大学课件 高等数学 下学期 7-2（偏导数）.ppt

1/25,第二节 偏 导 数,一、偏导数的定义及其计算法,二、偏导数的几何意义,四、高阶偏导数,三、偏导数存在与连续的关系,五、小结,2/25,一、偏导数的定义及其计算法,定义,存在,内有定义，,函数有相应的增量,如果极限,则称此极限为函数,(称为关于x的偏增量).,对x的偏导数。,3/25,记为,或,同理,可定义函数,为,记为,或,对y的偏导数,4/25,那么这个偏导数,仍是,的二元函数,它就称为函数,如果函数,对自变量x的偏导函数,(简称偏导数),记作,或,同理,可定义函数,对自变量y的,偏导函数,(简称偏导数),记作,或,在区域D内任一点,(x, y)处对x的偏导数都存在,5/25,偏导数的概念可以,推广到二元以上函数,如,6/25,求多元函数的偏导数,利用一元函数,只需将y,的求导法对x求导即可.,看作常量,并不需要新的方法,例1. 求 的偏导数.,解.,求某一点的偏导数时,变为一元函数,代入,可将其它变量的值,再求导,常常较简单.,7/25,三个偏导数.,解.,例2.,在点(1,0,2)处的,8/25,证.,例3.,9/25,二、偏导数的几何意义,设二元函数,在点,有,如图,为曲面,偏导数.,上的一点,过点,作平面,此平面,与曲面相交得一曲线,曲线的,方程为,由于偏导数,等于一元函数,的,导数,故由一元函数导数的几何意义,10/25,可知:,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对,x轴的斜率;,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对y轴的斜率.,11/25,解.,例4.,按定义得,12/25,但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.,按定义得,由以上计算可知,在点,处可偏导,13/25,三、偏导数存在与连续的关系,？,一元函数中在某点可导 连续,多元函数中在某点偏导数存在 连续,x = x0上的值有关 ,所以偏导数存在不能保证函数,说明,因偏导数fx (x0, y0)仅与,上的值有关,偏导数 f y(x0, y0)仅与,的函数值无关,有极限.,函数 f (x, y)在y = y0,函数 f (x, y)在,而与(x0, y0)邻域内其他点上,更保证,不了连续性.,14/25,二元函数f(x, y)在点 (x0, y0)处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在该点连续的 ( ).,A. 充分条件而非必要条件,B. 必要条件而非充分条件,C. 充分必要条件,D. 既非充分条件又非必要条件,D,例5.选择题.,15/25,混合偏导,定义,四、高阶偏导数,高阶偏导数.,二阶及二阶以上的偏导数统称为,16/25,例6.,的四个二阶偏导数.,解.,17/25,例7.,解.,有,18/25,按定义得,19/25,多元函数的高阶混合偏导数如果连,一般地,续就与求导次序无关.,如果函数,的两个二阶混合偏,在区域D内,定理,连续，,那么在,导数,该区域内,在例6中两个混合二阶偏导数相等,例7中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏,导数的次序有关.,但在,20/25,多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微,分方程.,偏微分方程是描述自然现象、反映自然,规律的一种重要手段.,例如方程,(a是常数)称为波动方程,它可用来描述各类波的,运动.,又如方程,称为拉普拉斯(laplace)方程,它在热传导、流体,运动等问题中有着重要的作用.,21/25,1、验证函数,满足拉普拉斯方程:,证.,因,由x, y在函数表达式中的对称性,立即可写出,即证.,练习,22/25,A. 连续,偏导数存在;,B. 连续,偏导数不存在;,C. 不连续,偏导数存在;,D. 不连续,偏导数不存在.,C,练习,3.,23/25,偏导数的定义,偏导数的计算,高阶偏导数,(偏增量比的极限),纯偏导,混合偏导,(相等的条件),五、小结,偏导数的几何意义,偏导数存在与连续、极限的关系,