导数与函数的单调性、极值、最值(15页).doc

-导数与函数的单调性、极值、最值-第 15 页§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)>0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)<0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减2函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)f(x)>0是f(x)为增函数的充要条件(×)(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的(×)(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(6)函数f(x)xsin x有无数个极值点()2函数f(x)x22ln x的单调减区间是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案A解析f(x)2x(x>0)当x(0,1)时，f(x)<0，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)>0，f(x)为增函数3(2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案C解析当k1时，f(x)ex·x1，f(1)0.x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)显然f(1)0，且x在1的左边附近f(x)<0，x在1的右边附近f(x)>0，f(x)在x1处取到极小值故选C.4函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)>2，则f(x)>2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析设m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)2>0，m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)>0的解集为x|x>1，即f(x)>2x4的解集为(1，)5函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立a3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论解f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，exa0，exa，xln a.因此当a0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间是ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2<x<3，e2<ex<e3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)<0，即f(x)在(2,3)上为减函数，ae3.故存在实数ae3，使f(x)在(2,3)上为减函数思维升华(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(1)设函数f(x)x3(1a)x24ax24a，其中常数a>1，则f(x)的单调减区间为_答案(2,2a)解析f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a>1知，当x<2时，f(x)>0，故f(x)在区间(，2)上是增函数；当2<x<2a时，f(x)<0，故f(x)在区间(2,2a)上是减函数；当x>2a时，f(x)>0，故f(x)在区间(2a，)上是增函数综上，当a>1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_答案(，1解析转化为f(x)x0在1，)上恒成立，即bx(x2)在1，)上恒成立，令g(x)x(x2)(x1)21，所以g(x)min1，则b的取值范围是(，1题型二利用导数求函数的极值例2设a>0，函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲线yf(x)在(2，f(2)处与直线yx1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值思维启迪(1)通过f(2)的值确定a；(2)解f(x)0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值解(1)由已知，得x>0，f(x)x(a1)，yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1，即2(a1)1，所以a0，此时f(2)220，故所求的切线方程为yx2.(2)f(x)x(a1).当0<a<1时，若x(0，a)，f(x)>0，函数f(x)单调递增；若x(a,1)，f(x)<0，函数f(x)单调递减；若x(1，)，f(x)>0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)a2aln a，极小值是f(1).当a1时，f(x)>0，所以函数f(x)在定义域(0，)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值当a>1时，若x(0,1)，f(x)>0，函数f(x)单调递增；若x(1，a)，f(x)<0，函数f(x)单调递减；若x(a，)，f(x)>0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)，极小值是f(a)a2aln a.综上，当0<a<1时，f(x)的极大值是a2aln a，极小值是；当a1时，f(x)没有极值；当a>1时，f(x)的极大值是，极小值是a2aln a.思维升华(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex·.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.结合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a>0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a>0，知0<a1.所以a的取值范围为a|0<a1题型三利用导数求函数的最值例3已知函数f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围思维启迪(1)题目条件的转化：f(1)g(1)且f(1)g(1)；(2)可以列表观察h(x)在(，2上的变化情况，然后确定k的取值范围解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)且f(1)g(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)，h(x)在(，2上的变化情况如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为28；当3<k<2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此k的取值范围是(，3思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况已知函数f(x)xln x.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函数g(x)在区间1，e上的最小值(其中e为自然对数的底数)解(1)f(x)ln x1，x>0，由f(x)0得x，所以f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，)上单调递增所以，x是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在(2)g(x)xln xa(x1)，则g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1，所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数当ea11，即a1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0.当1<ea1<e，即1<a<2时，g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e，即a2时，在区间1，e上，g(x)为递减函数，所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上，当a1时，g(x)的最小值为0；当1<a<2时，g(x)的最小值为aea1；当a2时，g(x)的最小值为aeae.利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值思维启迪(1)解方程f(x)0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k1和区间0,1的关系求最值规范解答解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.2分f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)6分(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；8分当0<k1<1，即1<k<2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.10分综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1<k<2时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.12分答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间0,1上的最值，属常规题型(2)本题的难点是分类讨论考生在分类时易出现不全面，不准确的情况(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.方法与技巧1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较失误与防范1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()答案C解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f(x)0的点可以排除B.2下面为函数yxsin xcos x的递增区间的是()A(，) B(，2)C(，) D(2，3)答案C解析y(xsin xcos x)sin xxcos xsin xxcos x，当x(，)时，恒有xcos x>0.故选C.3设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa<1 Ba>1Ca> Da<答案A解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x>0时，ex<1，aex<1.4设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A1<a2 Ba4Ca2 D0<a3答案A解析f(x)x29ln x，f(x)x(x>0)，当x0时，有0<x3，即在(0,3上原函数是减函数，a1>0且a13，解得1<a2.5函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是()A2 B0 C2 D4答案C解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.二、填空题6函数f(x)x的单调减区间为_答案(3,0)，(0,3)解析f(x)1，令f(x)<0，解得3<x<0或0<x<3，故单调减区间为(3,0)和(0,3)7函数f(x)x33ax23(a2)x1有极大值又有极小值，则a的取值范围是_答案a>2或a<1解析f(x)x33ax23(a2)x1，f(x)3x26ax3(a2)令3x26ax3(a2)0，即x22axa20.函数f(x)有极大值和极小值，方程x22axa20有两个不相等的实根即4a24a8>0，a>2或a<1.8设函数f(x)x32x5，若对任意的x1,2，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是_答案(，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f()，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a<.三、解答题9已知函数f(x)ln x求函数f(x)的极值和单调区间解因为f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)10已知函数f(x)x2bsin x2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围解(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依题意，对任意实数x，恒有F(x)F(x)0.即x2bsin x(x)2bsin(x)0，即2bsin x0，所以b0，所以f(x)x22.(2)g(x)x222(x1)aln x，g(x)x22xaln x，g(x)2x2.函数g(x)在(0,1)上单调递减，在区间(0,1)内，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立(2x22x)在(0,1)上单调递减，a4为所求B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1已知f(x)是可导的函数，且f(x)<f(x)对于xR恒成立，则()Af(1)<ef(0)，f(2 014)>e2 014f(0)Bf(1)>ef(0)，f(2 014)>e2 014f(0)Cf(1)>ef(0)，f(2 014)<e2 014f(0)Df(1)<ef(0)，f(2 014)<e2 014f(0)答案D解析令g(x)，则g(x)()<0，所以函数g(x)是单调减函数，所以g(1)<g(0)，g(2 014)<g(0)，即<，<，故f(1)<ef(0)，f(2 014)<e2 014f(0)2如图是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则xx等于()A. B. C. D.答案C解析由图象可得f(x)x(x1)(x2)x3x22x，又x1、x2是f(x)3x22x20的两根，x1x2，x1x2，故xx(x1x2)22x1x2()22×.3已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t<1<t1或t<3<t1，得0<t<1或2<t<3.4(2013·课标全国)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)令f(x)0得x12，x2ln ，列表：x(，2)2ln f(x)00f(x)极大值极小值yf(x)的单调增区间为(，2)，；单调减区间为.f(x)极大值f(2)44e2.5已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依题意对于任意x0,1，有f(x)0.当a>0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a<0，所以需f(1)(a1)e<0，即0<a<1；当a1时，对于任意x0,1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x0,1，f(x)xex0，且只在x0时，f(x)0，f(x)符合条件；当a<0时，因f(0)a>0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，当a0时，g(x)ex>0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.当a1时，对于任意x0,1有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.当0<a<1时，由g(x)0得x>0.若1，即0<a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若<1，即<a<1时，g(x)在x处取得最大值g()2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，由g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，得a.则当<a时，g(0)g(1)0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当<a<1时，g(0)g(1)>0，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.