9.1 动量矩.pdf

什么是力对点的矩什么是力对点的矩？什么是力对轴的矩什么是力对轴的矩？力对轴上任意力对轴上任意 一点的矩与力对轴的矩之间有什么关系一点的矩与力对轴的矩之间有什么关系？通俗地讲通俗地讲，将力将力 矩中的力置换为质点的动量矩中的力置换为质点的动量，就是动量矩；动量和力都是就是动量矩；动量和力都是 矢量矢量，所以从数学矢量运算角度来说置换前力矩的很多性所以从数学矢量运算角度来说置换前力矩的很多性 质对置换后的动量矩也成立质对置换后的动量矩也成立。 9.1、质点的动量矩（、质点的动量矩（4-1） vmrvmM O )( 1、质点对固定点的动量矩、质点对固定点的动量矩 与力对点的矩相类似与力对点的矩相类似, 质点对固定点质点对固定点 (O点点, 称为矩心称为矩心)的动量矩为：的动量矩为： 质点对固定点的动量矩是矢量质点对固定点的动量矩是矢量, 其大小其大小、方向方向、 作用点依次为：作用点依次为： kvmrvmM xyxyz )()( 质点质点Q的动量的动量mv在在xy平面内的投影平面内的投影mvxy对对O 点的动量矩再点乘点的动量矩再点乘z轴正方面单位矢量轴正方面单位矢量k，称，称 为质点为质点Q对固定轴对固定轴z的动量矩：的动量矩： 2、质点对固定轴的动量矩、质点对固定轴的动量矩 与与“力对轴的矩也等于力对轴上任意一点的矩在轴上的投影力对轴的矩也等于力对轴上任意一点的矩在轴上的投影” 相类似相类似,质点质点Q对对z轴的动量矩也等于它对轴的动量矩也等于它对z轴上任意一点的动量矩轴上任意一点的动量矩 在在z轴上的投影轴上的投影. kvmvmr zxyxy )( 2、质点对固定轴的动量矩、质点对固定轴的动量矩 kvmrkmvM O )()( kvmrkvmr zxy )()( kvmrr zxy )( kvmrkvmr zxyxyxy )()( 质点质点Q对对z轴的动量矩也等于它对轴的动量矩也等于它对z轴上任意一点的动量矩在轴上任意一点的动量矩在z 轴上的投影轴上的投影. 1 2 3 4 5 (讲解完毕讲解完毕) 5 9.2 质点系的动量矩（质点系的动量矩（4-2） LMm vrm v oOiiiii ()() 1）、）、质点系中各质点对某固定点质点系中各质点对某固定点O动量矩的矢量和动量矩的矢量和, 称为质点系称为质点系 对对O点的动量矩点的动量矩,记作：记作： 2）、）、质点系中各质点对某固定轴质点系中各质点对某固定轴(例如例如z轴轴)动量矩的代数和，称为质动量矩的代数和，称为质 点系对该轴的动量矩点系对该轴的动量矩,记作：记作： LMm v zzii () 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 1、平行移动刚体的动量矩、平行移动刚体的动量矩 )(vmrL iiO vrm ii )( kvmrkLL ccOZ )()( 结论结论 平移刚体对某固定点平移刚体对某固定点(或固定轴或固定轴)的动量矩的动量矩,等于刚体质量等于刚体质量 全部集中于质心时质心点对该固定点全部集中于质心时质心点对该固定点(或固定轴或固定轴)的动量矩。的动量矩。 平移刚体质点系对坐标原点平移刚体质点系对坐标原点O的动量矩：的动量矩： 平移刚体质点系对平移刚体质点系对z轴的动量矩：轴的动量矩： ccc vmrvrm )( m rm r ii c cii rmrm 1 2 34 56 2、定轴转动刚体对轴的动量矩、定轴转动刚体对轴的动量矩 )( iiZZ vmML )(kvmr iii kvmr iiixy )( kvmrr iiixyiz )( krmr ixyiixy )( kJkrm zixyi )( 2 )( 2 ixyiz rmJ，称为刚体对，称为刚体对z轴的转动惯量。轴的转动惯量。 baaba 2 )( ba 如果如果那么那么 结论结论 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对轴的定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对轴的 转动惯量与角速度矢的积再点乘轴正方向单位矢量转动惯量与角速度矢的积再点乘轴正方向单位矢量 (讲解完毕讲解完毕) 8 7 9 10 10 11 12 9 9.1、转动惯量（、转动惯量（4-3） 222 ()Jmr xy dxdydz Zi ixy V Z Z J m 惯性半径或回转半径：惯性半径或回转半径： 1 2 3 Jm ZZ 2 4 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 图1匀质细杆长度为L, 质量为m, 求杆对z轴（垂直纸面向上）的转动 惯量及惯性半径。 L L Z dx L m xxmJ 2 1 2 1 22 )( 2 2 1 2 1 3 12 1 3 1 mLx L m L Lx 2 32 1 ZZ Z Z mJ L m J 图1 图2 5 6 7 8 图3匀质圆轮半径为R，质量为m，求其对z轴的转动惯量及惯 性半径。 2 0 2 22 2 1 ) 2()(mRrdr R m rrmJ R Z R m J Z Z 2 1 2 ZZ mJ 图3图4 9 10 11 12 13 13 常见匀质刚体对指定轴的转动惯量与回转半径常见匀质刚体对指定轴的转动惯量与回转半径可可 查阅查阅机械设计手册机械设计手册等相关资料等相关资料. 14 15 例例9.1-1 图示阿特伍德机中图示阿特伍德机中,匀质圆轮匀质圆轮(定滑轮定滑轮)半径为半径为r,质量为质量为m2,细绳细绳 (不打滑不打滑)两端所系物体重量分别为两端所系物体重量分别为m1g、m3g.系统在重力作用下运动系统在重力作用下运动 (m1gm3g),已知某时刻定滑轮的角速度为已知某时刻定滑轮的角速度为, 求此时该系统所组成的求此时该系统所组成的 质点系对质点系对O轴的动量矩。轴的动量矩。 2 321 )5 . 0(rmmmL O kkvrm OA ) ( 1 kvmrL OCOm )( 11 kvmrr ACOA )( 1 kvmr OA )( 1 2 1r m 16 17 18 1920 21 (讲解完毕讲解完毕) 15 平行移轴定理平行移轴定理 （如图所示）（如图所示）刚体绕刚体绕z轴转动时的转动惯量轴转动时的转动惯量, 等于它等于它 绕经过质心绕经过质心C且与且与z轴平行的轴平行的z 轴转动时的转动惯量轴转动时的转动惯量, 加上刚体质量与加上刚体质量与 两轴之间距离平方的乘积两轴之间距离平方的乘积, 即：即：Jz = Jz + mL2。 9.1 平行移轴定理（平行移轴定理（4-4） LrrLr xyixyiixy cos 2 222 2 ixyiZ rmJ )(2 ) cos2( 2 2 2 iiZ xyixyii ymLJmL LrrLm 0 Cii myym 2 ixyiZ rmJ Jz = Jz + mL2 图1 图2 LrrL xyixyi cos 2 22 m rm r ii C m ym y ii C m xm x ii C (讲解完毕讲解完毕) 1 2 3 1 4 678 5 9 10 解解 细杆细杆/圆盘对圆盘对O轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 例例9.1-2 图图3摆锤绕摆锤绕O轴在竖直平面内自由运动，它由两部分焊接而成轴在竖直平面内自由运动，它由两部分焊接而成: 长度为长度为L的匀质细杆的匀质细杆1和半径为和半径为r的匀质圆轮的匀质圆轮2, 质量依次为质量依次为m1, m2 .已知已知 某时刻摆锤角速度为某时刻摆锤角速度为,求此时系统对求此时系统对O轴的动量矩轴的动量矩. 2 1 2 1 2 11 3 1 ) 2 1 ( 12 1 LmLmLmJ 2 2 2 22 )( 2 1 rLmrmJ )( 21 JJLO 图311 12 13 转动惯量是由积分得到的，积分可以分块进行，所以计算转动转动惯量是由积分得到的，积分可以分块进行，所以计算转动 惯量时候可以用分割或补充方法（简称割补法）惯量时候可以用分割或补充方法（简称割补法） 分割法分割法 补充法补充法 (讲解完毕讲解完毕) 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）