第7章无限脉冲响应数字滤波器的设计PPT讲稿.ppt

第7章 无限脉冲响应数字滤波器的设计第1页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/212本章介绍无限脉冲响应(IIR)数字滤波器v本章介绍下面的内容v数字滤波器的分类；v数字低通滤波器的技术指标；v低通巴特沃斯滤波器的设计；v低通切比雪夫型滤波器的设计；v脉冲响应不变法与双线性变换法；v低通滤波器转换其它滤波器的方法；vIIR滤波器的直接设计方法。第2页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/213目 录v6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 v6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 v6.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 v6.4 双线性变换法双线性变换法 v6.5 数字低通滤波器的设计数字低通滤波器的设计 v6.6 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计 v6.7 IIR数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法 第3页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2146.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 v数字滤波器：输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。v因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。正因为有该不同点，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点。如果要处理的是模拟信号，可通过A/DC和D/AC，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。第4页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/215数字滤波器的描述 v一般情况下，数字滤波器是一个线性时不变离散时间系统，可用差分方程、脉冲响应h(n)、传输函数H(z)及频率响应H(ej)来描述。图6-1示出了所有描述滤波器的方法。v这几种描述方式相互关联，从不同方面说明了滤波器的特性。第5页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/216图6-1 数字滤波器的描述方法 第6页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/217设一般差分方程为 v或6-1一般频率响应为 这样可把传输函数中所有z换成ej，得到频率响应。第7页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/218还存在如下关系 或数字滤波器的分类 按照不同的分类方法，有许多种类，但总起来可以分成两大类。一类称为经典滤波器，即一般的滤波器，特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。第8页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/219现代滤波器v对于一般滤波器如果信号和干扰的频带互相重叠，则不能完成对干扰的有效滤除，这时需要采用另一类所谓的现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。v现代滤波器：可按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。v本课程仅介绍经典滤波器。v一般数字滤波器从功能上分类，和模拟滤波器一样，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅度特性如图6-2所示。第9页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2110图6-2理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性第10页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2111这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且是无限长的，只能按照某些准则设计滤波器，使之尽可能逼近它，这些理想滤波器可作为逼近的标准。v另外，需要注意的是数字滤波器的传输函数H(ej)都是以2为周期的，滤波器的低通频带处于2的整数倍处，而高频频带处于的奇数倍附近，这一点和模拟滤波器是有区别的。v从图6-2还可看出，幅度特性在02间以为中心对称，所以数字滤波器的频率响应一般只画出0部分。v数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。第11页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2112无限脉冲响应滤波器(infinite impulse response filter)v也称为递归滤波器。滤波器产生新的输出，不但需要过去和现在的输入，还需要过去的输出。如果将差分方程 重新排列，假定a0=1,就可以得到滤波器的简便表达式=-a1y(n-1)-a2y(n-2)-aNy(n-N)+b0 x(n)-b1x(n-1)+bMx(n-M)6-2第12页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2113v因为新的输出依赖于以前的输出，所以这种滤波器方程是递归的。而递归滤波器既用到系数ak,又用到系数bk，使得滤波器形状设计有许多灵活性。ak系数的存在意味着递归滤波器有无限项的脉冲响应。因此，递归滤波器也指的是无限脉冲响应(IIR)滤波器。例6-1 求递归滤波器y(n)=0.8 y(n-1)+(n)的脉冲响应解：用h(n)代替y(n),(n)代替x(n)，则可由下列式求得脉冲响应：h(n)=0.8 h(n)+(n)表6.1和图6-3中给出了前六个脉冲响应采样值。第13页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2114图6-3 例6-1的脉冲响应 表6.1 例6-1中的脉冲响应 n012345(n)100000h(n)1.00.80.640.5120.40960.32768图6-3 例6-1的脉冲响应第14页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2115因为系统稳定，所以输出h(n)随增大而减小。v一般递归滤波器的传输函数为：6-3递归滤波器的极点由分母多项式所确定。这意味着不能保证递归滤波器是稳定的。事实上，稳定性检验是许多递归滤波器设计软件中的重要部分。有限脉冲响应滤波器有限脉冲响应滤波器(finite impulse response filter)也称非递归滤波器，新的输出仅取决于过去的输入，而与过去的输出无关。它们是一般差分方程的特例，对于非递归滤波器，差分方程具有如下形式 第15页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2116y(n)=b0 x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)+bMx(n-M)v还可以用求和的方式写为 因为滤波器的输出不依赖于以前的输出，所以非递归滤波器的脉冲响应为有限项。脉冲响应为 6-4它包括M+1个脉冲函数，系数bk为权系数。由于非递归滤波器具有有限长脉冲响应，所以通常称为有限脉冲响应滤波器(或称FIR滤波器)。第16页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2117例6-2 求出非递归滤波器y(n)=x(n)-0.5 x(n-1)+0.3x(n-2)的脉冲响应。v解：脉冲响应可由下式求出：v h(n)=(n)-0.5(n-1)+0.3(n-2)v表6.2列出了其前五个采样值。差分方程利用了直到过去两步的输入来计算输出。因此仅当脉冲输入处于差分方程范围内时，才有脉冲响应。表6.2 例6-2的脉冲响应 nh(n)nh(n)01301-0.54020.3第17页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2118对(6-4)式取z变换可得出滤波器在z域的传输函数 v上式还可以写成6-5这样，具有M+1个系数bk的FIR滤波器，分子分母多项式均为M次，并且具有M个零点和M个极点。容易看出非递归滤波器只有z=0处有M个极点。由于极点在单位圆内，因此，这种形式的滤波器都是稳定的。第18页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2119vFIR滤波器的设计就是要选择式(6-4)中的系数bk,以便用最少的系数得到所需滤波器特性。vFIR在滤波器形状的选择上具有许多灵活性。一般来说，滤波器的滚降越陡峭，需要的系数也就越多。v对于FIR滤波器，要得到满意的性能，通常需要100至200个系数。而对于递归波波器，通常需要的系数较少。v但是非递归滤波器具有递归滤波器所不具备的某些优点。特别是，非递归滤波器可以保证稳定且有线性相位，可消除通带内的相位失真。第19页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2120数字滤波器的技术要求v通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示v H(ej)=|H(ej)|ej式中，|H(ej)|称为幅频特性，()称为相频特性。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。第20页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2121v一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，相频特性一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如，语音合成、波形传输、图像信号处理等。v对于图6-2所示的各种理想滤波器，必须设计一个因果可实现的滤波器去实现。另外，也要考虑复杂性与成本问题，因此实用中通带和阻带都允许一定的误差容限，即通带不一定是完全水平的，阻带不一定都绝对衰减到零。v此外，按照要求，在通带与阻带之间还应设置一定宽度的过渡带。第21页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/21西安建筑科技大学信息与控制学院22低通滤波器的技术指标 v图6-4表示低通滤波器的幅度特性，p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带频率范围为v0p图6-4 低通滤波器的技术指标第22页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2123v实际应用中，通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为 将|H(ej0)|归一化为1，(6-6)和(6-7)式则表示成 6-66-76-86-9第23页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2124当幅度下降到/2时，=c，此时p=3dB，称c为3dB通带截止频率。p、c和s统称为边界频率，它们在滤波器设计中是很重要的。图6-5分别画出了增益、分贝增益对频率的曲线，对数字频率，只考虑0范围。图中|H(ej0)|归一化为1，即滤波器的最大增益为1或0dB，其中左图的幅度响应用线性增益|H(ej)|对数字频率的曲线画出。右图的幅度响应用对数形式20lg|H(ej)|对的曲线画出。第24页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2125图6-5 通用滤波器的频率响应 第25页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2126若在c 处满足|H(ejc)|=0.707，则20 lg|H(ejc)|=-3dB;若在s处满足|H(ejs)|=0.001，则20lg|H(ejs)|=-60 dB。从图中可看出，分贝的使用改变了图的形状，采用分贝的优点是在增益变化范围非常大时，可以方便地画在一个图上。v数字滤波器的设计方法v一般情况下，数字滤波器是一个线性时不变离散时间系统，利用有限精度算法来实现。第26页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2127数字滤波器的设计一般包括 v(1)按照任务的要求，确定滤波器的性能指标；v(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。系统函数有无限长单位脉冲响应(IIR)系统函数及有限长单位脉冲响应(FIR)系统函数两种；v(3)利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构、选择合适的字长以及有效数字的处理方法(舍入、截尾)等。实际的技术实现，包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现，或采用专用的或通用的数字信号处理器来实现。第27页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2128设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法v(1)模拟滤波器变换成满足预定指标的数字滤波器的方法。这种方法的特点是方便，因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准确。v(2)计算机辅助设计法。这是一种最优化设计法。先确定一种最优准则，例如设计出的实际频率响应幅度|H(ej)|与所要求的理想频率响应幅度|Hd(ej)|的均方误差最小准则，或它们的最大误差最小准则等，然后求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak、bk。这种设计一般得不到滤波器系数作为所要求的理想频率响应的闭合形式的函数表达式，而是需要进行大量的迭代运算。第28页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/21296.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 v模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器，切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。v这些典型的滤波器各有特点，可以根据具体要求选用不同类型的滤波器。v模拟滤波器按幅度特性可分为低通、高通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图6-6所示。但在设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。第29页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2130图6-6 各种理想模拟滤波器的幅频特性 第30页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2131模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 v与数字低通类似，模拟低通滤波器的设计指标有p、p、s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1，p和s表示为 6-106-11第31页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2132模拟低通滤波器的幅度特性 v以上技术指标用图6-7表示。图中c称为3dB截止频率，因|Ha(jc)|=1/，-20lg|Ha(jc)|=3dB。图6-7 模拟低通滤波器的幅度特性 第32页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2133v滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数|Ha(j)|2，满足给定的指标p和s，由于滤波器的单位脉冲响应为实数，因此 6-12式中Ha(s)是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数，Ha(js)是滤波器的稳态幅度特性。如果能由p、p、s和s求出|Ha(j)|2，那么就可求得所需的Ha(s)。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用。上面介绍的典型滤波器都有自己的幅度平方函数表达式，可以直接引用。第33页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2134现在的问题 v由已知的|Ha(j)|2求得Ha(s)。因为脉冲响应ha(t)是实的，因而Ha(s)的极点(或零点)必成共轭对存在。Ha(s)Ha(s)的极点、零点分布如图6-8所示，是成象限对称的。图6-8 Ha(s)Ha(s)的零点、极点分布 第34页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2135零极点分布的进一步分析v由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统函数Ha(s)的极点一定落于s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s)，则右半平面的极点必属于Ha(s)。v零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特性有关，如果要求是最小相位延时特性，则应取左半平面零点，如无特殊要求，则可将对称零点的任一半(应为共轭对)取为的零点。第35页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2136确定Ha(s)的方法v由此看出，由|Ha(j)|2如下：v(1)由|Ha(j)|2|2=-s2=Ha(s)Ha(s)得到象限对称的s平面函数；v(2)将Ha(s)Ha(s)因式分解，得到各零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s)，如无特殊要求，可取Ha(s)Ha(s)以虚轴为对称轴的对称零点的任一半(应是共轭对)作为Ha(s)的零点，如要求是最小相位延时滤波器，则Ha(s)应取左半平面零点作为Ha(s)的零点。j()轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半(应为共轭对)属于Ha(s)。v(3)由求出的Ha(s)的零点、极点及增益常数，则可完全确定系统函数Ha(s)。第36页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2137巴特沃斯低通滤波器的设计方法v1.巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点v巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示6-13式中，N称为滤波器的阶数。当=0时，|H(j)|=1；=c时，|Ha(j)|=1/，c是3dB截止频率。当c时，随加大，幅度迅速下降。下降的速度与阶数N有关，N愈大，幅度下降的速度愈快，过渡带愈窄。幅度特性与和N的关系如图6-9所示。第37页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2138图6-9 巴特沃斯幅度特性和N的关系 2.幅度平方函数的极点分布及Ha(s)的构成。将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数 6-14第38页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2139此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示 v式中，=0，1，2，(2N-1)，2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是/N rad。N=3时极点分布如图6-10所示，极点以虚轴为对称轴，且不会落在虚轴上。为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。6-15第39页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2140Ha(s)的表示式为v这里分子系数为 ，可由Ha(s)的低频特性决定，即代入Ha(0)=1，可求得分子系数为 。图6-10 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 6-16第40页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2141设N=3，极点有6个，它们分别为 v取s平面左半平面的极点s0、s1、s2组成Ha(s)，s1=-c，s4=c，3.频率归一化问题式(6-16)即为所求的系统函数，可看出Ha(s)与c有关，既使滤波器的幅度衰减特性相同，只要c不同，Ha(s)就不一样。为使设计统一，可将所有的频率归一化。第41页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2142这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 v式中，s/c=j/c。令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为 6-186-17式中，pk为归一化极点，用下式表示，k=0,1,N-1 6-19第42页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2143这样，只要根据技术指标求出阶数N，便可按照(6-19)式求出N个极点，再按照(6-18)式得到归一化的传输函数Ha(p)，经过整理，还可得到Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示 v归一化的传输函数Ha(p)的系数bk(k=0,1,N-1)以及极点，可以由表6.3得到。另外，表中还给出了Ha(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N，查表可得到Ha(p)及各极点，省去了许多运算工作。6-20第43页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2144需要注意的是，Ha(p)并不是实际的滤波器传输函数，在确定c后，还应去归一化，才能得到实际的传输函数Ha(s)。即将 ，代入Ha(p)中，便得到Ha(s)v4.阶数阶数N的确定的确定v阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度，它应该由技术指标p、p、s和s确定。将=p代入幅度平方函数(6-13)式中，再将幅度平方函数|Ha(jp)|2代入(6-10)式，得到 6-21第44页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2145将=s代入(6-13)式中，再将|Ha(js)|2代入(6-11)式中，得到 v由式(6-21)和(6-22)得到6-22令sp=s/p，则N由下式表示 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。6-23第45页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2146如果技术指标中没有给出3dB截止频率c，可以按照(6-21)式或(6-22)式求出，由(6-21)式得到 v由式(6-22)得到如果采用(6-24)式确定c，则阻带指标有富裕量；如果采用(6-25)式确定c，则通带指标有富裕量。6-246-25第46页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/21475.设计步骤v总结低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：v(1)根据技术指标p、p、s和s，用(6-23)式求出滤波器的阶数N。v(2)按照(6-19)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6-18)式，得到归一化传输函数Ha(p)。也可根据阶数N，直接查表6.3，得到极点pk和归一化传输函数Ha(p)。v(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。这里3dB截止频率c，如果技术指标没有给出，可以按照(6-24)式或(6-25)式求出。第47页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2148例6-3 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fp=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特斯低通滤波器。v解：(1)确定阶数N取N=5 第48页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2149(2)求Ha(p)v按照式(6-19)，其极点为按照式(6-18)，归一化传输函数为 这里不如直接查表6.3简单，由N=5，直接查表得到极点-0.3090j0.9511，-0.8090j0.5878，-1.0000第49页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2150上式分母可以展开成为五阶多项式 v式中b0=1.0，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361。或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。Ha(p)共有3种表示形式，可根据后续的数字滤波转换方式而定。第50页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2151(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率cv按照式(6-24)，得到 将c代入(6-25)式，得此时算出的s比题目中给出的小，因此，过渡带小于要求的，或者说，在c=12krad/s时衰减大于30dB，所以说阻带指标有富裕量。将p=s/c代入Ha(p)中得到 第51页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2152切比雪夫滤波器的设计方法v巴特斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。v1.切比雪夫滤波器的幅度平方函数及其特点v切比雪夫滤波器的振幅特性就具有等波纹特性。第52页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2153切比雪夫滤波器等波纹特性v它有两种形式：(1)振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调的切比雪夫I型滤波器；(2)振幅特性在通带内是单调的、在阻带内是等波纹的切比雪夫II型滤波器。采用何种型式切比雪夫滤波器取决于实际用途。v在这里仅介绍切比雪夫I型滤波器的设计方法。v图6-11分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫I型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示 6-26第53页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2154 (a)(b)图6-11切比雪夫I型滤波器幅频特性式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。第54页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2155CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为 当N=0时，C0(x)=1时；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2-1；当N=3时，C3(x)=4x3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)图6-12示出了阶数N=0，4，5时的切比雪夫多项式特性。由图可见：切比雪夫多项式的零值点在|x|1间隔内。当|x|1时，CN(x)是余弦函数，故|CN(x)|1 第55页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2156切比雪夫滤波器的幅度函数|Ha(j)|的特点v且多项式CN(x)在|x|1内具有等波纹幅度特性；当|x|1时，CN(x)是双曲余弦函数，它随x而单调地增加。v显然，切比雪夫滤波器的幅度函数|Ha(j)|的特点如下(1)当=0，N为偶数时，；当N为奇数时，Ha(j0)=1。(2)当=p时，。即所有幅度函数曲线都通过 点，所以把p定义为切比雪夫滤波器的截止频率。第56页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2157在切比雪夫截止频率下，幅度函数不一定下降3dB，可以是下降其他分贝值，例如1dB等，这是与巴特沃思滤波器不同之处。(3)在通带内，即当p时，|Ha(j)|在1 之间等波纹地起伏。(4)在通带之外，即当1，有6-29可以解出6-30第60页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/21613.幅度平方函数极点的分布及Ha(s)的构成v以上p、和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。v设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明 式中6-31第61页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2162式(6-31)是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出 式中因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在bp为长半轴，ap为短半轴的椭圆上的点。设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6-14所示。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即 6-336-32第62页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2163式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6-26)式中导出：c=2N-1，代入(6-33)式，得到归一化的传输函数为6-344.设计步骤1)确定技术要求p、p、s和sp是=p时的衰减系数，s是=s时的衰减系数，它们分别为6-356-36第63页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2164这里p就是前面定义的通带波纹，见(6-27)式。归一化频率 2)求滤波器阶数N和参数由式(6-26)，得到将以上两式代入式(6-35)和(6-36)，得到第64页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2165令 因此 这样，先由(6-37)式求出 ，代入式(6-38)，求出阶数N，最后取大于等于N的最小整数。按照式(6-28)求，这里p=6-376-38第65页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/21663)求归一化传输函数Ha(p)v为求Ha(p)，求出归一化极点pk，k=1，2，N。6-39将极点pk代入式(6-33)，得到 4)将Ha(p)去归一化将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即6-40第66页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2167例6-4 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。解(1)滤波器的技术要求p=0.1dB，p=2fp，s=60dB，s=2fs，p=1，(2)求阶数N和取N=5 第67页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2168(3)求Ha(p)由式(6-39)求出N=5时的极点pi，代入上式，得到(4)将Ha(p)去归一化，得到 式中 第68页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/21696.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法v按照6.2节的方法，可设计出满足技术指标的模拟低通滤波器，得到其传输函数Ha(s)，下面的关键问题就是要找到一种转换关系，将Ha(s)转换成数字低通滤波器的传输函数H(z)，即将s平面上的Ha(s)转换成z平面上的H(z)。v从系统的描述方法来考虑转换的思路，无论是模拟滤波器还是数字滤波器，描述系统的基本方法都有四种，如表6.4所示。第69页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2170表6.4滤波器的描述方法模拟滤波器数字滤波器模拟滤波器数字滤波器单位脉冲响应h(t)单位取样响应h(n)传输(系统)函数H(s)传输(系统)函数H(z)频率响应H(j)频率响应H(ei)微分方程差分方程将H(s)转换成H(z)的最终目的，是希望数字滤波器的频率响应H(ei)尽量接近模拟滤波器的H(j)。将传输函数Ha(s)从s平面转换到z平面的方法有多种，但工程上常用的有2种；一种是使数字滤波器的h(n)近似于模拟滤波器的ha(t)，可导出脉冲响应不变法；另一种使数字滤波器的差分方程近似于模拟滤波器的微分方程，由此可导出双线性变换法。第70页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2171转换关系提出两点要求 v(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其传输函数Ha(s)的极点全部位于s平面的左半平面；数字滤波器因果稳定则要求H(z)的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是s平面的左半平面映射z平面的单位圆内。v(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器频率响应，s平面的虚轴映射z平面的单位圆。第71页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2172脉冲响应不变法的转换原理 v该方法的核心是通过对连续函数ha(t)等间隔取样得到离散序列ha(nT)，使h(n)=ha(nT)，其中T为取样间隔，如图6-15所示。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法。图6-15 脉冲响应不变法第72页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2173转换步骤如下 v设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行拉氏逆变换得到式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔取样，取样间隔为T，得到 6-416-42第73页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2174对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)v由这一转换过程看出，它对部分分式表达的模拟系统函数更为方便，对任一极点si，Ha(s)到H(z)的转换可直接用下式完成 6-43将式(6-41)的Ha(s)和式(6-43)的H(z)加以比较可看出：(1)s平面的单极点s=si变换到平面上z=esiT处的单极点(2)Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ai；6-44第74页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2175(3)如果模拟滤波器是稳定的，即所有极点si位于s平面的左半平面，即极点的实部小于零，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即模小于1，因此数字滤波器也是稳定的。H(ej)与Ha(j)的关系下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和z平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。这里以采样信号ha(t)作为桥梁，推导其映射关系 将ha(t)的采样信号用 表示 第75页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2176对 进行拉氏变换，得到 式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到 6-45上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的z变换之间的映射关系可用下式表示z=esT 6-46第76页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2177知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号的傅里叶变换 之间的关系满足 6-47其中 ，将s=j代入上式，得 由式(6-45)和(6-48)得到 上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照式(6-46)映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。6-486-49第77页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2178z=esT可称为标准映射关系。设因此得到 那么 上面关系式说明，s平面左半平面(0)映射z平面单位圆内(r1)。6-50第78页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2179这说明：第一，如果Ha(s)因果稳定，转换后得到H(z)仍是因果稳定的；第二，数字滤波器频率响应H(ej)模仿模拟滤波器的频率响应Ha(j)。满足转换关系的两点要求。H(ej)和H(j)二者关系可由(6-49)式导出，考虑s=j，且=T，则得到 6-51这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应以s为周期的周期延拓。因而正如抽样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是有限的，且带限于折叠频率以内时，即 第79页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/21806-52才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真，即 6-53频率混叠现象但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如果原模拟信号ha(t)的频带不是限于/T之间，则会在/T的奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到z平面上，在=/T附近产生频率混叠。第80页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2181脉冲响应不变法的频率混叠现象图6-16 脉冲响应不变法的频率混叠现象如图6-16所示。这种频率混叠现象会使设计出的数字滤波器在=附近的频率特性，程度不同地偏离模拟滤波器在/T附近的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。第81页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2182为此，希望设计的滤波器是带限滤波器，如果不是带限的，例如高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通、带阻滤波器之前加保护滤波器，滤除高于折叠频率/T以上的频带，以免产生频率混叠现象。但这样会增加系统的成本和复杂性，因此，高通与带阻滤波器不适合用这种方法设计。若设计的滤波器是带限滤波器，例如低通或带通滤波器，且满足(6-52)式时说明用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频响。第82页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2183上式中，H(ej)的幅度特性与采样间隔成反比，这样当T较小时，H(ej)就会有太高的增益，为避免这一现象，令h(n)=Tha(nT)那么此时6-54第83页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2184由以上分析可以看出，脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即=T，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现模拟滤波器的频率特性；另外一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好。缺点是会产生频率混叠现象。适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。并且对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。第84页，共146页，编辑于2022年，星期一2022/9/2185例6-6 已知滤波器的传输函数 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解 首先将Ha(s)写成部分分式 极点为那么H(z)的极点为第85页