2022年二次函数综合练习 .pdf
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1、学习必备欢迎下载20XX年初三数学二次函数综合题归类复习1图像与性质:例 1(20XX 年四川资阳,第24 题 12 分 )如图,已知抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为A(3,0) ,与y 轴的交点为B(0, 3) ,其顶点为C,对称轴为x=1(1)求抛物线的解析式;(2)已知点M 为 y 轴上的一个动点,当ABM 为等腰三角形时,求点M 的坐标;(3)将 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度( 0m3)得到另一个三角形,将所得的三角形与ABC 重叠部分的面积记为S,用 m 的代数式表示S考点:二次函数综合题分析: (1)根据对称轴可知,抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴
2、的另一个交点为(1,0) ,根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2+2x+3(2)分三种情况:当MA=MB 时;当AB=AM 时;当AB=BM 时;三种情况讨论可得点M 的坐标(3)平移后的三角形记为PEF根据待定系数法可得直线AB 的解析式为y=x+3易得直线EF 的解析式为 y=x+3+m根据待定系数法可得直线AC 的解析式 连结 BE,直线 BE 交 AC 于 G,则 G(,3) 在AOB 沿 x 轴向右平移的过程中分二种情况:当0m 时;当 m 3 时;讨论可得用m 的代数式表示 S解: (1)由题意可知, 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为( 1,0) ,则,
3、解得故抛物线的解析式为y=x2+2x+3(2)当 MA=MB 时, M(0,0) ;当 AB=AM 时, M(0, 3) ;当 AB=BM 时, M(0, 3+3)或 M(0,33) 所以点 M 的坐标为:(0,0) 、 ( 0, 3) 、 (0,3+3) 、 (0, 33) (3)平移后的三角形记为PEF设直线AB 的解析式为y=kx+b,则,解得则直线AB 的解析式为y=x+3 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度(0m3)得到 PEF,易得直线EF 的解析式为y=x+3+m设直线 AC 的解析式为y=kx+b,则,解得则直线AC 的解析式为y=2x+6连结 BE,直线 BE 交 AC
4、 于 G,则 G(,3) 在 AOB 沿 x 轴向右平移的过程中当 0m 时,如图1 所示设PE 交 AB 于 K,EF 交 AC 于 M则 BE=EK=m,PK=P A=3m,联立,解得,即点 M(3m,2m) 。故 S=SPEFSPAK SAFM=PE2PK2AF?h=(3m)2m?2m=m2+3m当m3 时,如图 2 所示设PE 交 AB 于 K,交 AC 于 H因为 BE=m,所以 PK=PA=3m,又因为直线AC 的解析式为y= 2x+6,所以当x=m 时,得 y=6 2m,所以点H(m,6 2m) 故 S =SPAHSP AK=PA?PHPA2=(3m)?(62m)(3m)2=m2
5、3m+综上所述,当0m 时, S=m2+3m;当 m3 时, S=m23m+点评:考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:抛物线的对称轴,待定系数法求抛物线的解析式,待定系数法求直线的解析式,分类思想的应用,方程思想的应用,综合性较强,有一定的难度2旋转问题:例 2. (2014?福建泉州,第22 题 9 分)如图,已知二次函数y=a(xh)2+的图象经过原点O(0,0) ,A(2,0) ( 1)写出该函数图象的对称轴;( 2)若将线段OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA ,试判断点A 是否为该函数图象的顶点?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
6、 - -第 1 页,共 19 页学习必备欢迎下载考点:二次函数的性质;坐标与图形变化旋转分析:(1)由于抛物线过点O(0,0) ,A(2,0) ,根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1;(2)作 ABx 轴与 B,先根据旋转的性质得OA= OA=2, A OA=2,再根据含30 度的直角三角形三边的关系得 OB=OA=1 ,AB=OB=,则 A点的坐标为( 1,) ,根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线 y=(x1)2+的顶点解答:解: (1)二次函数y=a(xh)2+的图象经过原点O( 0,0) , A(2,0) 抛物线的对称轴为直线x=1;(2)点 A是该函数图象的顶点理由如下:
7、如图,作 ABx 轴于点 B,线段 OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA ,OA= OA=2,A OA=2, 在 RtAOB中, OA B=30 , OB=OA=1 , A B=OB=,A 点的坐标为( 1,) ,点 A为抛物线y=(x1)2+的顶点点评:本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a0 )的顶点坐标为(,) ,对称轴直线x=, 二次函数 y=ax2+bx+c (a0 ) 的图象具有如下性质:当 a0 时,抛物线 y=ax2+bx+c (a0 )的开口向上, x时, y随 x 的增大而减小;x时, y 随 x 的增大而增大;x=时, y 取得最小值,即顶点是抛物
8、线的最低点当 a0 时,抛物线 y=ax2+bx+c (a0 )的开口向下, x时,y 随 x 的增大而增大;x时, y 随 x 的增大而减小;x=时, y 取得最大值,即顶点是抛物线的最高点也考查了旋转的性质3与三角形结合:例 3 (2014?广西贺州,第26 题 12 分)二次函数图象的顶点在原点O,经过点 A(1,14) ;点 F(0,1)在 y 轴上直线y=1 与 y 轴交于点H( 1)求二次函数的解析式;( 2)点 P 是( 1)中图象上的点,过点P 作 x 轴的垂线与直线y=1 交于点 M,求证: FM 平分 OFP;( 3)当 FPM 是等边三角形时,求P 点的坐标考点:二次函数
9、综合题专题:综合题分析:(1)根据题意可设函数的解析式为y=ax2,将点 A 代入函数解析式,求出a 的值,继而可求得二次函数的解析式;( 2)过点 P 作 PBy 轴于点 B,利用勾股定理求出PF,表示出 PM,可得 PF=PM,PFM=PMF,结合平行线的性质,可得出结论;( 3)首先可得 FMH =30 ,设点 P 的坐标为( x,14x2) ,根据 PF=PM=FM,可得关于x 的方程,求出x的值即可得出答案解答:(1)解:二次函数图象的顶点在原点O,设二次函数的解析式为y=ax2,将点 A(1,14)代入 y=ax2得: a=14,二次函数的解析式为y=14x2;( 2)证明:点P
10、在抛物线y=14x2上,可设点P 的坐标为( x,14x2) ,过点 P 作 PBy 轴于点 B,则 BF=14x21,PB=x, RtBPF 中,PF=14x2+1, PM直线 y=1, PM=14x2+1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页学习必备欢迎下载PF=PM, PFM=PMF,又 PMx 轴, MFH =PMF, PFM =MFH , FM 平分 OFP;(3)解:当 FPM 是等边三角形时,PMF =60 , FMH =30 ,在 RtMFH 中, MF=2FH=2 2=4, PF=PM=FM,14x
11、2+1=4,解得: x= 2,14x2=14 12=3,满足条件的点P 的坐标为( 2,3)或( 2,3) 点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质,解答本题的关键是熟练基本知识,数形结合,将所学知识融会贯通4与四边形结合:例 4 (2014?福建泉州,第25 题 12 分)如图,在锐角三角形纸片ABC 中, ACBC,点 D,E,F 分别在边AB,BC,CA 上(1)已知: DEAC,DF BC判断: 四边形 DECF 一定是什么形状?裁剪:当 AC=24cm,BC=20cm,ACB=45 时,请你探索:如何剪四边形DECF ,能使它的面
12、积最大,并证明你的结论;(2)折叠:请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理由考点:四边形综合题分析:(1)根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得,根据ADF ABC 推出对应边的相似比, 然后进行转换,即可得出h 与 x 之间的函数关系式,根据平行四边形的面积公式,很容易得出面积 S关于 h 的二次函数表达式,求出顶点坐标,就可得出面积s 最大时 h 的值(2) 第一步,沿 ABC 的对角线对折, 使 C 与 C1 重合, 得到三角形ABB1, 第二步,沿 B1 对折, 使 DA1BB1解答: .解: (1) DEAC,DF BC,四边
13、形DECF 是平行四边形作 AGBC,交 BC 于 G,交 DF 于 H, ACB=45 ,AC=24cm,AG=12,设 DF=EC=x,平行四边形的高为h,则 AH =12h, DFBC,=, BC=20cm,即:=,x= 20, S=xh=x? 20=20hh2=6, AH=12, AF=FC,在 AC 中点处剪四边形DECF ,能使它的面积最大( 2) 第一步,沿 ABC 的对角线对折, 使 C 与 C1重合, 得到三角形ABB1, 第二步,沿 B1对折,使 DA1BB1 理由:对角线互相垂直平分的四边形是菱形点评:本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、 二次函数的最值关键在于
14、根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式,求出二次函数表达式,即可求出结论5新定义题:例 5 ( 2014?安徽省 ,第 22 题 12 分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为 “ 同簇二次函数 ” ( 1)请写出两个为“ 同簇二次函数” 的函数;( 2)已知关于x 的二次函数y1=2x24mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5,其中 y1的图象经过点A(1,1) ,若 y1+y2与 y1为“ 同簇二次函数” ,求函数 y2的表达式,并求出当0 x3时, y2的最大值考点:二次函数的性质;二次函数的最值专题:新定义分析:(1) 只需任选一个点作为顶点,同号
15、两数作为二次项的系数,用顶点式表示两个为“ 同簇二次函数”的函数表达式即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页学习必备欢迎下载(2)由 y1的图象经过点A(1,1)可以求出m 的值,然后根据y1+y2与 y1为 “ 同簇二次函数 ” 就可以求出函数 y2的表达式,然后将函数y2的表达式转化为顶点式,在利用二次函数的性质就可以解决问题解答:解: (1)设顶点为(h,k)的二次函数的关系式为y=a(xh)2+k,当 a=2, h=3, k=4 时,二次函数的关系式为y=2(x3)2+420,该二次函数图象的开口向上当a=
16、3,h=3,k=4 时,二次函数的关系式为y=3(x3)2+430,该二次函数图象的开口向上两个函数y=2(x3)2+4 与 y=3(x3)2+4 顶点相同,开口都向上,两个函数y=2(x3)2+4 与 y=3(x3)2+4 是“ 同簇二次函数 ” 符合要求的两个“ 同簇二次函数 ” 可以为: y=2(x3)2+4 与 y=3(x3)2+4(2) y1的图象经过点A(1,1) , 2 124 m 1+2m2+1=1整理得: m22m+1=0解得: m1=m2=1 y1=2x24x+3=2(x1)2+1y1+y2=2x24x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b4)x+8 y1+y2与 y
17、1为 “ 同簇二次函数” , y1+y2=(a+2) (x1)2+1=(a+2)x22(a+2)x+(a+2)+1其中 a+20,即 a 2解得:函数y2的表达式为: y2=5x2 10 x+5y2=5x2 10 x+5=5(x1)2函数y2的图象的对称轴为x=150,函数y2的图象开口向上当 0 x1时,函数y2的图象开口向上,y2随 x 的增大而减小当x=0 时, y2取最大值,最大值为5(0 1)2=5当 1 x3 时,函数y2的图象开口向上,y2随 x 的增大而增大当x=3 时, y2取最大值,最大值为5(3 1)2=20综上所述:当0 x3时,y2的最大值为20点评:本题考查了求二次
18、函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化,考查了二次函数的性质(开口方向、增减性) ,考查了分类讨论的思想,考查了阅读理解能力而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键6运动型问题:例 6 ( 2014?广东,第 25 题 9 分)如图,在 ABC 中, AB=AC,ADAB 于点 D,BC=10cm,AD=8cm点P 从点 B 出发,在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动,与此同时,垂直于AD 的直线 m 从底边BC 出发,以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移,分别交AB、AC、AD 于 E、F、H,当点 P 到达点 C 时,点 P 与直线 m 同时停止运动,
19、设运动时间为t 秒( t0) ( 1)当 t=2 时,连接 DE、DF ,求证:四边形AEDF 为菱形;( 2)在整个运动过程中,所形成的PEF 的面积存在最大值,当PEF 的面积最大时,求线段BP 的长;( 3)是否存在某一时刻t,使 PEF 为直角三角形?若存在,请求出此时刻t 的值; 若不存在, 请说明理由考点:相似形综合题分析:(1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;( 2)如答图2 所示,首先求出PEF 的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;( 3)如答图3 所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解解答:(1)证明:当t=2 时, DH =AH=2,则 H 为 AD 的中点,如
20、答图1 所示又 EFAD, EF 为 AD 的垂直平分线,AE=DE,AF=DF AB=AC,ADAB 于点 D, ADBC, B=C EFBC, AEF=B, AFE=C, AEF=AFE, AE=AF, AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF 为菱形( 2)解:如答图2 所示,由( 1)知 EF BC, AEF ABC,即,解得: EF=10tSPEF=EF? DH =( 10t)?2t=t2+10t=(t2)2+10 当 t=2 秒时, SPEF存在最大值,最大值为10,此时 BP=3t=6( 3)解:存在理由如下:若点 E 为直角顶点,如答图3所示,此时PEAD,PE=DH=2t,B
21、P=3t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页学习必备欢迎下载PEAD,即,此比例式不成立,故此种情形不存在;若点 F 为直角顶点,如答图3所示,此时PEAD, PF=DH=2t,BP=3t,CP=103tPFAD,即,解得 t=;若点 P 为直角顶点,如答图3所示过点 E 作 EMBC 于点 M,过点 F 作 FNBC 于点 N,则 EM=FN=DH =2t, EMFN ADEMAD,即,解得 BM=t, PM=BPBM=3tt=t在 RtEMP 中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+(t)2=t2F
22、NAD,即,解得 CN=t, PN=BCBPCN=103tt=10t在 RtFNP 中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10t)2=t2 85t+100在 RtPEF 中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,即: (10t) 2=(t2)+(t285t+100)化简得:t235t=0,解得: t=或 t=0(舍去)t=综上所述,当t=秒或 t=秒时, PEF 为直角三角形点评:本题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨
23、论的数学思想7代数与几何综合:例 7. (2014?广西玉林市、防城港市,第26 题 12 分)给定直线l:y=kx,抛物线 C:y=ax2+bx+1(1)当 b=1 时, l 与 C 相交于 A, B 两点,其中A 为 C 的顶点, B 与 A 关于原点对称,求a 的值;(2)若把直线l 向上平移 k2+1 个单位长度得到直线r,则无论非零实数k 取何值,直线r 与抛物线C 都只有一个交点求此抛物线的解析式;若P 是此抛物线上任一点,过P 作 PQy 轴且与直线y=2 交于 Q点, O 为原点求证:OP=PQ考点:二次函数综合题分析:(1)直线与抛物线的交点B 与 A 关于原点对称,即横纵坐
24、标对应互为相反数,即相加为零,这很使用于韦达定理由其中有涉及顶点,考虑顶点式易得a 值( 2)直线 l:y=kx 向上平移k2+1,得直线 r:y=kx+k2+1根据无论非零实数k 取何值, 直线 r 与抛物线 C:y=ax2+bx+1 都只有一个交点,得ax2+(bk)xk2=0 中 =0这虽然是个方程,但无法求解这里可以考虑一个数学技巧,既然k 取任何值都成立,那么代入最简单的1,2 肯定是成立的,所以可以代入试验,进而可求得关于a,b 的方程组,则a,b 可能的值易得但要注意答案中,可能有的只能满足 k=1,2 时,并不满足任意实数k,所以可以再代回=中,若不能使其结果为0,则应舍去求证
25、 OP=PQ,那么首先应画出大致的示意图发现图中几何条件较少,所以考虑用坐标转化求出OP,PQ 的值, 再进行比较 这里也有数学技巧, 讨论动点 P 在抛物线 y=x2+1 上, 则可设其坐标为 (x, x2+1) ,进而易求OP,PQ解答:(1)解: l:y=kx,C:y=ax2+bx+1,当 b=1 时有 A,B 两交点, A,B 两点的横坐标满足kx=ax2+x+1,即 ax2+(1 k)x+1=0 B 与 A 关于原点对称,0=xA+xB=, k=1 y=ax2+x+1=a(x+)2+1,顶点(, 1)在 y=x 上,=1,解得a=( 2)解:无论非零实数k 取何值,直线r 与抛物线C
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