2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题7.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式（教师版含解析）.docx

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题7.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式目录一、题型全归纳2命题角度一 判断不等式是否成立23题型二 一元二次不等式的解法5命题角度二含参数的一元二次不等式6命题角度四 分式不等式的解法8二、高效训练突破13一、题型全归纳题型一 不等式性质的应用命题角度一 判断不等式是否成立【题型要点】判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断【例1】(2020辽宁省鞍山一中高三上学期期末)已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由a>0不能推出a>b且>，故甲不是乙的充分条件若a>b且>，即a>b且>0，则ab<0，所以a>0，b<0.所以由a>b且>能推出a>0.故甲是乙的必要条件所以甲是乙的必要不充分条件【例2】若<<0，给出下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2.其中正确的不等式是()A B C D【答案】C【解析】因为<<0，所以b<a<0，|b|>|a|，所以|a|b<0，ln a2<ln b2，由a>b，>可推出a>b，显然有<0<，综上知，正确，错误命题角度二 比较两个数(式)大小的两种方法【题型要点】比较两个数(式)大小的3种方法【例1】若a，b，c，则()Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<a<c【答案】B.【解析】：法一：易知a，b，c都是正数，log8164<1.所以a>b；log6251 024>1.所以b>c.即c<b<a.法二：对于函数yf(x)，y，易知当x>e时，函数f(x)单调递减因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.【例2】已知等比数列an中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_【答案<【解析】当q1时，3，5，所以<.当q>0且q1时，<0，所以<.综上可知<.命题角度三 求代数式的取值范围【题型要点】求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径 【例1】已知二次函数yf(x)的图象过原点，且1f(1)2,3f(1)4，求f(2)的取值范围【答案】6,10【解析】由题意知f(x)ax2bx，则f(2)4a2b，由f(1)ab，f(1)ab，设存在实数m，n，使得4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(mn)b，所以解得所以f(2)4a2b(ab)3(ab)又3ab4,33(ab)6，所以6(ab)3(ab)10，即f(2)的取值范围是6,10【例2】已知1<x<4，2<y<3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_【答案】(4，2)(1，18)【解析】因为1<x<4，2<y<3，所以3<y<2，所以4<xy<2.由1<x<4，2<y<3，得3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x2y<18.来源:学科网题型二 一元二次不等式的解法【题型要点】一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系【易错提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况 命题角度一 不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的四个步骤一化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对应方程的判别式来源:学.科.网Z.X.X.K三求求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集【例1】求不等式x28x3>0的解集【答案】x|4<x<4【解析】因为824(1)(3)52>0，所以方程x28x30有两个不相等的实根x14，x24.又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4<x<4命题角度二含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的一般步骤 【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x1<0.【答案】见解析【解析】若a0，原不等式等价于x1<0，解得x>1.若a<0，原不等式等价于(x1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x1)<0.当a1时，1，(x1)<0无解；当a>1时，<1，解(x1)<0，得<x<1；当0<a<1时，>1，解(x1)<0，得1<x<.综上所述，当a<0时，解集为；当a0时，解集为x|x>1；当0<a<1时，解集为；当a1时，解集为；当a>1时，解集为.命题角度三已知一元二次不等式的解集求参数【例3】已知不等式ax2bx1>0的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_【答案】x|x3或x2【解析】由题意，知，是方程ax2bx10的两个根，且a<0，所以解得即不等式x2bxa0为x25x60，解得x3或x2.【例4】(2020黄冈模拟)关于x的不等式axb>0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x2)<0的解集是()A(，1)(2，) B(1,2)C(1,2) D(，1)(2，)【答案】C【解析】因为关于x的不等式axb>0的解集是(1，)，所以a>0，且1，所以关于x的不等式(axb)(x2)<0可化为(x2)<0，即(x1)(x2)<0，所以不等式的解集为x|1<x<2命题角度四 分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解(1)>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；(2)0(0)【例5】不等式1的解集为()A. B.C(，2) D(，2【答案】B.【解析】：1100002<x.故选B.【例6】不等式1的解集为_【答案】：(5，)【解析】：将原不等式移项通分得0，等价于解得x>5或x.所以原不等式的解集为.题型三 一元二次不等式恒成立问题【题型要点】形如f(x)0(f(x)0)恒成立问题的求解策略(1)对xR的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解(2)对xa，b的不等式确定参数的范围时，根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式参数的取值范围(3)已知参数ma，b的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数【易错提醒】解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数 【例1】已知函数f(x)x2x1.(1)若f(x)0，在R上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若x1,2，f(x)2成立，求实数a的取值范围【答案】见解析【解析】(1)由题意得f(x)x2x10在R上恒成立，40，解得4a4，实数a的取值范围为4,4(2)由题意得x1,2，x2x12成立，x1,2，x成立令g(x)x，x1,2，则g(x)在区间1,2上单调递增，g(x)maxg(2)，解得a3，实数a的取值范围为(，3【例2】设函数f(x)mx2mx1.若对于x1，3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范围【答案】【解析】要使f(x)<m5在x1，3上恒成立，即mm6<0在x1，3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)mm6，x1，3当m>0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m6<0，所以m<，所以0<m<；当m0时，6<0恒成立；当m<0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是.法二：因为x2x1>0，又因为m(x2x1)6<0，所以m<.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m<即可所以，m的取值范围是.【例3】函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围【答案】见解析【解析】(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a.如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x(，2时，g(x)0.即即可得7a6.综上，实数a的取值范围是7,2(3)令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，)二、高效训练突破一、选择题1(2020潍坊模拟)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1 B1,2C1,1 D1,2【答案】A【解析】Ax|x22x30x|(x3)(x1)0x|x1或x3，又Bx|2x2，所以ABx|2x12若正实数a，b满足a>b，且ln aln b>0，则()A.> Ba2<b2Cab1>ab Dlg alg b>0【答案】C【解析】由已知得a>b>1或0<b<a<1，因此必有<，a2>b2，所以A，B错误；又ab>1或0<ab<1，因此lg alg blg (ab)>0或lg (ab)<0，所以D错误；而ab1(ab)(a1)(b1)>0，即ab1>ab，所以C正确3已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是()Aa2<ab B|a|<|b|C.> D【答案】C.【解析】：法一：当a1，b1时，满足a>0>b，此时a2ab，|a|b|，所以A，B，D不一定成立因为a>0>b，所以ba<0，ab<0，所以>0，所以>一定成立，故选C.法二：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立，故选C.4若m<0，n>0且mn<0，则下列不等式中成立的是()An<m<n<m Bn<m<m<nCm<n<m<n Dm<n<n<m【答案】D.【解析】：法一(取特殊值法)：令m3，n2分别代入各选项检验即可法二：mn<0mnn<m，又由于m<0<n，故m<n<n<m成立5.若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，则a的取值范围是()A4，1 B4，3 C1，3 D1，3【答案】B.【解析】：原不等式为(xa)(x1)0，当a<1时，不等式的解集为a，1，此时只要a4即可，即4a<1；当a1时，不等式的解为x1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1<a3.综上可得4a3.6(2020湖南益阳4月模拟)已知函数f(x)ax2(a2)xa2为偶函数，则不等式(x2)f(x)<0的解集为()A(，)(2，) B(，)C(2，) D(，2)【答案】A.【解析】：因为函数f(x)ax2(a2)xa2为偶函数，所以a20，得a2，所以f(x)2x24，所以不等式(x2)f(x)<0可转化为或即或解得<x<或x>2.故原不等式的解集为(，)(2，)故选A.7.(2020广东清远一中月考)关于x的不等式axb0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)0的解集是()A(，1)(3，) B(1,3)C(1,3) D(，1)(3，)【答案】C【解析】关于x的不等式axb0的解集是(1，)，即不等式axb的解集是(1，)，ab0，不等式(axb)(x3)0可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所求解集是(1,3)故选C.8.设实数x，y满足0<xy<4，且0<2x2y<4xy，则x，y的取值范围是()Ax>2且y>2 Bx<2且y<2C0<x<2且0<y<2 Dx>2且0<y<2【答案】C.【解析】：由题意得则由2x2y4xy(x2)(2y)<0，得或又xy<4，可得9.(2020天津市新华中学模拟)已知命题p：>，命题q：xR，ax2ax1>0，则p成立是q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式>可得0<a<4，对于命题q，当a0时，命题明显成立；当a0时，有10.设a，bR，定义运算“”和“”如下：abab若mn2，pq2，则()Amn4且pq4 Bmn4且pq4Cmn4且pq4 Dmn4且pq4【答案】A【解析】：.结合定义及mn2可得或即nm2或m>n2，所以mn4；结合定义及pq2，可得或即q<p2或pq2，所以pq4.11(2020安徽蒙城五校联考)在关于x的不等式x2(a1)xa<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是()A(3，5) B(2，4) C3，5 D2，4【答案】D.【解析】：因为关于x的不等式x2(a1)xa<0可化为(x1)(xa)<0，当a>1时，不等式的解集为x|1<x<a；当a<1时，不等式的解集为x|a<x<1，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a4且a2，所以实数a的取值范围是a2，4，故选D.12已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A(1，0) B(2，)C(，1)(2，) D不能确定【答案】C.【解析】：由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)开口向下，所以当x1，1时，f(x)为增函数，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.二、填空题1.设a>b，有下列不等式>；<；|a|>|b|；a|c|b|c|，则一定成立的有_(填正确的序号)【答案】：【解析】：对于，>0，故成立；对于，a>0，b<0时不成立；对于，取a1，b2时不成立；对于，|c|0，故成立2已知实数a(1，3)，b，则的取值范围是_【答案】：(4，24)【解析】：依题意可得4<<8，又1<a<3，所以4<<24，故答案为(4，24)3不等式|x(x2)|>x(x2)的解集是_【答案】：x|0<x<2【解析】：不等式|x(x2)|>x(x2)的解集即x(x2)<0的解集，解得0<x<2.4规定符号“”表示一种运算，定义abab(a，b为非负实数)，若1k2<3，则k的取值范围是_【答案】：(1，1)【解析】：因为定义abab(a，b为非负实数)，1k2<3，所以1k2<3，化为(|k|2)(|k|1)<0，所以|k|<1，所以1<k<1.5已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是_【答案】：【解析】：因为函数f(x)x2mx1的图象是开口向上的抛物线，所以对于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，则有即解得<m<0.6.已知ABC的三边长分别为a，b，c且满足bc3a，则的取值范围为_【答案】：(0，2)【解析】：由已知及三角形的三边关系得所以所以两式相加得，0<2<4，所以的取值范围为(0，2)7若x>y，a>b，则在ax>by；ax>by；ax>by；xb>ya；>这五个式子中，恒成立的不等式的序号是_【答案】：【解析】：令x2，y3，a3，b2.符合题设条件x>y，a>b.因为ax3(2)5，by2(3)5.所以axby，因此不成立因为ax6，by6，所以axby，因此不成立因为1，1，来源:Zxxk.Com所以，因此不成立由不等式的性质可推出成立8.已知函数f(x)，若对任意x1，)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】(3，)【解析】对任意x1，)，f(x)>0恒成立等价于x22xa>0，即a>(x1)21在1，)上恒成立，令g(x)(x1)21，则g(x)在1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)3，所以a>3.9.(2020江西临川一中高考模拟)已知函数f(x)ln (3x)，则不等式f(lg x)>0的解集为_【答案】(1,100)【解析】因为f(x)ln (3x)，则解得0x<3，所以定义域为0,3)，因为f(x)ln (3x)>0等价于解得0<x<2，因为f(lg x)>0，所以解得1<x<100，所以解集为(1,100)10.已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_【答案】：9【解析】：由题意知f(x)x2axbb.因为f(x)的值域为0，)，所以b0，即b.所以f(x)(x)2.又f(x)<c，所以(x)2<c，即<x<.所以，得26，所以c9.三 解答题1.求使不等式x2(a6)x93a>0，|a|1恒成立的x的取值范围【答案】见解析【解析】：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x9>0.令f(a)(x3)ax26x9，因为f(a)>0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x<2或x>4.则实数x的取值范围为(，2)(4，)2已知函数f(x)的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2xa2a<0.【答案】见解析【解析】：(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以ax22ax10恒成立，当a0时，10恒成立当a0时，则有解得0<a1，综上可知，a的取值范围是0，1(2)因为f(x)，来源:学科网因为a>0，所以当x1时，f(x)min，由题意得，所以a，所以不等式x2xa2a<0可化为x2x<0.解得<x<，所以不等式的解集为.3已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(，3)(2，)时，f(x)<0，当x(3，2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在0，1内的值域；(2)若ax2bxc0的解集为R，求实数c的取值范围【答案】见解析【解析】：(1)因为当x(，3)(2，)时，f(x)<0，当x(3，2)时，f(x)>0.所以3，2是方程ax2(b8)xaab0的两个根，所以所以a3，b5.所以f(x)3x23x183.因为函数图象关于x对称且抛物线开口向下，所以f(x)在0，1上为减函数，所以f(x)maxf(0)18，f(x)minf(1)12，故f(x)在0，1内的值域为12，18(2)由(1)知不等式ax2bxc0可化为3x25xc0，要使3x25xc0的解集为R，只需b24ac0，即2512c0，所以c，所以实数c的取值范围为4设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m<n)(1)若m1，n2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小【答案】见解析【解析】：(1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn)，当m1，n2时，不等式F(x)>0，即a(x1)(x2)>0.当a>0时，不等式F(x)>0的解集为x|x<1或x>2；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为x|1<x<2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，来源:Zxxk.Com因为a>0，且0<x<m<n<，所以xm<0，1anax>0.所以f(x)m<0，即f(x)<m.