定点又是求点D 到直线AB的最大距离的突破口13与一元二次方程结合：例 13 （10 分） （2014?孝感，第 22 题 10 分）已知关于x 的方程 x2（ 2k3） x+k2+1=0 有两个不相等的实数根 x1、x2（ 1）求 k 的取值范围； （2）试说明 x10，x20；（ 3）若抛物线y=x2（ 2k3）x+k2+1 与 x 轴交于 A、B 两点，点A、点 B 到原点的距离分别为OA、OB，且 OA+OB=2OA?OB3，求 k 的值考点 ：抛物线与x 轴的交点；根的判别式；根与系数的关系分析：（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k 的范围；（ 2）利用根与系数的关系，说明两根的和小于0，且两根的积大于0 即可；（ 3） 不妨设 A （x1， 0） ， B （x2， 0） 利用 x1， x2表示出 OA、 OB 的长， 则根据根与系数的关系，以及 OA+OB=2OA?OB 3 即可列方程求解解答：解： （1）由题意可知：=【（ 2k3） 】24（k2+1） 0，即 12k+50 （ 2）， x1 0，x20（ 3）依题意，不妨设A（x1， 0） ，B（x2，0） OA+OB=|x1|+|x2|=（ x1+x2）=（ 2k 3） ，OA?OB=|x1|x2|=x1x2=k2+1， OA+OB=2OA?OB3，（ 2k3）=2（k2+1） 3，解得 k1=1，k2=2 ， k=2点评：本题考查了二次函数与x 轴的交点，两交点的横坐标就是另y=0，得到的方程的两根，则满足一元二次方程的根与系数的关系14双动点问题：例 14(2014?襄阳，第 26 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点分别是C（3，0） ，D（3，4） ，E（0，4） 点 A 在 DE 上，以 A 为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1 交 x 轴于点 B连接 EC，AC点 P，Q 为动点，设运动时间为t 秒（ 1）填空：点A 坐标为；抛物线的解析式为（ 2）在图 1 中，若点P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位 /秒的速度运动，同时，点Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位 /秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动当t 为何值时， PCQ 为直角三角形？（ 3）在图 2 中，若点P 在对称轴上从点A 开始向点B 以 1 个单位 /秒的速度运动，过点P 做 PFAB，交AC 于点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，交抛物线于点Q，连接 AQ，CQ当 t 为何值时， ACQ 的面积最大？最大值是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学习必备欢迎下载考点 ：二次函数综合题分析：（1）根据抛物线的