高等数学(下)期末复习题(附答案).pdf

高等数学二期末复习题高等数学二期末复习题一、选择题一、选择题1、假设向量b与向量a a ( (2 2, ,1 1, , 2 2) )平行，且满足ab 18，则b A( 4, 2, 4)B( 2， 4, 4 )C( 4, 2, 4 )D( 4, 4, 2 ). . x x2 2 y y2 22、在空间直角坐标系中，方程组 z z 0 0 z z 1 1代表的图形为 ( )A直线 (B)抛物线C 圆 (D)圆柱面3、设I I ( (x x2 2 y y2 2) )dxdydxdy，其中区域D D由x x2 2 y y2 2 a a2 2所围成，则I I D D(A) 2 2 a a0 0d d a a2 2rdrrdr a a4 4(B) 2 2 d d a a0 00 00 0a a2 2adradr 2 2 a a4 4 (C) 2 2 a a0 0d d r r2 2drdr 2 2 a a3 3 (D) 2 2 d d a ar r2 2rdrrdr 1 10 0 a a4 43 30 00 02 24、 设设L L为：为：x x 1 1, ,0 0 y y 3 32 2的弧段的弧段，则，则 L L6 6dsds A9 (B) 6C3 (D)3 32 2 5、级数 ( ( 1 1) )n n1 1n n的敛散性为 n n 1 1A 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D)敛散性不确定n6 6、二重积分定义式f (x, y)dlim(i,i)i中的代表的是D0if1A小区间的长度(B)小区域的面积(C)小区域的半径(D)以上结果都不对7、设f (x, y)为连续函数，则二次积分1dx1x00f (x, y)dy等于 ( )A1y1xf (x, y)dx (B)11y0d00dy0f (x, y)dx(C)1x0dy10f (x, y)dx (D)110dy0f (x, y)dx8、方程2 2z z x x2 2 y y2 2表示的二次曲面是 ( )A抛物面B柱面C圆锥面D 椭球面9、二元函数z f (x, y)在点(x0, y0)可微是其在该点偏导数存在的.A 必要条件B 充分条件C 充要条件D 无关条件10、设平面曲线 L 为下半圆周y y 1 1 x x2 2, ,则曲线积分 L L( (x x2 2 y y2 2) )dsds ( )(A)0 0 (B)2 2 (C) (D)4 4 11、假设级数 a an n 1 1n n n n收敛，则以下结论错误的选项是(A) 2 2a an n 1 1 收敛 (B) ( (a an n 1 1 n n 2)2)收敛 (C)n n 100100 a a n n收敛 (D) 3 3a an n 1 1 n n收敛1212、二重积分的值与A函数 f f 及变量 x,yx,y 有关； (B) 区域 D D 及变量 x,yx,y 无关；C函数 f f 及区域 D D 有关； (D) 函数 f f 无关，区域 D D 有关。13、已知已知a a/ / b b且且a a ( (1 1, ,2 2, , 1 1), ),b b ( (x x, ,4 4, , 2 2), ),则则 x x = = ( )A - -2B 2C -3-3D3 z z2 2 x x2 2 y y2 214、在空间直角坐标系中，方程组 代表的图形为( )y y 1 1 A抛物线 (B)双曲线C圆 (D)直线15、设z arctan(x y)，则z= y111sec2(x y)(A) (B)C (D)21 (x y)21 (x y)21(x y)21(x y)16、二重积分A (C)10dyx01y2f (x, y)dx交换积分次序为 ( )y2010dxf (x, y)dy (B)10dxf (x, y)dy0 x20110dxf (x, y)dy (D)dx01f (x, y)dy17、假设已知级数un1n收敛，Sn是它的前n项之和，则此级数的和是ASn (B)un (C)limSn (D)limunnn1818、设L L为圆周：x x y y 1616，则曲线积分I I 2 22 2 L L2 2xydsxyds的值为A 1 1 (B) 2C1 1 (D)0 0二、填空题二、填空题1、limlimx x0 0y y0 0 xyxy1 1 xyxy 1 1 2、二元函数z z sinsin(2(2x x 3 3y y) )，则x2y2 z z x x3、积分I 2x y 4e2d的值为 4、假设a a, ,b b为互相垂直的单位向量， 则a a b b5、交换积分次序 1 10 0dxdx x x2 20 0f f ( (x x, , y y) )dydy 6、级数(n111n)的和是n237、limlimy y0 02 2 4 4 xyxy x x0 0 xyxy z z y y8、二元函数z z sinsin(2(2x x 3 3y y) )，则19、设f (x, y)连续，交换积分次序10、设曲线L：x x y y a a 2 22 22 2，则 (2sin(2sin x x 3 3y ycoscos x x) )dsds 0 xL Ldx2f (x,y)dy x11、假设级数假设级数 ( (u un n 1n n 1) )收敛，则收敛，则limlimu un n n n2 22 21212、假设f f ( (x x y y, , x x y y) ) x x y y则f f ( (x x, , y y) ) 13、limlimy y0 01 1 1 1 xyxy x x0 0 xyxy14、已知已知a a b b且且a a ( (1 1, ,1 1, ,3 3), ),b b ( (0 0, ,x x, , 1 1), ),则则 x x = =15、设z ln(x3 y3),则dz(1,1)16、设f (x, y)连续，交换积分次序10dyyy2f (x,y)dx 17、级数un s, 则级数(unun1)的和是n1n121818、设L L为圆周：x y R，则曲线积分I I 三、解答题三、解答题22 L Lx xsinsin ydsyds的值为1、 此题总分值 12 分求曲面z z e e 2 2xyxy 3 3在点(1,(1,2,0)2,0)处的切平面方程。z z2、 此题总分值 12 分计算二重积分e eD Dx xy ydxdydxdy，其中D D由y y轴及开口向右的抛物线y y2 2 x x和直线y y 1 1围成的平面区域。3、 此题总分值 12 分求函数u u lnln(2(2x x 3 3y y 4 4z z ) )的全微分dudu。2 2 x x2 2y y, , ( (x x, , y y) ) (0,0)(0,0) 4 42 24、此题总分值 12 分 证明： 函数f f ( (x x, , y y) ) x x y y在点 0， 0 的两个偏导数存在， 但函数f f ( (x x, , y y) ) 0 0 , , ( (x x, , y y) ) (0,0)(0,0)在点0，0处不连续。5、 此题总分值 10 分用比较法判别级数 ( (n n2 2n n 1 1) )n n的敛散性。n n 1 16、 此题总分值 12 分求球面x x2 2 y y2 2 z z2 2 1414在点(1,(1,2, 2,3)3)处的法线方程。7、 此题总分值 12 分计算I I ( (x x2 2 y y2 2) )d dx xd dy y，其中D D ( (x x, , y y) )1 1 x x2 2 y y2 2 4 4 。D D x x t t8、 此题总分值 12 分力F F x x, , y y, ,x x 的作用下，质点从(0,0,0)(0,0,0)点沿L L y y 2 2t t移至 z z t t2 2(1,(1,2,1)2,1)点，求力F F所做的功WW。9、 此题总分值 12 分计算函数u xsin(yz)的全微分。 10、 此题总分值 10 分求级数 1 1n n 1 1n n( (n n 1)1)的和。11、 此题总分值 12 分求球面x x2 2 y y2 2 z z2 2 1414在点(1,(1,2, 2,3)3)处的切平面方程。12、 此题总分值 12 分设z ln （x2 xy y2）,求xzx yzy。13、 此题总分值 12 分求(1x2 y2)dxdy，其中DD是由y y x x，y y 0 0，x x2 2 y y2 2 1 1在第一象限内所围成的区域。x 014 、 此 题 总 分 值 12 分 一 质 点 沿 曲 线y t从 点 (0,0,0)移 动 到 点 (0,1,1)， 求 在 此 过 程 中 ，z t2F 1 x4i yj k所作的功WW。15、 此题总分值 10 分判别级数 n nsinsin1 1n n 1 1n n的敛散性。力高等数学二期末复习题答案高等数学二期末复习题答案一、选择题一、选择题 1 1、A 2A 2、C 3C 3、D 4D 4、A 5A 5、B 6B 6、D 7D 7、B 8B 8、A 9A 9、B 10B 10、C 11C 11、B B1212、C 13C 13、B 14B 14、B 15B 15、B 16B 16、A 17A 17、C 18C 18、D D二、填空题二、填空题 1 1、2；2 2、2cos(22cos(2 x x 3 3y y) )；3 3、(e 1)； 4 4、 0；5 5、4 1 10 0dydy 1 1y yf f ( (x x, , y y) )dxdx；6 6、7 7、321 1y y1； 8 8、3cos(23cos(2 x x 3 3y y) )； 9 9、 dydy 1010、 0； 1111、 -1 -1 ；1212、xy 13、f f ( (x x, , y y) )dxdx；0 0y y4133；1414、3；1515、dx dy；2221616、 1 10 0dxdx x xx xf f ( (x x, , y y) )dydy；1717、2S u1；1818、 0z z三、解答题三、解答题 1 1、 此题总分值 12 分解：设F F( (x x, , y y, ,z z) ) z z e e 2 2xyxy 3 3则F Fx x 2 2y y，F Fy y 2 2x x，F Fz z 1 1 e e对应的切平面法向量z zn n ( (F Fx x, ,F Fy y, ,F Fz z) )(1,2,0)(1,2,0)代入 1， 2， 0 可得法向量：4， 2， 0则切平面方程：4(4(x x 1)1) 2(2(y y 2)2) 0(0(z z 0)0) 0 0或2 2x x y y 4 4 0 02 2、 此题总分值 12 分 1 1 y yy y2 2 1 1y yy y 解 ： e e dxdydxdy dydy e e dxdx yeye dydy ( ( yeye y y )dy)dy yeye e e 0 00 00 00 02 22 2 0 0D D 0 0 u u2 2 u u3 3 u u8 8z z 3 3、 此题总分值 12 分解：因为， x x2 2x x 3 3y y 4 4z z2 2 y y2 2x x 3 3y y 4 4z z2 2 z z2 2x x 3 3y y 4 4z z2 21 1y y2 2x xy yx xy y1 1x xy yy y2 21 1dudu u u u u u u2 23 38 8z zdxdx dydy dzdz所以dudu dxdx dydy dzdz x x y y z z2 2x x 3 3y y 4 4z z2 22 2x x 3 3y y 4 4z z2 22 2x x 3 3y y 4 4z z2 2x04 4、 此题总分值 12 分解：fx(0,0) limf (0 x,0) f (0,0)0 lim 0同理fy(0,0) 0 x0 xxx2kx2k所以函数在0，0点两个偏导数存在。 lim2f (x, y) lim42x0 x k2x4ykx1 kx0lim f (x, y)不存在因此函数在0，0点不连续x0y0 1 1n nn nn nn n1 1n n) ) ( () ) ( ( ) )，而 ( ( ) )n n是收敛的等比级数原5 5、 此题总分值 10 分解：( (2 2n n 1 12 2n n2 2n n 1 12 2级数收敛2 22 22 26 6、 此题总分值 12 分解：设F F( (x x, , y y, ,z z) ) x x y y z z 1414则F Fx x 2 2x x，F Fy y 2 2y y，F Fz z 2 2z z对应的法向量n n ( (F Fx x, ,F Fy y, ,F Fz z) )(1,2,3)(1,2,3)代入(1,2,3)(1,2,3)可得法向量： 2，4，6则法线方程：x x 1 1y y 2 2z z 3 3 1 12 23 37、 此题总分值 12 分解：I I 0 02 2 d d 1 12 22 2 d d 2 2 15151 14 42 2 2 24 41 18 8、 此题总分值 12 分WW 9 9、 此题总分值 12 分 F F d d s s xdxxdx ydyydy xdzxdz L LL L 1 10 0tdttdt 4 4tdttdt 2 2t t2 2dt dt (2(2t t2 2 3 3t t) )dt dt 0 01 15 56 6 u u x x sinsin yzyz，u uy y xzxz coscos yzyzu uz z xyxy coscos yzyz dudu u u x xdxdx u uy ydydy u uz zdzdz sin(sin(yzyz) )dxdx xzxzcos(cos(yzyz) )dydy xyxycos(cos(yzyz) )dzdz10 0、 此题总分值 10 分解：1 11 11 1 n n( (n n 1)1)n nn n 1 1S Sn n 1 11 11 11 11 11 11 11 11 1 . . ) ) 1 1 (1(1 ) ) ( ( ) ) . . ( ( 1 1 2 22 2 3 3n n( (n n 1)1)2 22 23 3n nn n 1 1n n 1 1 1 11 1limlimS Sn n lim(1lim(1 ) ) 1 1所以级数 的和为 1n nn nn n( (n n 1)1)n n 1 1n n 1 12 22 22 2F Fy y 2 2y y，F Fz z 2 2z z1111、此题总分值 12 分 解： 设F F( (x x, , y y, ,z z) ) x x y y z z 1414则F Fx x 2 2x x，对应的切平面法向量n n ( (F Fx x, ,F Fy y, ,F Fz z) )(1,2,3)(1,2,3)代入(1,(1,2, 2,3)3)可得法向量： 2，4，6则切平面方程：2(2(x x 1)1) 4(4(y y 2)2) 6(6(z z 3)3) 0 0或x x 2 2y y 3 3z z 1414 0 012、 此题总分值 12 分z2x yzx 2yzz2x2 xy xy 2y22；2解：因为所以x y 22222xx xy yyx xy yxyx xy yx cosD (,) 0,01y sin4， 所 以1313 、 此 题 总 分 值12分 解 ： 令， 则1 12 24 4(1(1 x x y y ) )dxdydxdy d d (1(1 ) ) d d 0 00 01616D D2 22 2 1414、 此题总分值 12 分WW F F d d s sL L L L1 1 x x4 4dxdx ydyydy dzdz ( ( t t 2 2t t) )dt dt0 01 1 1 10 0tdttdt 1 12 21515、 此题总分值 10 分解： 设u un n n nsinsin1 1于是limlimu un n limlimn nn n1 1n nn nsinsin1 1n n 1 1 0 0故u发散。nn1