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课后跟踪训练(五十四)基础巩固练一、选择题1(2019天津七校联考)经过点(0,1)与直线2xy20平行的直线方程是()A2xy10 B2xy10C2xy10 D2xy10解析解法一：设所求直线的方程为2xya0，将(0,1)代入直线方程，得1a0，所以a1，故所求直线方程为2xy10.故选B.解法二：直线2xy20的斜率为k2，由条件知所求直线斜率为2，又所求直线过(0,1). 所求直线为y2x1 即2xy10.答案B2(2020四川联合诊断)直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30解析在所求直线上任取一点P(x，y)，其关于直线x1的对称点为P(2x，y)在直线x2y10上，故2x2y10，即x2y30.故选D.答案D3(2020湖北襄阳四中月考)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是()A(6,2) BC. D解析联立解得由于直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，所以解得<k<.故选C.答案C4(2020重庆第一中学月考)光线从点A(3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为()A5 B2 C5 D10解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B(2，10)，由对称性可得光线从A到B的距离为|AB|5.故选C.答案C5(2019河北五校联盟质检)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A. B C D解析因为a0或a2时，l1与l2均不平行，所以a0且a2.因为l1l2，所以，所以解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2之间的距离d.故选B.答案B二、填空题6(2019黑龙江鹤岗一中检测)过点A(1,2)且与直线x2y30垂直的直线方程为_解析解法一：直线x2y30的斜率为，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为2，所以所求方程为y22(x1)，即2xy40.解法二：由条件知：可设所求方程为2xym0，又直线过A(1,2)，故有212m0m4，所以所求直线方程为2xy40.答案2xy407过点P(4,2)，且到点(1,1)的距离为5的直线方程为_解析当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则其方程为y2k(x4)，即kxy4k20，由点到直线的距离公式得5，解得k，此时直线方程为12x5y580.当直线的斜率不存在时，x4也满足条件综上可知所求直线方程为12x5y580或x4.答案12x5y580或x48(2020江西南昌六校月考)若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点_解析由题意知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)答案(0,2)三、解答题9(2019武汉调研)已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解(1)易知点A到直线x2y0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50.由题意得3，即22520，2或.l的方程为4x3y50或x2.(2)由解得交点为P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)dmax|PA|.10已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2,2)(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.证明(1)显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2)(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段长度小于斜线段长度知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|4，|PM|<4，故所证成立能力提升练11(2019四川成都调研)已知直线l1过点(2,0)且倾斜角为30，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A(3，) B(2，)C(1，) D解析直线l1的斜率为k1tan30，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2，所以直线l1的方程为y(x2)，直线l2的方程为y(x2)两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)故选C.答案C12(2019河南洛阳期末)已知点P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析因为点P(x0，y0)不在直线AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直线AxByC(Ax0By0C)0不经过点P，排除A，B；又直线AxByC(Ax0By0C)0与直线l：AxByC0平行，排除C，故选D.答案D13(2019湖北孝感五校联考)已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为_解析设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.同理可得点B(3,1)关于直线y2x的对称点为(1,3)，AC所在直线方程为y2(x4)，即x3y100.联立得解得则C(2,4)答案(2,4)14在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小解 (1)如图，设B关于l的对称点为B，AB的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|PB|PA|PB|AB|P0A|P0B|P0A|P0B|，则P0即为所求易求得直线BB的方程为x3y120，设B(a，b)，则a3b120，又线段BB的中点在l上，故3ab60.由解得a3，b3，所以B(3,3)所以AB所在直线的方程为2xy90.由可得P0(2,5)(2)设C关于l的对称点为C，与(1)同理可得C.连接AC交l于P1，在l上另任取一点P，有|PA|PC|PA|PC|AC|P1C|P1A|P1C|P1A|，故P1即为所求又AC所在直线的方程为19x17y930，故由可得P1.拓展延伸练15(2019湖南岳阳二模)已知动直线l0：axbyc20(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则的最小值为()A. B C1 D9解析动直线l0：axbyc20(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，abmc20.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，3，解得m0，ac2.又a>0，c>0，(ac)，当且仅当c2a时等号成立故选B.答案B16(2019陕西省高三第二次质量检测)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且ACBC，则ABC的欧拉线的方程为()Ax2y30 B2xy30Cx2y30 D2xy30解析因为ACBC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB2，故AB的中垂线方程为y2(x1)，即x2y30，故选C.答案C