2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题7.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式(教师版含解析).docx
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1、2021年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破专题7.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式目录一、题型全归纳2命题角度一 判断不等式是否成立23题型二 一元二次不等式的解法5命题角度二含参数的一元二次不等式6命题角度四 分式不等式的解法8二、高效训练突破13一、题型全归纳题型一 不等式性质的应用命题角度一 判断不等式是否成立【题型要点】判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断【例1】(2020辽宁省鞍山一中高三上学期期末)已知条件甲:a0,条件乙
2、:ab且,则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由a0不能推出ab且,故甲不是乙的充分条件若ab且,即ab且0,则ab0,bb且能推出a0.故甲是乙的必要条件所以甲是乙的必要不充分条件【例2】若0,给出下列不等式:0;ab;ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A B C D【答案】C【解析】因为0,所以ba|a|,所以|a|b0,ln a2b,可推出ab,显然有0,综上知,正确,错误命题角度二 比较两个数(式)大小的两种方法【题型要点】比较两个数(式)大小的3种方法【例1】若a,b,c,则()Aabc BcbaCcab Db
3、ac【答案】B.【解析】:法一:易知a,b,c都是正数,log8164b;log6251 0241.所以bc.即cbe时,函数f(x)单调递减因为e34f(4)f(5),即cb0,q0,前n项和为Sn,则与的大小关系为_【答案【解析】当q1时,3,5,所以0且q1时,0,所以.综上可知.命题角度三 求代数式的取值范围【题型要点】求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径 【例1】已知二次函数yf(x)的图象过原点,且1f(1)2,3f
4、(1)4,求f(2)的取值范围【答案】6,10【解析】由题意知f(x)ax2bx,则f(2)4a2b,由f(1)ab,f(1)ab,设存在实数m,n,使得4a2bm(ab)n(ab),即4a2b(mn)a(mn)b,所以解得所以f(2)4a2b(ab)3(ab)又3ab4,33(ab)6,所以6(ab)3(ab)10,即f(2)的取值范围是6,10【例2】已知1x4,2y3,则xy的取值范围是_,3x2y的取值范围是_【答案】(4,2)(1,18)【解析】因为1x4,2y3,所以3y2,所以4xy2.由1x4,2y3,得33x12,42y6,所以13x2y0的解集【答案】x|4x0,所以方程x
5、28x30有两个不相等的实根x14,x24.又二次函数yx28x3的图象开口向下,所以原不等式的解集为x|4x4命题角度二含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的一般步骤 【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x10.【答案】见解析【解析】若a0,原不等式等价于x11.若a0,解得x1.若a0,原不等式等价于(x1)0.当a1时,1,(x1)1时,1,解(x1)0,得x1;当0a1,解(x1)0,得1x.综上所述,当a1;当0a1时,解集为.命题角度三已知一元二次不等式的解集求参数【例3】已知不等式ax2bx10的解集是,则不等式x2bxa0的解集是_【答案】x|x3或x2【解析】由题
6、意,知,是方程ax2bx10的两个根,且a0的解集是(1,),则关于x的不等式(axb)(x2)0的解集是(1,),所以a0,且1,所以关于x的不等式(axb)(x2)0可化为(x2)0,即(x1)(x2)0,所以不等式的解集为x|1x0(0(0);(2)0(0)【例5】不等式1的解集为()A. B.C(,2) D(,2【答案】B.【解析】:11000025或x.所以原不等式的解集为.题型三 一元二次不等式恒成立问题【题型要点】形如f(x)0(f(x)0)恒成立问题的求解策略(1)对xR的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解(2)对xa,b的不等式确定参数的范围时,根据
7、函数的单调性,求其最值,让最值大于等于或小于等于0,从而求出参数的范围;数形结合,利用二次函数在端点a,b处的取值特点确定不等式参数的取值范围(3)已知参数ma,b的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数【易错提醒】解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数 【例1】已知函数f(x)x2x1.(1)若f(x)0,在R上恒成立,求实数a的取值范围;(2)若x1,2,f(x)2成立,求实数a的取值范围【答案】见解析【解析】(1)由题意得f(x)x2x10在R上恒成立,40,解得4a4,实数a的取值范围为4,4(2)由题意得x1,2,x2x1
8、2成立,x1,2,x成立令g(x)x,x1,2,则g(x)在区间1,2上单调递增,g(x)maxg(2),解得a3,实数a的取值范围为(,3【例2】设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3,f(x)m5恒成立,求m的取值范围【答案】【解析】要使f(x)m5在x1,3上恒成立,即mm60时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)maxg(3)7m60,所以m,所以0m;当m0时,60恒成立;当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)maxg(1)m60,所以m6,所以m0,又因为m(x2x1)60,所以m.因为函数y在1,3上的最小值为,所以只需mb,且ln aln b0,则()A.
9、 Ba2ab Dlg alg b0【答案】C【解析】由已知得ab1或0ba1,因此必有b2,所以A,B错误;又ab1或0ab0或lg (ab)0,即ab1ab,所以C正确3已知a0b,则下列不等式一定成立的是()Aa2ab B|a| D【答案】C.【解析】:法一:当a1,b1时,满足a0b,此时a2ab,|a|b|,所以A,B,D不一定成立因为a0b,所以ba0,ab0,所以一定成立,故选C.法二:因为a0b,所以0,所以一定成立,故选C.4若m0且mn0,则下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm【答案】D.【解析】:法一(取特殊值法):令m3,n2分别代入各选项
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