2009年安徽省高考数学试卷(文科)答案与解析.doc

12009 年安徽省高考数学试卷（文科）年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分）分）1（5 分）（2009安徽）i 是虚数单位，i（1+i）等于（）A1+iB1iC1i D1+i【考点】虚数单位 i 及其性质菁优网版 权全部【专题】计算题【分析】两个复数相乘，类似于单项式乘以多项式的乘法法则，用 i 去乘以 1+i 的每一项，得到积，把虚数单位的乘法再算出结果【解答】解：i（1+i）=i+i2=1+i故选 D【点评】本题考查复数的乘法运算，考查复数的乘方运算，是一个基础题，复数的这种问题通常消失在大型考试的前几个选择和填空中2（5 分）（2009安徽）若集合 A=x|（2x+1）（x3）0，B=xN|x5，则 AB 是（）A1，2，3B0，1，2C4，5D1，2，3，4，5【考点】交集及其运算菁优网版 权全部【专题】计算题【分析】分别求出集合 A 中不等式的解集和集合 B 中解集的自然数解得到两个集合，求出交集即可【解答】解：集合 A 中的不等式（2x+1）（x3）0 可化为或解得 x3，所以集合 A=（，3）；集合 B 中的不等式 x5 的自然数解有：0，1，2，3，4，5，所以集合 B=0，1，2，3，4，5所以 AB=0，1，2故选 B【点评】此题考查了集合交集的运算，是一道基础题3（5 分）（2009安徽）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）ABCD【考点】简洁线性规划的应用菁优网版 权全部【专题】计算题；数形结合【分析】先依据约束条件画出可行域，求三角形的顶点坐标，从而求出表示的平面区域的面积即可【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，2由得交点 A 的坐标为（1，1）又 B、C 两点的坐标为（0，4），（0，）故 SABC=（4）1=故选 C【点评】本题主要考查了简洁的线性规划，以及利用几何意义求平面区域的面积，属于基础题4（5 分）（2009安徽）“a+cb+d”是“ab 且 cd”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的推断菁优网版 权全部【分析】由不等式的基本性持得 ab 且 cd 时必有 a+cb+d若 a+cb+d 时，则可能有ad 且 cb【解答】解：ab 且 cda+cb+d若 a+cb+d 时，则可能有 ad 且 cb，故选 A【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要认真审题，认真解答5（5 分）（2009安徽）已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则 a20等于（）A1 B1C3D7【考点】等差数列的性质菁优网版 权全部【专题】计算题【分析】依据已知条件和等差中项的性质可分别求得 a3和 a4的值，进而求得数列的公差，最终利用等差数列的通项公式求得答案【解答】解：由已知得 a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，a3=35，a4=33，d=a4a3=2a20=a3+17d=35+（2）17=1故选 B【点评】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用 解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得 a3和 a436（5 分）（2009安徽）下列曲线中离心率为的是（）ABCD【考点】双曲线的简洁性质菁优网版 权全部【专题】计算题【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，【解答】解：选项 A 中 a=，b=2，c=，e=排解选项 B 中 a=2，c=，则 e=符合题意选项 C 中 a=2，c=，则 e=不符合题意选项 D 中 a=2，c=则 e=，不符合题意故选 B【点评】本题主要考查了双曲线的简洁性质考查了双曲线方程中利用，a，b 和 c 的关系求离心率问题7（5 分）（2009安徽）直线 l 过点（1，2）且与直线 2x3y+9=0 垂直，则 l 的方程是（）A3x+2y1=0B3x+2y+7=0C2x3y+5=0D2x3y+8=0【考点】直线的点斜式方程菁优网版 权全部【专题】计算题【分析】由于直线 l 与已知直线垂直，依据两直线垂直时斜率的乘积为1，由已知直线的斜率求出直线 l 的斜率，然后依据（1，2）和求出的斜率写出直线 l 的方程即可【解答】解：由于直线 2x3y+9=0 的斜率为，所以直线 l 的斜率为，则直线 l 的方程为：y2=（x+1），化简得 3x+2y1=0故选 A【点评】此题考查同学把握两直线垂直时斜率的关系，会依据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题8（5 分）（2009安徽）设 ab，函数 y=（xa）2（xb）的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象菁优网版 权全部【专题】压轴题；数形结合【分析】依据解析式推断 y 的取值范围，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案【解答】解：由题，=（xa）2的值大于等于 0，故4当 xb 时，y0，xb 时，y0对比四个选项，C 选项中的图符合故选 C【点评】本题考查了高次函数的图象问题，利用特别状况 xb，xb 时 y 的符号变化确定比较简洁9（5 分）（2009安徽）设函数 f（x）=x3+x2+tan，其中0，则导数 f（1）的取值范围是（）A2，2 B，C，2 D，2【考点】导数的运算菁优网版 权全部【专题】压轴题【分析】利用基本求导公式先求出 f（x），然后令 x=1，求出 f（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可【解答】解：f（x）=sinx2+cosx，f（1）=sin+cos=2sin（+）0，+，sin（+），12sin（+），2故选 D【点评】本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键10（5 分）（2009安徽）考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）A1BCD0【考点】等可能大事的概率菁优网版 权全部【专题】计算题；压轴题；数形结合【分析】由题意利用正方体画出三角形并推断出外形和两个三角形的关系，得出所求的大事为必定大事，故求出它的概率【解答】解：正方体六个面的中心任取三个只能组成两种三角形，一种是等腰直角三角形，如图甲另一种是正三角形如图乙若任取三个点构成的是等腰直角三角形，剩下的三个点也肯定构成等腰直角三角形，5若任取三个点构成的是正三角形，剩下的三点也肯定构成正三角形这是一个必定大事，因此概率为 1，故选 A【点评】本题考查了利用正方体定义大事并求出概率，关键画出图形推断出两个三角形的外形和关系二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分）11（5 分）（2009安徽）在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2），B（1，3，1），点M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是（0，1，0）【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离菁优网版 权全部【专题】计算题；方程思想【分析】依据点 M 在 y 轴上，设出点 M 的坐标，再依据 M 到 A 与到 B 的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得 AM，BM，解方程即可求得 M 的坐标【解答】解：设 M（0，y，0）由 12+y2+4=1+（y+3）2+1可得 y=1故 M（0，1，0）故答案为：（0，1，0）【点评】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于学问的系统化，属基础题12（5 分）（2009安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是127【考点】设计程序框图解决实际问题菁优网版 权全部6【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是利用循环计算 a 值，并输出满意条件 a100 的第一个 a 值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量 a 的值的变化状况进行分析，不难给出答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a是否连续循环循环前1/第一圈3是其次圈7是第三圈15是第四圈31是第五圈63是第六圈127否故最终输出的 a 值为：127故答案为：127【点评】依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参加计算的数据（假如参加运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，依据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模13（5 分）（2009安徽）从长度分别为 2，3，4，5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式菁优网版 权全部【专题】计算题【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本领件可以列举出共 4 种；而满意条件的大事是可以构成三角形的大事可以列举出共 3 种；依据古典概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率试验发生包含的基本领件为 2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5 共 4 种；而满意条件的大事是可以构成三角形的大事为 2，3，4；2，4，5；3，4，5 共 3 种；以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系14（5 分）（2009安徽）在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若=+，其中、R，则+=【考点】向量的共线定理菁优网版 权全部【专题】计算题；压轴题【分析】设=，=，表示出和，由=（+），及=+，解出和的值7【解答】解析：设=，=，那么=+，=+，又=+，=（+），即=，+=故答案为：【点评】本题考查向量的共线定理的应用，用=和=作为基底，表示出，也表示出+，利用=+，解出和的值15（5 分）（2009安徽）对于四周体 ABCD，下列命题正确的是（写出全部正确命题的编号）相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线；由顶点 A 作四周体的高，其垂足是BCD 三条高线的交点；若分别作ABC 和ABD 的边 AB 上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点【考点】异面直线的判定；命题的真假推断与应用；三垂线定理；棱锥的结构特征菁优网版 权全部【专题】综合题；压轴题【分析】结合图形，简洁得到是正确的，对分析推断即可【解答】解：相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线；满意异面直线的定义，正确；中的四周体假如对棱垂直，则垂足是BCD 的三条高线的交点；所以不正确；中假如 AB 与 CD 垂直，则两条高的垂足重合任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积，明显正确；对应边中点的连线是平行四边形对角线的交点，是正确的故答案为：8【点评】本题考查异面直线，三垂线定理，棱锥的结构特征，考查空间想象力量规律思维力量，是基础题三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 75 分）分）16（12 分）（2009安徽）在ABC 中，CA=，sinB=（1）求 sinA 的值；（2）设 AC=，求ABC 的面积【考点】运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用菁优网版 权全部【专题】综合题【分析】（1）由已知 CA=和三角形的内角和定理得到 A 与 B 的关系式及 A 的范围，然后两边取余弦并把 sinB 的值代入，利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于 sinA 的方程，求出方程的解即可得到 sinA 的值；（2）要求三角形的面积，依据面积公式 SABC=ACBCsinC 中，AC 已知，BC 和 sinC未知，所以要求出 BC 和 sinC，由 AC 及 sinA 和 sinB 的值依据正弦定理求出 BC，先依据同角三角函数间的关系由 sinA 求出 cosA，然后由 C 与 A 的关系式表示出 C，两边取正弦得到 sinC 与 cosA 相等，即可求出 sinC，依据面积公式求出即可【解答】解：（1）由 CA=和 A+B+C=，得 2A=B，0A故 cos2A=sinB，即 12sin2A=，sinA=（2）由（1）得 cosA=又由正弦定理，得，AC=3CA=，C=+A，sinC=sin（+A）=cosA，SABC=ACBCsinC=ACBCcosA=3=3【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题做题时应留意角度的变换17（12 分）（2009安徽）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A将其与原有的一个优良品种 B 进行对比试验两种小麦各种植了 25 亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：9品种 A：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454品种 B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）画出茎叶图；（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？（3）通过观看茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论【考点】茎叶图；极差、方差与标准差菁优网版 权全部【专题】计算题；作图题【分析】（1）把两组数据的百位和十位做茎，个位做叶，得到茎叶图，由于两组数据比较多，留意不要漏掉数字（2）样本不大，画茎叶图很便利，此时茎叶图不仅清楚明白地展现了数据的分布状况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据（3）通过观看茎叶图可以看出：品种 A 的亩产平均数（或均值）比品种 B 高；品种 A 的亩产标准差（或方差）比品种 B 大，得到品种 A 的亩产稳定性较差【解答】解：（1）把两组数据的百位和十位做茎，个位做叶，得到茎叶图，（2）由于每个品种的数据都只有 25 个，样本不大，画茎叶图很便利；此时茎叶图不仅清楚明白地展现了数据的分布状况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据（3）通过观看茎叶图可以看出：品种 A 的亩产平均数（或均值）比品种 B 高；品种 A 的亩产标准差（或方差）比品种 B 大，故品种 A 的亩产稳定性较差【点评】本题考查画出茎叶图，考查茎叶图的优点，考查从茎叶图上观看两组数据的平均数和稳定程度，是一个统计的综合题，留意写数据时做到不重不漏18（12 分）（2009安徽）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与 y=x+2 相切10（1）求 a 与 b；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为 F1和 F2，直线 l 过 F2且与 x 轴垂直，动直线 l2与 y 轴垂直，l2交 l1与点 P求 PF1线段垂直平分线与 l2的交点 M 的轨迹方程，并说明曲线类型【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程；椭圆的简洁性质；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权全部【专题】综合题；转化思想【分析】（1）由题意以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与 y=x+2 相切圆心到直线的距离等于半径，以及离心率解得 a 与 b（2）求出焦点坐标，设出 P 求出 N，再设 M、（x，y），利用垂直关系可求得轨迹方程【解答】解：（1）e=，=，又 b=，a=，b=（2）由（1）知 F1，F2分别为（1，0），（1，0），由题意可设 P（1，t），（t0）那么线段 PF1中点为 N（0，），设 M（x，y）是所求轨迹上的任意点，由=（x，y），=（2，t）则，消 t 得 y2=4x（x0）其轨迹为抛物线除原点的部分【点评】本题考查直线与圆的位置关系，轨迹方程，椭圆的性质等学问，是综合性较强的题目19（12 分）（2009安徽）已知数列an的前 n 项和 Sn=2n2+2n，数列bn的前 n 项和 Tn=2bn（）求数列an与bn的通项公式；（）设 cn=an2bn，证明：当且仅当 n3 时，cn+1cn【考点】数列的应用菁优网版 权全部【分析】（1）由题意知 a1=S1=4，an=SnSn1化简可得，an=4n，nN*，再由 bn=TnTn1=（2bn）（2bn1），可得 2bn=bn1知数列 bn是等比数列，其首项为 1，公比为 的等比数列，由此可知数列an与bn的通项公式（2）由题意知，=由得，解得n3由此能够导出当且仅当 n3 时 cn+1cn【解答】解：（1）由于 a1=S1=411当 n2 时，an=SnSn1=（2n2+2n）2（n1）2+2（n1）=4n，an=4n，nN*，又当 xn 时，Tn=2bn，bn=2Tn，bn=TnTn1=（2bn）（2bn1），2bn=bn1数列 bn是等比数列，其首项为 1，公比为，（2）由（1）知，=由得1，解得 n3又 n3 时，cn0 恒成立因此，当且仅当 n3 时 cn+1cn【点评】由可求出 bn和 an，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出bn和 an后，进而得到 cn，接下来用作商法来比较大小，这也是一常用方法20（13 分）（2009安徽）如图，ABCD 的边长为 2 的正方形，直线 l 与平面 ABCD 平行，E 和 F 是 l 上的两个不同点，且 EA=ED，FB=FC，E和 F是平面 ABCD 内的两点，EE 和 FF都与平面 ABCD 垂直，（1）证明：直线 EF垂直且平分线段 AD：（2）若EAD=EAB=60，EF=2，求多面体 ABCDEF 的体积【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；组合几何体的面积、体积问题菁优网版 权全部【专题】计算题；证明题；压轴题；分割补形法【分析】（1）依据 EA=ED 且 EE平面 ABCD 证出 ED=EC，则点 E在线段 AD 的垂直平分线上，同理证出 F在线段 BC 的垂直平分线上，再由 ABCD 是正方形证出结论；（2）依据图形连接 EB、EC，由题意证出 BE=FC=2，则多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 EABCD 和正四周体 EBCF，依据条件求出这两个几何体的体积，求 VEBCF需要换低求出【解答】解：（1）EA=ED 且 EE平面 ABCD，ED=EA，点 E在线段 AD 的垂直平分线上，同理点 F在线段 BC 的垂直平分线上又ABCD 是正方形，线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线即点 EF都居线段 AD 的垂直平分线上，12直线 EF垂直平分线段 AD（2）连接 EB、EC，设 AD 中点为 M，由题意知，AB=2，EAD=EAB=60，EF=2，ME=，BE=FC=2，则多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 EABCD 和正四周体 EBCF 两部分，在 RtMEE中，由于 ME=1，ME=，EE=，VEABCD=S正方形ABCDEE=4=，VEBCF=VCBEF=VCBEA=VEABC=SABCEE=，多面体 ABCDEF 的体积为 VEBCF+VEABCD=2【点评】本题是关于线面垂直与组合体体积的求法综合题，利用线面垂直和线段相等证明垂直平分；用分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想，求三棱锥的体积时常用换低来求解，考查了推理论证和规律思维力量21（14 分）（2009安徽）已知函数，a0，（1）争论 f（x）的单调性；（2）设 a=3，求 f（x）在区间1，e2上值域期中 e=2.71828是自然对数的底数【考点】利用导数争论函数的单调性菁优网版 权全部【专题】计算题；压轴题【分析】（I）求出函数的导数，对参数的取值范围进行争论，即可确定函数的单调性（II）由（I）所涉及的单调性来求在区间1，e2上的单调性，确定出函数的最值，即可求出函数的值域【解答】解：（I）函数，a0f（x）=1+，x0令 t=0y=2t2at+1（t0）=a280，即：0a2，y0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+）上是增函数=a280，即：a2，y=0 有两个不等根由 2t2at+10，得或 t，又 x0或 x0 或 x13由 2t2at+10，得综上：0a2，函数 f（x）在（0，+）上是增函数a2函数 f（x）上是增函数，在上是减函数，（2）当 a=3 时，由（1）知 f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数，故函数在1，2是奇函数，在2，e2上是增函数又 f（1）=0，f（2）=23ln2，f（e2）=e2f（x）在区间1，e2上值域是23ln2，e2【点评】本题主要考查函数的单调性及值域，比较简单的函数的单调性，一般用导数来争论，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，争论值域时肯定要先确定函数的单调性才能求解