导数与函数的单调性、极值、最值问题.pdf
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1、导数与函数的单调性、极值、最值问题导数与函数的单调性、极值、最值问题1.(2020全国卷)函数 f(x)x42x3的图象在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y2x1C.y2x3B.y2x1D.y2x1解析f(1)121,切点坐标为(1,1),又 f(x)4x36x2,所以切线的斜率 kf(1)4136122,切线方程为 y12(x1),即 y2x1.故选 B.答案Bexe2.(2020全国卷)设函数 f(x).若 f(1)4,则 a_.xa解析f(x)1.答案13.(2020新高考山东、海南卷)已知函数 f(x)aex1ln xln a.(1)当ae时,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处
2、的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若 f(x)1,求 a 的取值范围.1解f(x)的定义域为(0,),f(x)aex 1x.(1)当 ae 时,f(x)exln x1,f(1)e1,f(1)e1,曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y(e1)(e1)(x1),即 y(e1)x2.2直线 y(e1)x2 在 x 轴,y 轴上的截距分别为,2.e11122因此所求三角形的面积 S2|x|y|22.e1e1ex(xa1)(xa)2aeea1,可得f(1),即,解得a2244(1a)(1a)(2)当 0a1 时,f(1)aln a1.1当 a1 时,f(x)ex1ln x,f(x
3、)ex1x.当 x(0,1)时,f(x)0;当 x(1,)时,f(x)0.所以当 x1 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(1)1,从而 f(x)1.当 a1 时,f(x)aex1ln xln aex1ln x1.综上,a 的取值范围是1,).4.(2020全国卷)已知函数 f(x)exax2x.(1)当 a1 时,讨论 f(x)的单调性;1(2)当 x0 时,f(x)2x31,求 a 的取值范围.解(1)当 a1 时,f(x)exx2x,xR,f(x)ex2x1.故当 x(,0)时,f(x)0.所以 f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增.11(2)f(x)2x31 等价于2x3a
4、x2x1ex1.1设函数 g(x)2x3ax2x1ex(x0),则3213x2x ax x1 x 2ax1eg(x)2212xx2(2a3)x4a2ex12x(x2a1)(x2)ex.1若 2a10,即 a2,则当 x(0,2)时,g(x)0.所以 g(x)在(0,2)单调递增,而 g(0)1,故当 x(0,2)时,g(x)1,不符合题意.11若 02a12,即2a2,则当 x(0,2a1)(2,)时,g(x)0.所以 g(x)在(0,2a1),(2,)单调递减,在(2a1,2)单调递增.7e2由于 g(0)1,所以 g(x)1 当且仅当 g(2)(74a)e1,即 a4.27e21所以当4a
5、0,且 a1);1(4)(logax)xln a(a0,且 a1,x0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x)x3在(,)上单调递增,但 f(x)0.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如果函数在某个区间内恒有f(x)0时,则 f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f(x)0或 f(x)0,右侧 f(x)0,则 f(x0)为函数 f(x)的极大值;若在 x0附近左侧 f(x)0,则 f(x0)为函数 f(x)的极
6、小值.(2)设函数 yf(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件.热点一导数的几何意义【例 1】(1)(2019全国卷)已知曲线 yaexxln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y2xb,则()A.ae,b1C.ae1,b1B.ae,b1D.ae1,b1(2)(多选题)下列四条曲线中,直线 y2x 与其相切的有()A.曲线 y2ex2B.曲线 y2sin x1C.曲线 y3xxD.曲线 yx3x2解析(1)因为 yaexln x1,所以 ky|x1
7、ae1,所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1),即 y(ae1)x1.1ae12,ae,所以即b1,b1.(2)直线 y2x 的斜率为 k2,A 中,若 f(x)2ex2,则由 f(x)2ex2,得 x0,f(0)0,因为点(0,0)在直线 y2x 上,所以直线 y2x 与曲线 y2ex2 相切.B 中,若 f(x)2sin x,则由 f(x)2cos x2,得 x2k(kZ),f(2k)0,因为点(0,0)在直线 y2x 上,所以直线 y2x 与曲线 y2sin x 相切.11C中,若f(x)3xx,则由f(x)3x22,得x1,f(1)4,f(1)4,因1为(1,4
8、),(1,4)都不在直线 y2x上,所以直线 y2x与曲线 y3xx不相切.D 中,若 f(x)x3x2,则由 f(x)3x212,得 x1,f(1)2,f(1)2,其中(1,2)在直线 y2x 上,所以直线 y2x 与曲线 yx3x2 相切.故选 ABD.答案(1)D(2)ABD探究提高利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化,其中关键是确定切点的坐标.【训练 1】(1)(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 yln x 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点(e,1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是_.(2)(2020
9、全国卷)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为_.1解析(1)设 A(m,n),则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 ynm(xm).又切线过点(e,1),1所以有 n1(me).m再由 nln m,解得 me,n1.故点 A 的坐标为(e,1).(2)设切点坐标为(x0,y0),1因为 yln xx1,所以 yx1,1所以切线的斜率为x12,解得 x01.0所以 y0ln 1112,即切点坐标为(1,2),所以切线方程为 y22(x1),即 2xy0.答案(1)(e,1)(2)2xy0热点二利用导数研究函数的单调性角度 1讨论函数的单调性(区间)【例 2】(2020
10、全国卷)已知函数 f(x)2ln x1.(1)若 f(x)2xc,求 c 的取值范围;(2)设 a0,讨论函数 g(x)f(x)f(a)的单调性.xa解设 h(x)f(x)2xc,则 h(x)2ln x2x1c,2其定义域为(0,),h(x)x2.(1)当 0 x0;当 x1 时,h(x)0.所以 h(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,)单调递减.从而当 x1 时,h(x)取到最大值,最大值为 h(1)1c.故当且仅当1c0,即 c1 时,f(x)2xc.所以 c 的取值范围为1,).(2)g(x)f(x)f(a)2(ln xln a),x(0,a)(a,).xaxaaaxa2ln a
11、ln x21xlnx xg(x).(xa)2(xa)2取 c1 得 h(x)2ln x2x2,h(1)0,则由(1)知,当 x1 时,h(x)0,即 1xln x0.aa故当 x(0,a)(a,)时,1xlnx0,从而 g(x)0 恒成立,12mx x.112令 g(x)x x,则当x1,即 x1 时,函数 g(x)取最大值 1,故 m1.23x 4x3(x1)(x3)(2)对 f(x)求导,得 f(x)x4x.由 f(x)xx220 得函数 f(x)的两个极值点为 1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t1)内,函数 f(x)在区间t,t1上就不单调,所以 t1t1 或 t3t1,解得
12、0t1 或 2t0 或f(x)0.2.(1)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f(x)0(或 f(x)0),x(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是 f(x)不恒等于 0 的参数的范围.(2)若函数 yf(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为 f(x)0 在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).【训练 2】(2020百师联盟考试)已知函数 f(x)axexx22x.(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)当 x0 时,f(x)0,求正实数 a 的取值范围.解(1)f(x)a(x1)ex2x2(x1)(aex2).当 a0
13、 时,由 f(x)0,得 x1;由 f(x)0,得 x1.f(x)在(,1)上单调递增,f(x)在(1,)上单调递减.当 a2e 时,f(x)0,即 f(x)在 R 上单调递增,2当 0a2e 时,由 f(x)0,得1xlna;2由 f(x)0,得 x1 或 xln.a22f(x)在(,1)和lna,上单调递增,f(x)在1,lna上单调递减.2当 a2e 时,由 f(x)0,得 lnax1;2由 f(x)0,得 x1 或 xlna.22,lnln,1上单调递减.故 f(x)在(1,)和上单调递增,f(x)在aa(2)当 a2e 时,由第(1)问知 f(x)在(0,)上是增函数,f(x)f(0
14、)0,满足题意.当 0a2e 时,由(1)知:2当lna0时,即2a2e时,f(x)在(0,)单调递增,即f(x)f(0)0,符合题意.222当 lna0 时,即 0a2 时,f(x)在0,lna单调递减,在lna,单调递增.20,ln因此当 x时,f(x)f(0)0,不符合题意.a综上可知,实数 a 的取值范围是2,).热点三利用导数研究函数的极值和最值【例 4】设函数 f(x)e2xaln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数;2(2)证明:当 a0 时,f(x)2aalna.a(1)解f(x)的定义域为(0,),f(x)2e2xx(x0).当 a0 时,f(x)0,f(x
15、)没有零点.a当 a0 时,设 u(x)e2x,v(x)x,a因为 u(x)e2x在(0,)上单调递增,v(x)x在(0,)上单调递增,所以f(x)在(0,)上单调递增.a1又 f(a)0,当 b 满足 0b4且 b4时,f(b)0(讨论 a1 或 a1 来检验),111a2b当 a1 时,则 0b4,f(b)2e b2e24a2(e22a)0;当 0a1 时,则aaa2b0b,f(b)2e 2e240.4b故当 a0 时,f(x)存在唯一零点.(2)证明由(1),可设 f(x)在(0,)上的唯一零点为 x0,当 x(0,x0)时,f(x)0;当 x(x0,)时,f(x)0.故 f(x)在(0
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