导数与函数的单调性、极值、最值(15页).doc
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1、-导数与函数的单调性、极值、最值-第 15 页3.2导数与函数的单调性、极值、最值1函数的单调性在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x);求方程f(x)0的根;检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a,
2、b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下:求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x),f(x0)0是x0点
3、为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值()(6)函数f(x)xsin x有无数个极值点()2函数f(x)x22ln x的单调减区间是()A(0,1) B(1,)C(,1) D(1,1)答案A解析f(x)2x(x0)当x(0,1)时,f(x)0,f(x)为增函数3(2013浙江)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2),则()A当k1时,f(x)在x1处取到极小值B当k1时,f(x)在x1处取到极大值C当k2时,f(x)在x1处取到极小值D当k2时,f(x)在x1处取到极大值答案C解析当k1时,f(x)exx1,f(1)
4、0.x1不是f(x)的极值点当k2时,f(x)(x1)(xexex2)显然f(1)0,且x在1的左边附近f(x)0,f(x)在x1处取到极小值故选C.4函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1,)C(,1) D(,)答案B解析设m(x)f(x)(2x4),m(x)f(x)20,m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0,m(x)0的解集为x|x1,即f(x)2x4的解集为(1,)5函数f(x)x3ax2在(1,)上是增函数,则实数a的取值范围是_答案3,)解析f(x)3x2a,f(x)在区间(1,)上是增函数,则f(x
5、)3x2a0在(1,)上恒成立,即a3x2在(1,)上恒成立a3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)是否存在a,使f(x)在(2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关,要注意对参数的讨论解f(x)exa,(1)若a0,则f(x)exa0,即f(x)在R上单调递增,若a0,exa0,exa,xln a.因此当a0时,f(x)的单调增区间为R,当a0时,f(x)的单调增区间是ln a,)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2x3,e2e
6、xe3,只需ae3.当ae3时,f(x)exe3在x(2,3)上,f(x)1,则f(x)的单调减区间为_答案(2,2a)解析f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a),由a1知,当x0,故f(x)在区间(,2)上是增函数;当2x2a时,f(x)2a时,f(x)0,故f(x)在区间(2a,)上是增函数综上,当a1时,f(x)在区间(,2)和(2a,)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数(2)若f(x)x2bln(x2)在(1,)上是减函数,则b的取值范围是_答案(,1解析转化为f(x)x0在1,)上恒成立,即bx(x2)在1,)上恒成立,令g(x)x(x2)(x1)21,所以g(x)mi
7、n1,则b的取值范围是(,1题型二利用导数求函数的极值例2设a0,函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲线yf(x)在(2,f(2)处与直线yx1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值思维启迪(1)通过f(2)的值确定a;(2)解f(x)0,然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值解(1)由已知,得x0,f(x)x(a1),yf(x)在(2,f(2)处切线的斜率为1,所以f(2)1,即2(a1)1,所以a0,此时f(2)220,故所求的切线方程为yx2.(2)f(x)x(a1).当0a0,函数f(x)单调递增;若x(a,1),f(x)0,函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的
8、极大值点,x1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)a2aln a,极小值是f(1).当a1时,f(x)0,所以函数f(x)在定义域(0,)内单调递增,此时f(x)没有极值点,故无极值当a1时,若x(0,1),f(x)0,函数f(x)单调递增;若x(1,a),f(x)0,函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点,xa是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1),极小值是f(a)a2aln a.综上,当0a1时,f(x)的极大值是,极小值是a2aln a.思维升华(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值
9、点(2)若函数yf(x)在区间(a,b)内有极值,那么yf(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值设f(x),其中a为正实数(1)当a时,求f(x)的极值点;(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时,若f(x)0,则4x28x30,解得x1,x2.结合,可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点,x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数,则f(x)在R上不变号,结合与条件a0,知ax22ax10在R上恒成立,即4a24a4a(a1)0,由此并结合a0,知0a1.所以a的取值范围为a|00),g(x)
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