【good】高级中学数学易错易混易忘题分类汇编.doc

,高中数学易高中数学易错错、易混、易忘、易混、易忘题题分分类汇编类汇编【易错点 42】向量与解析几何的交汇例 42、 （03 年新课程高考）已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点 O 以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。解析：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值.i=（1，0），c=（0，a）， c+i=（，a），i2c=（1，2a）因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数 ，得点的坐标满足方程.整axy axay2),(yxP222)(xaayy理得 因为所以得：（i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎. 1)2()2(81222aayx, 0a22a题意的定点 E 和 F；（ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为220 a)2,2121(2aaE)2,2121(2aaF合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和22a)21(21, 0(2aaE为合乎题意的两个定点.)21(21, 0(2aaF【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。【练 42】（1）（2005 全国卷 1）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的x直线交椭圆于 A、B 两点，与共线。 （）求椭圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一OBOA) 1, 3( a点，且，证明为定值。),( ROBOAOM22答案：（1）（2）=163e 22（2） （02 年新课程高考天津卷）已知两点 M（-1，0），N（1，0），且点 P 使，,MPMN PM PNNM 成公差小于零的等差数列（1）点 P 的轨迹是什么曲线？（2）若点 P 坐标为（），记为与NP ,ooxyPM 的夹角，求；答案：点 P 的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆tan=|y | PNtan30（3）（2001 高考江西、山西、天津）设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则,等于（ ）A. B. C.3 D.3 答案：BOBOA4343【易错点 43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。例 43、已知椭圆 C：上动点到定点,其中的距离的最小值22142xyP,0M m02mPM为 1.（1）请确定 M 点的坐标（2）试问是否存在经过 M 点的直线 ,使 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件ll（O 为原点）,若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。OAOBAB l【思维分析】此题解题关键是由条件知从而将条件转化点的坐标运算OAOBAB 0OA OB 再结合韦达定理解答。解析：设，由得故,p x y22142xy222 14xy2222 14xPMxm由于且故当时，22212 12242xxmm02m22x 022m的最小值为此时，当时，取得最小值为2PM221m1m 224m2x 解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时 M 的坐标为22421mm1,3m 1m （1，0）。（2）由题意知条件等价于，当 的斜率不存在时， 与 C 的交点为OAOBAB 0OA OB ll，此时，设 的方程为，代入椭圆方程整理得61,20OA OB l1yk x，由于点 M 在椭圆内部故恒成立，由知2222124240kxk xk0 0OA OB 即，据韦达定理得，12120 x xy y222122110kx xkxk2122412kxxk代入上式得得不合21222412kx xk2222221244120kkkkkk24k 题意。综上知这样的直线不存在。【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。【练 43】已知椭圆的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点为圆心，过另一焦点的圆被右准线截2F1F的两段弧长之比 2:1,为此平面上一定点，且.（1）求椭圆的方程（2）若直线2,1P121PFPF ,与椭圆交于如图两点 A、B，令。求函数的值10ykxk 120f kABF Fk f k域答案：（1）（2）22142xy0,8易错点 44牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系.例 44、函数 的导数为 。1 cosxyx e易错点分析复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。xuxyyu解析： 1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1cosxxxxxyex eexexe 1 cossinxxex1 cos1sinxxx e【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。练习 44（2003 年江苏，21）已知，n 为正整数。设，证明；0a nyxa1nyn xa 1设，对任意，证明 nnnfxxxana 111nnfnnfn解析：证明：（1）0,nnn kkknkxaCax1111111nnn kn knkkkknnkkykCaxnCaxn xa（2）对函数求导数：， nnnfxxxa11nnnfnxn xa当时， 11.nnnfnn nna0 xa 0nfx是关于 x 的增函数因此，当时， nnnaxxxan当时，fna。11nnnnnnanna 11111111nnnnnnnfnnnnannnannn na 即对任意，. 1nnfnna 111nnfnnfn【易错点 45】求曲线的切线方程。例 45、 （2005 高考福建卷）已知函数的图象过点 P（0，2），且在点daxbxxxf23)(M（1，f（1）处的切线方程为. （）求函数的解析式；076 yx)(xfy ,【思维分析】利用导数的几何意义解答。解析：（）由的图象经过 P（0，2），知 d=2，所以)(xf, 2)(23cxbxxxf由在处的切线方程是，知.23)(2cbxxxf)1(, 1(fM076 yx. 6) 1(, 1) 1(, 07) 1(6fff即故所求的解析式是. 3, 0, 32. 121, 623cbcbcbcbcb解得即. 233)(23xxxxf【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数 y=f(x)在点处的导数，就是曲线 y=(x)在点处的0 x)(,(00 xfxP切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步： (1)求出函数 y=f(x)在点处的导0 x数，即曲线 y=f(x)在点处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线)(,(00 xfxP方程为 特别地，如果曲线 y=f(x)在点处的切线平行于 y 轴，)( 000 xxxfyy)(,(00 xfxP这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为。利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现0 xx 在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.【练 45】（1）（2005 福建卷）已知函数的图象在点M（1，f(x)）处的切线方程为bxaxxf26)(x+2y+5=0.（）求函数y=f(x)的解析式；答案：362)(2xxxf（2）（2005 高考湖南卷）设，点 P（ ，0）是函数的图象的一个0ttcbxxgaxxxf23)()(与公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（）用 表示 a，b，c；答案：故，t.3tabc2ta，tb .3tc【易错点 46】利用导数求解函数的单调区间及值域。例 46、( 2005 全国卷 III)已知函数，（）求的单调区间和值域； 2472xf xx 01x， f x（）设，函数，若对于任意，总存在1a 223201g xxa xax， 101x ，使得成立，求的取值范围。 001x ， 01g xf xa【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不,等式的运算能力第（）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数在区间上的值域 yg x 01 ，是函数的值域的子集，从而转化为求解函数在区间上的值域。 f x yg x 01 ，解析() ，令解得或,在222224167(21)(27)( )22xxxxfxxx ( )0fx12x 72x ，所以为单调递减函数；在，所以为单调递1(0, )2x( )0,fx( )f x1( ,1)2x( )0,fx( )f x增函数；又，即的值域为-4，-3，所以的单调递减区71(0),(1)3,( )422fff ( )f x( )f x间为，的单调递增区间为，的值域为-4，-3.( 单调区间为闭区间也可以).1(0, )2( )f x1( ,1)2( )f x（）,又，当时，22( )3()g xxa1a (0,1)x2( )3(1)0g xa因此，当时，为减函数，从而当时，有.(0,1)x( )g x0,1x( ) (1), (0)g xgg又，即当时，有，2(1)1 23, (0)2gaaga 0,1x2( )1 23, 2 g xaaa任给，有，存在使得，10,1x 1( ) 4, 3f x 00,1x 01()( )g xf x则又，所以的取值范围是。251,1 23433232aaaaaa 或1a a213a【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为 2006 年高考命题重点应引起高度注意单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）)(xfy )(xfy )(xfy解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分0)( xf0)( xf为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在)(xf),(ba单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是),(cbbxf)()(xf),(ca如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。 【练 46】（1）（2005 高考北京卷）已知函数f(x)=x33x29xa, （I）求 f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值答案：（1）（，1）， （3，）（2）7（2）(2005 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?,答案：当x=10 时,V 有最大值 V(10)=1960【易错点 47】二项式展开式的通项中，因 a 与 b 的顺序颠倒而容易出错。nab例 47、展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162，则 x 的一次项为 。322nxx【易错点分析】本题中若与的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。x322x解析：椐题意有：22122162,212162,9nnCCn nnn 即由 929231993222rrrrrrrrTCxCxx 则921,323rrr 3334912672TC xx 【知识点归类点拨】二项式的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到nnabba与类似问题时，要注意区分。【练 47】（潍坊高三质量检测）展开式中第 5 项与第 12 项系数的绝对值相等，则展开式的常数4111nxx项为 。解析：据题意有，即 41141111nnCC 411nnCC4411nnnnCCC,411,15nn 令得：故展开式中常数项为： 15460 15115151111rrrrrrrTCxC xx 60 150,r4r 441511365C【易错点 48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。例 48、在的展开式中，的系数为 ，二项式系数为 。5322xx5x【易错点分析】在通项公式中，是二项式系数，是项的系数。15 5152rrrrTCx5rC52rrC 解析：令，得，则项的二项式系数为，项的系数为。1555r2r 5x2510C 225240C ,【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中 r 的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。【练 48】（2005 高考山东卷）如果的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中的系数是（ 3213nxx31x）（A）7 （B） （C）21 （D）721答案：当时即,根据二项式通项公式得1x 321(3 1)2128,71nnn 7321(3)xx时对应,即2577733177(3 )( 1) ()3( 1)rrrrrrrrrTCxxCx573,63rr 31x故项系数为.67 666 1733311213( 1)7 3.TCxxx 31x21【易错点 49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。例 49、已知的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为 10：122nxnNx求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。解析：由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，442nC 22( 2)nC 442221012nnCC 设展开式中的第 r 项，第 r+1 项，第 r+2 项的系数绝对值分别为，8n11118882,2 ,2rrrrrrCCC若第 r+1 项的系数绝对值最大，则，解得：系数最大值为118811882222rrrrrrrrCCCC56r由知第五项的二项式系数最大，此时71111792Tx8n 5611120Tx【知识点归类点拨】在的展开式中，系数最大的项是中间项，但当 a，b 的系数不为 1 时，最大系数nab值的位置不一定在中间，可通过解不等式组来确定之。112rrrrTTTT【练 49】（2000 年上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为 。 （结果用111x数值表示）解析：展开式中第 r+1 项为，要使项的系数最小，则 r 为奇数，且使为最大，由此得 11111rrrCx 11rC,，所以项的系数为。5r 55111462C 【易错点 50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。例 50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？1分成 1 本、2 本、3 本三组；2分给甲、乙、丙三人，其中 1 人 1 本，1 人两本，1 人 3 本；3平均分成三组，每组 2 本；4分给甲、乙、丙三人，每人 2 本。【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。解析：(1)分三步：先选一本有种选法，再从余下的 5 本中选两本，有种选法，最后余下的三本全选有16C25C种选法，有分步计数原理知，分配方式有：33C12365360CCC（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还考虑再分配问题，分配方式共有种。12336533360CCCA（3）先分三步：则应是种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六本书为若222642CCC, ,A B C D E F第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为（AB，CD，EF）则中还有222642CCC（AB，EF，CD）， （CD，EF，AB）（CD，AB，EF）， （EF，CD，AB）， （EF，AB，CD）共种情况，而且这些情况仅33A是 AB，CD，EF 顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有种2226423315CCCA5在问题（3）的基础上，再分配即可，共有分配方式种。2223642333CCCAA【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于词类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏。【练 50】（2004 年全国 9）从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到三个班担任班主任（每班一位班主任），要求这三位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（ ）A 210 种 B、420 种 C、630 种 D、840 种解析：首先选择 3 位教师的方案有：一男两女；计；两男一女：计=40。125430CC2154CC其次派出 3 位教师的方案是=6。故不同的选派方案共有33A种。312213545463040420ACCCC【易错点 51】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。例 51、四个男同学和三个女同学站成一排。1三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？2任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？,3其中甲、乙两同学之间必须恰有 3 人，有多少种不同的排法？4甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？5女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等）【易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等，如果对题意理解不够充分，往往选择错误的方法。解析：（1）3 个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有种排法；由于 3 个同学必须排在一起，我33A们可视排好的女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是五个元素的全排列，应有种排法。由乘法原55A理，有种不同排法。3535720AA（2）先将男生排好，共有种排法；再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个空中插入 3 个女生，有种方案。44A35A故符合条件的排法共有种。43451440AA（3）甲、乙 2 人先排好，共有种排法；再从余下的 5 人中选三人排在甲、乙 2 人中间，有种排法，这时22A35A把已排好的 5 人看作一个整体，与剩下的 2 人再排，又有种排法；这样，总共有种33A423423720AAA不同的排法。（4）先排甲、乙、丙 3 人以外的其他四人，有种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有种排法；44A22A最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空当中，有种排法；这样，总共有25A种不同的排法。422425960AAA（5）从七个位置中选出 4 个位置把男生排好，有种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于女生要47A按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有种不同的排法。47A【知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是：直接法：间接法：即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置分析法元素分析法用加法原理（分类）用乘法原理（分步）插入法（不相邻问题）捆绑法（相邻问题）位置入手。【练 52】（2004 年辽宁）有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数（ ）A、234 B、346 C、350 D、363解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间 3 个座位，共有种，再加上 4 种不能算相邻的，共有12192AA种。212201924346AAA,【易错点 53】二项式展开式的通项公式为，事件 A 发生 k 次的概率：1rn rrrnTC ab。二项分布列的概率公式： 1n kkknnP kC PP，三者在形式上的相似，在应用容易混,0,1,2,3,01,1kkn kknpC p qknppq且淆而导致出错。例 53、 （2004 年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得100 分。假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。1求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望。2求这名同学总得分不为负分（即）的概率。0【易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量以及二项分布的条件的理解出错。解析：（1）的可能取值为300，100，100，300。32233000.20.0081003 0.20.80.0961003 0.2 0.80.3843000.80.512PPPP 所以的概率分布为300100100300P0.0080.0960.3840.512根据的概率分布，可得的期望3000.0081000.096 100 0.384300 0.512180E （2）这名同学总得分不为负分的概率为。00.3840.5120.896P【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率就是独立重复实验 n 次其中发生 k 次的概率。但在解决实0,1,2,Pkk1n kkknC PP际问题时一定看清是否满足二项分布。【练 53】（2004 年重庆理 18）设一汽车在前进途中要经过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的,概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停3414车时已经通过的路口数，求：（1）的概率分布列及期望；（2）停车时最多已通过 3 个路口的概率。E解析：（1）的所有可能值为 0，1，2，3，4。用表示“汽车通过第 k 个路口时不停”则kA独立。故123431,2,3,4,4kP AkA A A A且 1104PP A2121233133191,2( ),44164464PP AAPP AAA312344123431273,4425638144256PP A AAAPP A AAA从而的分布列为01234P14316964272568125613927815250123441664256256256E （2）。811753141256256PP 【易错点 54】正态总体的概率密度函数为，当2,N 2221,2xf xexR时，叫作标准正态总体的概率密度函数，两者在使0,1 221,2xf xexR0,1N用范围上是不同的。例 54、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为（单位：小时），已知，要使灯泡的平均寿命21000,30N:为 1000 小时的概率为，问灯泡的最低使用寿命应控制在 910 小时以上。0099.7【易错点分析】由于服从正态分布，故应利用正态分布的性质解题。解析：因为灯泡的使用寿命，故在的概率为21000,30N:10003 30,10003 30 ，即在内取值的概率为，故灯泡的最低使用寿命应控制在 910 小时以上。0099.7910,10900099.7,【知识点归类点拨】在正态分布中，为总体的平均数，为总体的标准差，另外，正态分布2,N 在的概率为，在内取值的概率为。解2,N , 0068.33 ,3 0099.7题时，应当注意正态分布在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计算失误。2,N 【练 54】一总体符合，若，则该总体在（1，2）内的概率为 。0,1N 1,2ab解析：由题意可得。12(2)(1)Pba【易错点 55】对于数列的两个基本极限；，两个极限成立的条件不同，前lim0nnq1lim1nnaSq者为；而后者为。1q 01q例 55、在等比数列中，且 n 项和，满足那么的取值范围是（ ） na11a nS11lim,nnSa1aA、 B、 C、 D、1,1,21,21,4【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式，求的范围时，容易忽视这个条件。11asq1a0q 解析：设公比为 q，由知11limnnSa所以。1211221112211111110211111000aqaaqaaqqaaaqq 又112a【知识点归类点拨】对于，公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列11lim0111nnqqqqqq 存在或不存在或前 n 项和在 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。【练 55】，求 a 的取值范围。131lim331nnnna,解析：13111limlimlim0331313311,423nnnnnnnnaaaaa 【易错点 56】立体图形的截面问题。例 56、 （2005 哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体-，E、F 分别是、ABCD1111A BC D1AA的中点，p 是上的动点（包括端点），过 E、D、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则 P 的轨迹是1CC1CC（）A 线段B、线段C、线段和一点D、线段和一点 C。1C FCFCF1C1C F【易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。解析：如图当点 P 在线段上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线 DE 平行于平面，则过CF11BBCCDE 的截面 DEP 与平面的交线必平行，因此两平面的交线为过点 P 与 DE 平行的直线，由于点 P11BBCC在线段 CF 上故此时过 P 与 DE 平行的直线与直线的交点在线段上，故此时截面为四边形（实质1BB1BB上是平行四边形），特别的当 P 点恰为点 F 时，此时截面为也为平行四边形，当点 P 在线段1DEFB上时如图分别延长 DE、DP 交、于点 H、G 则据平面基本定理知点 H、G 既在平1C F11A D11DC截面 DEP 内也在平面内，故 GH 为两平面的交线，连结 GH 分别交、于点 K、N（注1111A BC D11A B11BC也有可能交在两直线的延长线上），再分别连结 EK、KN、PN 即得截面为 DEKNP 此时为五边形。故选 C【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分PFED1C1B1A1CBDAKNHGPFED1C1B1A1CBDA,别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。【练 56】（1）（2005 高考全国卷二）正方体 ABCDA1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分别是 AB、AD、B1 C1的中点。那么正方体的过 P、Q、R 的截面图形是（）（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 答案：D （2）在正三棱柱-中，P、Q、R 分别是、的中点，作出过三点 P、Q、R 截正三ABC111A BCBC1CC11AC棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。【易错点 57】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数例 57、 （93 全国考试）如果异面直线 a、b 所在的角为,P 为空间一定点，则过点 P 与 a、b 所成的角都是50的直线有几条？30A、一条 B 二条 C 三条 D 四条【易错点分析】对过点 P 与两异面直线成相同的角的直线的位置关系空间想象不足，不明确与两直线所的角与两异面直线所成的角的内在约束关系。解析：如图，过点 P 分别作 a、b 的平行线、，则、所成的角也为a ba b，即过点 P 与、成相等的角的直线必与异面直线 a、b 成相等的角，50a b由于过点 P 的直线 L 与、成相等的角故这样的直线 L 在、确定a ba b的平面的射影在其角平分线上，则此时必有当时，coscoscosAPBAPOOPBcos30coscos25APO有，此时这样的直线存在且有两条当时，有cos30cos0,1cos25APO130BPC这样的直线不存在。故选 Bcos30cos1cos65APO【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角的关系，由公式（其中是直线与平面所成的角）易知coscoscos，（最小角定理）故一般地，若异面直线 a、b 所成coscoscoscos的角为，L 与 a、b 所成的角均为，据上式有如下结论：当时，这样的直线不存在；当02时，这样的直线只有一条；当时，这样的直线有两条；当时这样的直22220lCBbaAp,线有 3 条；当时，这样的直线有四条。22【练 57】如果异面直线 a、b 所在的角为,P 为空间一定点，则过点 P 与 a、b 所成的角都是的直线有10050几条？A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 答案：C【易错点 58】有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视三个, / ,aab b条件中的某一个。例 58、如图，矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别为 AB，PC 的中点。求证：平面PA /MNPAD易错点分析：在描述条件中，容易忽视。,AEPAD MNPAD面面解析：取 PD 中点 E，连结 AE，EN，则有，/ENCDABAM为平行四边形，1122ENCDABAMAMEN/MNAE ,AEPAD MNPAD面面/MNPAD面知识点归类点拨判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。【练习 58（2005 浙江）如图，在三棱锥 PABC 中，,ABBC ABBCkPA点 O，D 分别为 AC，PC 的中点，平面求证：OD/平面 PABOP ABC证明：分别为 AC、PC 的中点,O D/,ODPA又平面PA,PAB,/PAPAB ODPABODPAB平面平面平面【易错点 59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。例 59、如图，在正方体中，M、N、P 分别是的中点，1111ABCDABC D11111,C C BC C D求证：平面 MNP/平面1ABD【易错点分析】本题容易证得 MN/,MP/BD，而直接由此得出面1AD1/MNPABD面解析：连结分别是的中点，111,B D B CP N1111,DC BC11/,PNB D11/,/B DBDPN BD又同理：11,/PNABDPNABD面平面1/,MNABDPNMNN平面又。1/DMNABD平面平面【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，CBAPDO A P N ME D C B ABPCDMNE,即“线面平行则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的条件缺一不可。【练 59】正方体中， （1）M，N 分别是棱的中点，1111ABCDABC D1111,AB ADE、F 分别是棱的中点，求证：E、F、B、D 共面；1111,BC C D平面 AMN/平面 EFDB平面/平面11AB D1C BD证明：（1）则 E、F、B、D 共面。1111/,/,EFB D B DBDEFBD易证：MN/EF，设1111,ACMNP ACEFQ ACBDO/,/PQAO PQAOPAOQ/AMNEFDB平面平面连结 AC，为正方体，同理1111ABCDABC DACDB11,AAABCDACBD平面可证于是得11ACBC111!1,ACC BDACABD平面同理可证平面111/AB DC BD面面【易错点 60】求异面直线所成的角，若所成角为，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方090法。例 60、 （2001 全国 9）在三棱柱中，若，则所成角的大小为（ 111ABCABC12ABBB11ABC B与）A、 B、 C、 D、0600900105075【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。解析：如图分别为中点， 1,D D11,BC BC连结，设1,AD DC11,2BBAB则则 AD 为在平面上的射影。又1AB1BC11322,cos,323BCBEBDC BCBC22212cosDEBEBDBE BDC BC1132212323263而垂直。2220111,90362BEDEBDBED11ABC B与【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如时，可以采090用证明垂直的方法来求之。【练 60】（2005 年浙江 12）设 M，N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，于 EDEAD,（如图），现将沿 DE 折起，使二面角ADE为，此时点 A 在平面 BCDE 内的ADEB045射影恰为点 B，则 M，N 的连线与 AE 所成的角的大小等于 。解析：易知取 AE 中点 Q，连 MQ，BQ0045 ,90 ,AEBABEABBE，N 为 BC 的中点11/,/,22MQDE MQDE DEBC DEBC，即 M，N 连线与 AE 成/,/MQBN MQBNBQMN,BQAEMNAE角。090【易错点 61】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。例 61、如图，在棱长为 1 的正方体中，M，N，P 分别为的中点。求1111ABCDABC D1111,AB BB CC异面直线所成的角。1,D PAM CNAM与与易错点分析异面直线所成角的范围是，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的000 ,90余弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。解析：如图，连结，由为中点，1AN,N P11,BB CC则从而1111/,PNAD PNAD11/AND P故 AM 和所成的角为所成的角。1D P1AMD P和易证。所以，1Rt AAM11Rt AB N1ANAM故所成的角为。1D PAM与090又设