第7章无限脉冲响应数字滤波器的设计PPT讲稿.ppt
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1、第7章 无限脉冲响应数字滤波器的设计第1页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/212本章介绍无限脉冲响应(IIR)数字滤波器v本章介绍下面的内容v数字滤波器的分类;v数字低通滤波器的技术指标;v低通巴特沃斯滤波器的设计;v低通切比雪夫型滤波器的设计;v脉冲响应不变法与双线性变换法;v低通滤波器转换其它滤波器的方法;vIIR滤波器的直接设计方法。第2页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/213目 录v6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 v6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 v6.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 v6.4 双线性变换法双线性变换
2、法 v6.5 数字低通滤波器的设计数字低通滤波器的设计 v6.6 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计 v6.7 IIR数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法 第3页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2146.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 v数字滤波器:输入、输出均为数字信号,通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。v因此,数字滤波的概念和模拟滤波相同,只是信号的形式和实现滤波的方法不同。正因为有该不同点,数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及实现
3、模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点。如果要处理的是模拟信号,可通过A/DC和D/AC,在信号形式上进行匹配转换,同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。第4页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/215数字滤波器的描述 v一般情况下,数字滤波器是一个线性时不变离散时间系统,可用差分方程、脉冲响应h(n)、传输函数H(z)及频率响应H(ej)来描述。图6-1示出了所有描述滤波器的方法。v这几种描述方式相互关联,从不同方面说明了滤波器的特性。第5页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/216图6-1 数字滤波器的描述方法 第6页,共146页,编辑于2022年,星期
4、一2022/9/217设一般差分方程为 v或6-1一般频率响应为 这样可把传输函数中所有z换成ej,得到频率响应。第7页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/218还存在如下关系 或数字滤波器的分类 按照不同的分类方法,有许多种类,但总起来可以分成两大类。一类称为经典滤波器,即一般的滤波器,特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带,通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。第8页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/219现代滤波器v对于一般滤波器如果信号和干扰的频带互相重叠,则不能完成对干扰的有效滤除,这时需要采用另一类所谓的现代滤波器,例
5、如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。v现代滤波器:可按照随机信号内部的一些统计分布规律,从干扰中最佳地提取信号。v本课程仅介绍经典滤波器。v一般数字滤波器从功能上分类,和模拟滤波器一样,可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅度特性如图6-2所示。第9页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2110图6-2理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性第10页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2111这种理想滤波器是不可能实现的,因为它们的单位脉冲响应均是非因果且是无限长的,只能按照某些准则设计滤波器,使之尽可能逼近它,这些理想滤波器可作
6、为逼近的标准。v另外,需要注意的是数字滤波器的传输函数H(ej)都是以2为周期的,滤波器的低通频带处于2的整数倍处,而高频频带处于的奇数倍附近,这一点和模拟滤波器是有区别的。v从图6-2还可看出,幅度特性在02间以为中心对称,所以数字滤波器的频率响应一般只画出0部分。v数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类,可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。第11页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2112无限脉冲响应滤波器(infinite impulse response filter)v也称为递归滤波器。滤波器产生新的输出,不但需要过去和现在
7、的输入,还需要过去的输出。如果将差分方程 重新排列,假定a0=1,就可以得到滤波器的简便表达式=-a1y(n-1)-a2y(n-2)-aNy(n-N)+b0 x(n)-b1x(n-1)+bMx(n-M)6-2第12页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2113v因为新的输出依赖于以前的输出,所以这种滤波器方程是递归的。而递归滤波器既用到系数ak,又用到系数bk,使得滤波器形状设计有许多灵活性。ak系数的存在意味着递归滤波器有无限项的脉冲响应。因此,递归滤波器也指的是无限脉冲响应(IIR)滤波器。例6-1 求递归滤波器y(n)=0.8 y(n-1)+(n)的脉冲响应解:用h(n)
8、代替y(n),(n)代替x(n),则可由下列式求得脉冲响应:h(n)=0.8 h(n)+(n)表6.1和图6-3中给出了前六个脉冲响应采样值。第13页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2114图6-3 例6-1的脉冲响应 表6.1 例6-1中的脉冲响应 n012345(n)100000h(n)1.00.80.640.5120.40960.32768图6-3 例6-1的脉冲响应第14页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2115因为系统稳定,所以输出h(n)随增大而减小。v一般递归滤波器的传输函数为:6-3递归滤波器的极点由分母多项式所确定。这意味着不能保证递归
9、滤波器是稳定的。事实上,稳定性检验是许多递归滤波器设计软件中的重要部分。有限脉冲响应滤波器有限脉冲响应滤波器(finite impulse response filter)也称非递归滤波器,新的输出仅取决于过去的输入,而与过去的输出无关。它们是一般差分方程的特例,对于非递归滤波器,差分方程具有如下形式 第15页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2116y(n)=b0 x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)+bMx(n-M)v还可以用求和的方式写为 因为滤波器的输出不依赖于以前的输出,所以非递归滤波器的脉冲响应为有限项。脉冲响应为 6-4它包括M+1个脉冲函数,系数bk为
10、权系数。由于非递归滤波器具有有限长脉冲响应,所以通常称为有限脉冲响应滤波器(或称FIR滤波器)。第16页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2117例6-2 求出非递归滤波器y(n)=x(n)-0.5 x(n-1)+0.3x(n-2)的脉冲响应。v解:脉冲响应可由下式求出:v h(n)=(n)-0.5(n-1)+0.3(n-2)v表6.2列出了其前五个采样值。差分方程利用了直到过去两步的输入来计算输出。因此仅当脉冲输入处于差分方程范围内时,才有脉冲响应。表6.2 例6-2的脉冲响应 nh(n)nh(n)01301-0.54020.3第17页,共146页,编辑于2022年,星期一
11、2022/9/2118对(6-4)式取z变换可得出滤波器在z域的传输函数 v上式还可以写成6-5这样,具有M+1个系数bk的FIR滤波器,分子分母多项式均为M次,并且具有M个零点和M个极点。容易看出非递归滤波器只有z=0处有M个极点。由于极点在单位圆内,因此,这种形式的滤波器都是稳定的。第18页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2119vFIR滤波器的设计就是要选择式(6-4)中的系数bk,以便用最少的系数得到所需滤波器特性。vFIR在滤波器形状的选择上具有许多灵活性。一般来说,滤波器的滚降越陡峭,需要的系数也就越多。v对于FIR滤波器,要得到满意的性能,通常需要100至20
12、0个系数。而对于递归波波器,通常需要的系数较少。v但是非递归滤波器具有递归滤波器所不具备的某些优点。特别是,非递归滤波器可以保证稳定且有线性相位,可消除通带内的相位失真。第19页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2120数字滤波器的技术要求v通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ej)用下式表示v H(ej)=|H(ej)|ej式中,|H(ej)|称为幅频特性,()称为相频特性。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况,而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此,即使两个滤波器幅频特性相同,而相频特性不一样,对相同的输入,
13、滤波器输出的信号波形也是不一样的。第20页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2121v一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出,相频特性一般不作要求,但如果对输出波形有要求,则需要考虑相频特性的技术指标,例如,语音合成、波形传输、图像信号处理等。v对于图6-2所示的各种理想滤波器,必须设计一个因果可实现的滤波器去实现。另外,也要考虑复杂性与成本问题,因此实用中通带和阻带都允许一定的误差容限,即通带不一定是完全水平的,阻带不一定都绝对衰减到零。v此外,按照要求,在通带与阻带之间还应设置一定宽度的过渡带。第21页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/21西安建筑科技大
14、学信息与控制学院22低通滤波器的技术指标 v图6-4表示低通滤波器的幅度特性,p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带频率范围为v0p图6-4 低通滤波器的技术指标第22页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2123v实际应用中,通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示,通带内允许的最大衰减用p表示,阻带内允许的最小衰减用s表示,p和s分别定义为 将|H(ej0)|归一化为1,(6-6)和(6-7)式则表示成 6-66-76-86-9第23页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2124当幅度下降到/2时,=c,此时p=3dB,称c为3dB通带截止频率。p、
15、c和s统称为边界频率,它们在滤波器设计中是很重要的。图6-5分别画出了增益、分贝增益对频率的曲线,对数字频率,只考虑0范围。图中|H(ej0)|归一化为1,即滤波器的最大增益为1或0dB,其中左图的幅度响应用线性增益|H(ej)|对数字频率的曲线画出。右图的幅度响应用对数形式20lg|H(ej)|对的曲线画出。第24页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2125图6-5 通用滤波器的频率响应 第25页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2126若在c 处满足|H(ejc)|=0.707,则20 lg|H(ejc)|=-3dB;若在s处满足|H(ejs)|=0.0
16、01,则20lg|H(ejs)|=-60 dB。从图中可看出,分贝的使用改变了图的形状,采用分贝的优点是在增益变化范围非常大时,可以方便地画在一个图上。v数字滤波器的设计方法v一般情况下,数字滤波器是一个线性时不变离散时间系统,利用有限精度算法来实现。第26页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2127数字滤波器的设计一般包括 v(1)按照任务的要求,确定滤波器的性能指标;v(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。系统函数有无限长单位脉冲响应(IIR)系统函数及有限长单位脉冲响应(FIR)系统函数两种;v(3)利用有限精度算法来实现这个系统函数。这
17、里包括选择运算结构、选择合适的字长以及有效数字的处理方法(舍入、截尾)等。实际的技术实现,包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现,或采用专用的或通用的数字信号处理器来实现。第27页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2128设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法v(1)模拟滤波器变换成满足预定指标的数字滤波器的方法。这种方法的特点是方便,因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式,并且设计参数已经表格化了,设计起来既方便又准确。v(2)计算机辅助设计法。这是一种最优化设计法。先确定一种最优准则,例如设计出的实际频率响应幅度|H(ej)|与所要求的理想频率响应幅度
18、|Hd(ej)|的均方误差最小准则,或它们的最大误差最小准则等,然后求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak、bk。这种设计一般得不到滤波器系数作为所要求的理想频率响应的闭合形式的函数表达式,而是需要进行大量的迭代运算。第28页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/21296.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 v模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,且有若干典型的模拟滤波器供选择,如巴特沃斯(Butterworth)滤波器,切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等,这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供
19、设计人员使用。v这些典型的滤波器各有特点,可以根据具体要求选用不同类型的滤波器。v模拟滤波器按幅度特性可分为低通、高通、带通和带阻滤波器,它们的理想幅度特性如图6-6所示。但在设计滤波器时,总是先设计低通滤波器,再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。第29页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2130图6-6 各种理想模拟滤波器的幅频特性 第30页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2131模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 v与数字低通类似,模拟低通滤波器的设计指标有p、p、s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率,p是通带(0p)中的
20、最大衰减系数,s是阻带s的最小衰减系数,p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性,如果=0处幅度已归一化到1,即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 6-106-11第31页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2132模拟低通滤波器的幅度特性 v以上技术指标用图6-7表示。图中c称为3dB截止频率,因|Ha(jc)|=1/,-20lg|Ha(jc)|=3dB。图6-7 模拟低通滤波器的幅度特性 第32页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2133v滤波器的技术指标给定后,需要设计一个传输函数Ha(s),希望其幅度平方函数|Ha(j)|2,满足给定的指标p和s
21、,由于滤波器的单位脉冲响应为实数,因此 6-12式中Ha(s)是模拟滤波器的系统函数,它是s的有理函数,Ha(js)是滤波器的稳态幅度特性。如果能由p、p、s和s求出|Ha(j)|2,那么就可求得所需的Ha(s)。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用。上面介绍的典型滤波器都有自己的幅度平方函数表达式,可以直接引用。第33页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2134现在的问题 v由已知的|Ha(j)|2求得Ha(s)。因为脉冲响应ha(t)是实的,因而Ha(s)的极点(或零点)必成共轭对存在。Ha(s)Ha(s)的极点、零点分布如图6-8所示,是成象限对称的。图6
22、-8 Ha(s)Ha(s)的零点、极点分布 第34页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2135零极点分布的进一步分析v由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的,因此其系统函数Ha(s)的极点一定落于s的左半平面,所以左半平面的极点一定属于Ha(s),则右半平面的极点必属于Ha(s)。v零点的分布则无此限制,只和滤波器的相位特性有关,如果要求是最小相位延时特性,则应取左半平面零点,如无特殊要求,则可将对称零点的任一半(应为共轭对)取为的零点。第35页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2136确定Ha(s)的方法v由此看出,由|Ha(j)|2如下:v(1)由|Ha(
23、j)|2|2=-s2=Ha(s)Ha(s)得到象限对称的s平面函数;v(2)将Ha(s)Ha(s)因式分解,得到各零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s),如无特殊要求,可取Ha(s)Ha(s)以虚轴为对称轴的对称零点的任一半(应是共轭对)作为Ha(s)的零点,如要求是最小相位延时滤波器,则Ha(s)应取左半平面零点作为Ha(s)的零点。j()轴上的零点或极点都是偶次的,其中一半(应为共轭对)属于Ha(s)。v(3)由求出的Ha(s)的零点、极点及增益常数,则可完全确定系统函数Ha(s)。第36页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2137巴特沃斯低通滤波器的设计方法v1.巴
24、特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点v巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示6-13式中,N称为滤波器的阶数。当=0时,|H(j)|=1;=c时,|Ha(j)|=1/,c是3dB截止频率。当c时,随加大,幅度迅速下降。下降的速度与阶数N有关,N愈大,幅度下降的速度愈快,过渡带愈窄。幅度特性与和N的关系如图6-9所示。第37页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2138图6-9 巴特沃斯幅度特性和N的关系 2.幅度平方函数的极点分布及Ha(s)的构成。将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数 6-14第38页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/
25、2139此式表明幅度平方函数有2N个极点,极点sk用下式表示 v式中,=0,1,2,(2N-1),2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上(该圆称为巴特沃斯圆),间隔是/N rad。N=3时极点分布如图6-10所示,极点以虚轴为对称轴,且不会落在虚轴上。为形成稳定的滤波器,2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s),而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。6-15第39页,共146页,编辑于2022年,星期一2022/9/2140Ha(s)的表示式为v这里分子系数为 ,可由Ha(s)的低频特性决定,即代入Ha(0)=1,可求得分子系数为 。图6-10 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 6-16
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